Sobre la conjetura abc y la teoría de Teichmüller inter-universal

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El matemático japonés Shinichi Mochizuki (1969–) publicó en agosto de 2012 lo que parecía una demostración de la conjetura abc. Su demostración se basa en lo que él llama teoría de Teichmüller inter-universal (una versión aritmética de la teoría de Teichmüller para cuerpos numéricos finitos dotados de una curva elíptica). Muy difícil de entender, quizás nadie la entiende aún, ha causado un gran revuelo mediático. Mochizuki ya era famoso por haber demostrado la conjetura de Grothendieck sobre geometría anabeliana en 1996. Además en 1999 introdujo la teoría de Hodge–Arakelov y en 2008 la teoría de frobenioides.

El matemático Ivan Fesenko interpreta la nueva teoría de Mochizuki como una teoría de deformaciones aritméticas aplicada a una geometría diofantina. Una curiosa propuesta que puede ser prometedora a la hora de entender la demostración de Mochizuki. Los matemáticos interesados en más detalles disfrutarán de Ivan Fesenko, “Arithmetic Deformation Theory via Arithmetic Fundamental Groups and Nonarchimedean Theta-Functions. Notes on the work of Shinichi Mochizuki,” Notes, Feb 2015 [PDF]. Yo no entiendo el trabajo de Mochizuki (ni siquiera su tutorial Shinichi Mochizuki, “Invitation to inter-universal Teichmüller theory (Lecture Note Version),” December 2014 [PDF]). Tampoco entiendo los detalles de la interpretación de Fesenko, pero me ha parecido interesante leer su trabajo.

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Supongo que sabrás que una ecuación diofántica es una ecuación algebraica (variedad algebraica), es decir, un polinomio con dos o más variables igualado a cero, cuyos coeficientes son números enteros, pero de la que nos interesan sólo sus soluciones enteras. El ejemplo más sencillo es a x + b y = c, donde a, b y c son números enteros. Si dibujas esta curva es una línea recta (la variedad algebraica más sencilla). Sus soluciones son números racionales (cocientes de enteros). Como ecuación diofántica hay que imponer una condición adicional: el máximo común divisor de a y de b debe dividir a c. La teoría algebraica de números estudia este tipo de condiciones para ecuaciones más complicadas.

Las ecuaciones diofánticas con polinomios de segundo grado son un poco más complicadas de estudiar. Una curva elíptica es una ecuación diofántica con un polinomio de tercer grado en dos variables. Weierstrass demostró que (para los coeficientes en un cuerpo de característica distinta de tres) siempre hay un cambio de variable que permite escribir dicha curva elíptica con la forma canónica y²=x³+ax +by. Parece fácil, pero su estudio es muy rico y hay muchos resultados matemáticos que nos permiten estudiar las curvas elípticas como ecuaciones diofánticas. Las curvas elípticas son famosas desde que Andrew Wiles (1995) demostró un caso particular de la conjetura de Taniyama–Shimura que implicaba el famoso último teorema de Fermat (1637) gracias a un trabajo previo de Ken Ribet (1986).

Una generalización de las curvas elípticas son las curvas hiperelípticas, y²+q(x)y=p(x), donde p(x) es un polinomio mónico de grado 2g+1, y q(x) es un polinomio de grado a lo sumo g. Los parámetros de las curvas elípticas, curvas hiperelípticas y, en general, curvas algebraicas definen los llamados espacios de moduli. La teoría de espacios de Teichmüller tiene por objeto estudiar las deformaciones de los espacios de moduli entendidos como variedades complejas. La teoría de Teichmüller inter-universal, según Fesenko, estudia las implicaciones en teoría de números de la teoría de deformaciones en espacios de Teichmüller.

