El origen de las bandas oblicuas turbulento-laminares en el flujo de Couette

El patrón de bandas oblicuas turbulento-laminares que aparece en la turbulencia de pared fue el motivo de una famosa frase de Richard Feynman: «las matemáticas son incapaces de analizar las ecuaciones de Navier–Stokes salvo para números de Reynolds bajos». Hoy en día, el único medio para analizarlas es usar métodos numéricos directos (DNS). Gracias a ellos se publica en Nature Communications una solución invariante que explica el origen de estas bandas turbulento-laminares. La nueva solución numérica se obtiene tras varias bifurcaciones de tipo pitchfork subcríticas y una de tipo punto de silla a partir de la solución de equilibrio de Nagata (usada como condición inicial) para un número de Reynolds de Re ≈ 350. La similitud entre el patrón teórico y las observaciones apunta a que se ha resuelto el problema que obstruyó a Feynman.

Por cierto, en física computacional de fluidos (CFD) se suele simular el régimen turbulento usando un modelo de la turbulencia; una simulación numérica se llama directa (DNS) si no usa ninguno de estos modelos; la turbulencia emerge en las simulaciones DNS, luego éstas se pueden usar para explorar su origen. El nuevo artículo estudia el flujo de Couette, es decir, el flujo de un fluido viscoso entre dos placas planas, una de las cuales se mueve a cierta velocidad relativa a la otra; a nivel experimental se estudia el flujo de Taylor–Couette usando dos cilindros concéntricos en rotación relativa. Aún no se puede demostrar matemáticamente que la nueva solución invariante sea la explicación definitiva del origen del patrón de bandas oblicuas. Pero la experiencia previa indica que este tipo de soluciones son como los «bloques de construcción» que permiten explicar las observaciones experimentales y las simulaciones computacionales. Por ello, aceptar dicha hipótesis es razonable para los expertos.

El artículo es Florian Reetz, Tobias Kreilos, Tobias M. Schneider, «Exact invariant solution reveals the origin of self-organized oblique turbulent-laminar stripes,» Nature Communications 10: 2277 (23 May 2019), doi: https://doi.org/10.1038/s41467-019-10208-x. Por cierto, en las simulaciones se ha usado el software abierto Channelflow 2.0 (un código CFD de tipo pseudoespectral escrito en C++). La solución invariante de Nagata se publicó en M. Nagata, «Three-dimensional finite-amplitude solutions in plane Couette flow: bifurcation from infinity,» Journal of Fluid Mechanics 217: 519-527 (1990), doi: 10.1017/S0022112090000829.

En 1990 Nagata descubrió la primera solución invariante del flujo de Couette usando simulaciones DNS (estudios posteriores la confirmaron). Esta solución no describe la coexistencia de los flujos turbulento y laminar, luego no puede explicar la estructura en bandas oblicuas turbulento-laminares. La hipótesis de Florian Reetz y sus colegas de la École Polytechnique Fédérale de Lausanne, Lausana, Suiza, es que partiendo de dicha solución se puede obtener, tras ciertas bifurcaciones que rompen sus simetrías, una nueva solución invariante que resuelva el problema.

En el simulador channelflow 2.0 (que usa condiciones de contorno periódicas en la dirección del flujo) se parte de la solución de Nagata en un flujo alto número de Reynolds Re =  U h / ν  = 350, donde la velocidad relativa de las placas es 2 U,  la distancia entre placas es 2 h y la viscosidad cinemática del fluido es ν. Para observar mejor el patrón de franjas se ha extendido la solución de equilibrio de Nagata de forma periódica en n  = 9 periodos y se ha cortado una región rectangular inclinada con un cierto ángulo (como se observa en la figura). La variación del ángulo de inclinación θ entre 18 ° y 25 ° corresponde a una variación de Re entre 150 y 375. Así se pueden estudiar las posibles bifurcaciones que aparecen en la solución conforme crece el número de Reynolds.

La solución de Nagata tiene dos simetrías que se rompen de forma sucesiva. Esta figura muestra el diagrama de bifurcación para la transición entre la solución de equilibrio de Nagata (curva negra) y la nueva solución invariante con bandas en un flujo turbulento-laminar (curva roja). La primera bifurcación de la solución de Nagata se produce conforme Re crece más allá del punto (A), con (Re, θ) = (164, 18.4 °), que separa la curva azul de la negra; el análisis de sus autovalores muestra que es de tipo pitchfork subcrítica y que rompe una primera simetría. La segunda bifurcación se observa en el punto (B), con (Re, θ) = (332, 23.4 °) siendo también de tipo pitchfork subcrítica, pero rompiendo la segunda simetría de la solución de Nagata.

Una tercera bifurcación aparece en el punto (Re, θ) = (243, 20.8 °), donde nace la curva roja con dos ramas paralelas; se trata de una bifurcación de tipo punto de silla en la que una solución inestable (y por tanto invisible en el diagrama) se desdobla en dos soluciones estables (de ahí la forma de la curva roja). Una de las ramas acaba en el punto (II) con (Re, θ) = (332, 23.4 °), donde se combina con la curva azul y desaparece. Sin embargo, la otra curva roja sigue evolucionando y más allá del punto (C), con (Re, θ) = (350, 24 °), se comporta como una nueva solución invariante.

La comparación de la nueva solución invariante con los resultados de las simulaciones DNS con bandas oblicuas en flujo turbulento-laminar muestra un buen ajuste (tanto a nivel cualitativo como cuantitativo, esto último dentro de las limitaciones propias de este tipo de estudios numéricos). Las propiedades son muy similares, sin embargo, en rigor, se requiere una demostración matemática (lo que puede tardar décadas en ser obtenida). Además, se necesita más evidencia numérica, la verificación independiente usando otros códigos de simulación DNS. Aún así, todo apunta a que se ha descubierto la solución soñada por Feynman. Seguro que disfrutaría conociéndola.



Deja un comentario

Por Francisco R. Villatoro
Publicado el ⌚ 4 junio, 2019
Categoría(s): ✓ Ciencia • Física • Noticias • Physics • Science
Etiqueta(s): ,