El estado actual de la prueba de Mochizuki de la conjetura abc

Dibujo20171211 Shinichi Mochizuki

Nadie sabe si es correcta la demostración de la conjetura abc de Shinichi Mochizuki (Univ. Kioto, Japón). Quienes afirman entenderla son incapaces de explicarla a los demás, como le pasa a su propio autor. Aún así, los rumores indican que pronto aparecerán los cuatro artículos de Mochizuki en una revista con revisión por pares. El genial matemático japonés ha introducido entre agosto y noviembre más de 1000 pequeños cambios en dichos artículos (en la versión publicada en su web); la opinión general es que dichos cambios son su respuesta a los comentarios de los revisores. Por supuesto, que el artículo se publique en una revista con revisión por pares no significa que la demostración sea correcta; solo es el primer paso del camino para que sea aceptada como correcta.

La demostración de Mochizuki de 2012 está escrita en cuatro artículos [PDF I, PDF II, PDF III, PDF IV] con un total de 602 páginas (unas 550 son de matemáticas); pero para entenderla es requisito entender la teoría IUT, que exige estudiar otras 1000 páginas en varios artículos. Una demostración de unas 1500 páginas que no tiene precedentes por lo novedoso del lenguaje matemático en la que está escrita. Los matemáticos Go Yamashita (Univ. Kioto, Japón) e Ivan Fesenko (Univ. Nottingham, Reino Unido) afirman entender la teoría de Teichmüller interuniversal (IUT por sus siglas en inglés) de Mochizuki. Ambos han escrito resúmenes de la demostración [29 pp. Fesenko; 294 pp. Yamasita]; en su opinión todo indica que es correcta. Pero su opinión no basta, quizás sea interesada; la comunidad matemática en su conjunto tiene que aceptar la demostración.

Más información divulgativa en Rachel Crowell, “On a summary of Shinichi Mochizuki’s proof for the abc conjecture,” News, AMS, 19 Sep 2017; también en “The ABC conjecture has (still) not been proved,” Persiflage, 17 Dec 2017, donde se ofrece la opinión de los expertos: la conjetura abc todavía no se ha demostrado y no está claro que el camino de Mochizuki sea el adecuado para demostrarla.

[PS 21 Dic 2017] Los artículos de Mochizuki parece que han sido enviados a la revista Publications of the RIMS, cuyo editor principal es el propio Mochizuki. Aún en proceso de revisión se supone que acabarán siendo aceptados en dicha revista (todo el proceso de revisión por pares lo está gestionando otro editor de dicha revista). [/PS]

[PS 23 Dic 2017] En el blog de Frank Calegari un comentario de un tal PS afirma que el gran problema del trabajo de Mochizuki son sus demostraciones de tipo “obvio a partir de las definiciones”; el caso mejor conocido es la demostración del teorema (su enunciado ocupa más de una página) llamado corolario 3.12 en el artículo IUT 3 (un resultado crítico en la demostración de la conjetura abc). Este tipo de demostraciones à la Mochizuki se consideran incomprensibles; a ningún matemático le gusta una demostración que se reduzca a “es obvio” o “es trivial”. ¿Será capaz Mochizuki de solucionar este grave defecto de su demostración? Si no lo hace, o si no puede, la demostración será incorrecta a ojos de todos los matemáticos. [/PS]

Dibujo20171211 fesenko iut relation with other number theories

Para Fesenko la teoría IUT es una teoría aritmética de la deformación (ADT). No sé si recuerdas lo que son un grupo, un anillo y un cuerpo de números. La conjetura abc relaciona la dos operaciones básicas del anillo de los enteros, la suma (a+b = c) y el producto (a b c); la suma en el anillo es un grupo abeliano (conmutativo), pero para el producto solo los elementos invertibles forman un grupo abeliano; en este sentido la suma y el producto del anillo son operaciones separadas por una barrera anabeliana.

Dados tres números coprimos a, b y c tales que a+b = c, si a y b contienen factores primos pequeños repetidos muchas veces, entonces su suma suele tener factores primos no repetidos. Por ejemplo, para a = 405 = 3 × 3 × 3 × 3 × 5, y b = 112 = 2 × 2 × 2 × 2 × 7, la suma c = 517 = 11 × 47. En apariencia la conjetura abc es muy sencilla, ya que relaciona una propiedad de la suma de tres números, sin embargo, es muy complicada porque está conectada con el producto vía los factores primos (de los sumandos y la suma). Este vídeo de Numberphile la explica bastante bien.

La teoría IUT propone usar una deformación del producto para sortear la barrera anabeliana, pero no existe ninguna deformación que sea compatible con la estructura de anillo. Por fortuna, hay deformaciones que preservan ciertos grupos de simetría de los anillos (como los grupos fundamental y de Galois). Gracias a ello se pueden usar ciertos resultados de la geometría anabeliana, las curvas hiperbólicas y la teoría de cuerpos para conectar la suma y el producto en el anillo.Dibujo20171211 mochizuki workshop

En la teoría IUT las deformaciones se codifican mediante los llamados enlaces-θ que conectan ciertos sistemas de categorías (llamados teatros) asociados a una curva elíptica sobre un cuerpo de números. La demostración de la conjetura abc se basa en probar dos conjeturas, la conjetura de Vojta para curvas hiperbólicas y la conjetura fuerte Szpiro para curvas elípticas; esta última implica la conjetura abc. Más información sobre la demostración en esta charla de Fesenko [PDF slides].