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En enero de 1991, Mochizuki, con 21 años, era estudiante de doctorado en la Universidad de Princeton bajo la supervisión de Gerd Faltings. Su director probó la conjetura de Mordell en 1983 elevándola a teorema. El teorema de Faltings–Mordell afirma que una curva algebraica de género mayor que la unidad definida sobre un cuerpo de números algebraico tiene sólo un número de finito de puntos racionales. Faltings le propuso a Mochizuki intentar demostrar una variante de este resultado, la llamada forma efectiva de la conjetura de Mordell. La teoría de Teichmuller inter-universal de Mochizuki logra cumplir el objetivo que le marcó Faltings y más aún, le permite ir más allá (demostrar muchas otras conjeturas propuestas entre 1978 y 1987 como la conjetura fuerte de Szpiro, la conjetura de Masser–Oesterlé (llamada conjetura abc), la conjetura de Frey, la conjetura de Vojta, etc.).

La conjetura abc nació en 1985 gracias a la colaboración de David W. Masser y Joseph Oesterlé motivada por el teorema de Mason (1983): sean tres polinomios a(x), b(x) y c(x), que no son todos constantes y no tienen raíces en común, si su suma es cero, a+b+c=0, entonces el grado de cada uno de ellos no puede ser más grande que el número de raíces distintas del producto abc. La conjetura abc de Masser y Oesterlé es el análogo al teorema de Mason con números enteros en lugar de polinomios. El análogo al grado del polinomio será el número de sus factores primos. La conjetura abc afirma que para todo ε > 0 existe un número K(ε) tal que, si a, b y c son enteros no nulos, primos relativos dos a dos y a+b+c=0, entonces max (|a|,|b|,|c|) ≤ K(ε) rad(abc)1+ε, donde rad(n) es el máximo divisor de n sin factores cuadráticos.

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La importancia de la conjetura abc es que implica muchos otros resultados y conjeturas en teoría de números. Por ejemplo, se puede demostrar que la conjetura abc implica el último teorema de Fermat, luego demostrar esta conjetura permitirá obtener una nueva demostración diferente de la de Wiles. La teoría de Teichmuller inter-universal de Mochizuki va más allá de la demostración de la conjetura abc y si se confirma que es una versión aritmética de la teoría de la deformación de Teichmüller promete resolver gran número de problemas.

¿Cuál es la situación actual de la demostración de Mochizuki? Todavía nadie la entiende. Más allá del trabajo de Ivan Fesenko se han realizado pocos avances reseñables. Lo más importante es que en diciembre de 2015 se celebrará en la Universidad de Oxford el Clay Mathematics Institute Workshop on IUT Theory of Shinichi Mochizuki (anuncio oficial) organizado, entre otros, por el propio Fesenko. Se espera que asista el propio Shinichi Mochizuki, que sigue realizando avances significativos en la línea de su teoría (incluyendo una demostración de la conjetura de Szpiro). Habrá que esperar a las consecuencias de este workshop y futuros trabajos en el año 2016 para ver si se logran desvelar todos los entresijos del trabajo de Mochizuki, que promete convertirse en uno de los grandes genios de la primera mitad del siglo XXI. Cuando varios matemáticos lo entiendan en toda su profundidad se podrá decidir si la demostración es correcta o no lo es (y en su caso si se puede modificar para lograrlo).

Me gustaría poder contar más, pero el trabajo de Mochizuki me pilla demasiado lejos.



4 Comentarios

    1. Rolando, ese artículo es un sinsentido físico y matemático, y parece escrito por una persona que no tiene ni idea de lo que está hablando. Escribe ecuaciones sin ton ni son y las interpreta como le viene en gana. No leas esas tonterías. Las ecuaciones de Einstein se conocen desde hace 100 años y hay cientos de libros que te explicarán lo que significan. En viXra.org hay mucha basura. Y el tal Stephen J. Crothers demuestra en este artículo que no tiene ni idea de la teoría de Einstein.

  1. Para que la ecuación de la curva elíptica tenga la forma descrita, la característica del cuerpo tiene que ser diferente a 2 y a 3 (c.f. Silverman, Arithmetic of elliptic curves).

    Un abrazo Francis, eres muy grande.

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Por Francisco R. Villatoro
Publicado el ⌚ 17 agosto, 2015
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