Los autovalores y la exponencial de una matriz que no sea normal

Dibujo201300602 exponential non-normal matrix

Hay cosas bien conocidas, pero que son fáciles de olvidar (sobre todo para los estudiantes y los profesores poco inquietos). El mejor método de cálculo infinitesimal para hacer algo y un buen método numérico para hacer lo mismo suelen ser completamente diferentes. Valga un ejemplo. La relación usual entre la norma de la exponencial de una matriz y la exponencial de sus autovalores sólo es válida para matrices normales, tales que A*A=AA*, donde A* es la traspuesta (conjugada en el caso complejo). Esta figura lo ilustra perfectamente. Con autovalores iguales a menos uno, muchos de mis estudiantes dirían al principio de mi curso de métodos numéricos que la exponencial de esta matriz debe decaer con el tiempo, sin embargo, la figura muestra un comportamiento muy diferente.

Este ejemplo es ideal para ilustrar a los alumnos de primeros cursos de ecuaciones diferenciales ordinarias la diferencia entre la descomposición de Jordan (que diagonaliza a bloques la matriz) y la descomposición de Schur (que trianguliza la matriz). En los cursos de métodos numéricos siempre ponemos un ejemplo similar (yo solía usar 10 en lugar de 1000) para mostrar a los alumnos que la descomposición de Jordan no sirve para (casi) nada desde el punto de vista numérico y debe ser desechada en favor de la descomposición de Schur (u otras como la SVD).

Sin embargo, en los nuevos planes de estudio de los Grados de Ingenierías han desaparecido las asignaturas de métodos numéricos y los alumnos reciben estos conocimientos en otras asignaturas en las que les explican la descomposición de Jordan y omiten la de Schur. Sirva esta entrada para que los profesores reflexionen al respecto. Por cierto, la figura está extraída de la charla del genial Charles Van Loan (Cornell Univ.), “What Isn’t There To Learn from the Matrix Exponential?,” Fun13, 10 Apr 2013 [slides].



5 Comentarios

  1. Muy interesante.
    Para, por ejemplo, un alumno de estos grados en los que ya no hay métodos numéricos. ¿Qué libros o recursos de métodos numéricos te parecen más interesantes o recomendables?

  2. Esto es gravísimo: ”Sin embargo, en los nuevos planes de estudio de los Grados de Ingenierías han desaparecido las asignaturas de métodos numéricos y los alumnos reciben estos conocimientos en otras asignaturas en las que les explican la descomposición de Jordan y omiten la de Schur.”

    Por cierto aquellos que sean alumnos de Francis tienen una suerte bestial.

      1. La pregunta que antes hice fue porque soy uno de los que no tuvo la suerte de tener una clase de métodos numéricos buena. Entré en el primer año de un plan nuevo en el que muchos profesores no parecían tener muy claro qué enseñar en sus clases.
        De todas maneras supongo que la pregunta es muy vaga como para una respuesta concisa. 🙂

  3. Si lo que se pretende es impartir un buen curso de Ecuaciones Diferenciales parece razonable explicar en primer lugar la descomposición de Schur y acto seguido la de Jordan, que puede deducirse de la de Schur.

    En particular, en el estudio de la estabilidad de algunos métodos para la integración numérica de ecuaciones diferenciales aparece la condición de las raíces, que está muy en relación con la forma de Jordan.

    El famoso crecimiento inicial de las soluciones (“hump”)
    de Y’=A.Y, es típico de matrices no simétricas y suele estar relacionado con el mal condicionamiento de la matriz de transformación T tal que T^{-1}.A.T = J, siendo J la forma de Jordan de A.

    Finalmente, mi opinión es que tu comentario «… la descomposición de Jordan no sirve para (casi) nada.» me parece exagerado.

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Por Francisco R. Villatoro
Publicado el ⌚ 29 noviembre, 2013
Categoría(s): ✓ Ciencia • Matemáticas • Mathematics • Science
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