El futuro de la demostración del geómetra interuniversal Mochizuki es incierto. Sus seguidores más fieles, la mayoría japoneses, afirman haber entendido su trabajo, tras mucho esfuerzo. Sin embargo, las matemáticas relevantes son las que se transforman en cristalinas y obvias para una amplia mayoría de matemáticos. No sabemos si eso ocurrirá con la teoría de Teichmüller interuniversal. Pero a muchos nos gustaría que así fuera.

En este blog también puedes leer “Sobre la conjetura abc y la teoría de Teichmüller interuniversal”, LCMF, 17 Ago 2015, y “Shinichi Mochizuki y su demostración de la conjetura abc”, LCMF, 21 Oct 2015.

Por cierto, esta entrada participa en la edición 8.6 del Carnaval Matemático, cuyo anfitrión es, en esta ocasión, Matemático Soriano. “¿Quieres participar y unirte a la fiesta bloguera? Tan solo tienes que escribir una entrada [que] esté relacionada [con] las matemáticas y publicarla en tu blog. [Puedes] publicar tu entrada desde el 6 de diciembre hasta el 14 (ambos días inclusive).” Puedes anunciarlo con un tuit que incluya el enlace a tu artículo, la etiqueta #CarnaMat86 y mención a las cuentas @Mates_Soriano y @CarnaMat.



9 Comentarios

  1. Este tema (obviamente) me interesa. Paco, ¿podrías abundar un poco en la idea siguiente?

    “La teoría IUT propone usar una deformación del producto para sortear la barrera anabeliana, pero no existe ninguna deformación que sea compatible con la estructura de anillo.”

    ¿Qué es una deformación del producto en este contexto?

    1. Jose, te recomiendo leer el breve artículo de Fesenko (son solo 29 páginas). Lo que yo entiendo como analista no creo que le sirva a un algebrista. Por lo que entiendo del artículo de Fesenko en geometría algebraica se llama deformación a lo que en análisis llamamos regularización; tú sabes mucha más geometría algebraica que yo. Yo imagino una deformación como lo que en análisis llamamos una regularización, una perturbación del operador que le dota de ciertas propiedades buenas (p. ej. que permite aplicar teoremas para operadores hiperbólicos propios de los operadores elípticos, o viceversa); no sé si esto te ayuda. Lo dicho, léete el artículo de Fesenko para aprenderlo de primera mano.

      1. La verdad es que de geometría algebraica (abstracta) no sé casi nada, y de geometría aritmética (que es el marco de la IUT) menos que nada. He leído las diapositivas de Fesenko, pero necesitaría estudiarlas a fondo para sacar algo en claro (en particular sigo sin ver clara la deformación del producto). Lo que sí veo es que la idea se adscribe a una corriente que me disgusta: buscamos una acción o un functor que genere un objeto de nuestro agrado, y si no lo encontramos, modificamos dominio y codominio en una torre de complejidad ad infinitum para lograr el propósito inicial (así, no tenemos un morfismo de anillos, pero sí de las categorías de esquemas de grupos de variedades de curvas elípticas sobre los logaritmos de retículos de cuerpos numéricos, salvo isomorfismo aquí, conjugación allá, etc.). También me sorprende que de una técnica así así pueda salir una cota tipo Szpiro o abc (pero como decía soy más que lego en esto).

        1. Jose:

          Esa forma de pensar es muy usual y natural para el descubrimiento en Matemáticas. Lograr embeber cierta estructura carente de propiedades deseables a otro nivel semántico donde las verifique es algo que usaban recurrentemente magos como Riemann o Grothendieck.

          Por ejemplo: “Ser conmutativo” es una propiedad deseable (por sencilla) para estructuras algebraicas, la sencillez es subjetiva, sin embargo el hecho de que los objetos conmutativos ayuden a caracterizar y clasificar objetos que fallan a ser conmutativos es algo recurrente y útil (como el caso de los grupos abelianos finitos que sirven para factorizar cualquier grupo finito).

          “Ser abeliano” es deseable. Obviamente si R es cualquier anillo la categoría de R-módulos no tiene elementos que son típicamente no abelianos. ¿Hay forma de “arreglarlo”?, sí, introduce la noción de categoría abeliana como nuevo nivel de abstracción que dota a tu categoria de propiedades deseables y de paso ganas generalidad (encuadras otras categorías importantes como la de haces vectoriales sobre espacios compactos) y puedes resolver más problemas concretos.

          Eso pasa casi todo el tiempo y es una práctica que se hace desde Euclides hasta hoy.

  2. ” La conjetura abc relaciona la dos operaciones básicas del anillo de los enteros”

    Los enteros Z son un Anillo Conmutativo ¿no? No existe tal barrera anabeliana… ¿qué se me escapa?

    1. Daniel, varios expertos han recomendado el uso de sistemas de verificación automática de demostraciones (los hay muy buenos) para verificar este tipo de pruebas. El problema es que introducir todo lo necesario en el sistema para su ejecución puede costar muchos años de trabajo y nadie se atreve a “regalar” dicho tiempo.

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Por Francisco R. Villatoro
Publicado el ⌚ 12 diciembre, 2017
Categoría(s): ✓ Ciencia • Matemáticas • Mathematics • Noticias • Personajes • Science
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