Carnaval de Matemáticas: La olvidada prueba del nueve

En el podcast de SciFri, “Steven Strogatz: The Joy Of X,” 23 Nov 2012, le preguntan a Strogatz por qué funciona la prueba del nueve (“casting out nines” en inglés) y no sabe contestar. Como buen matemático y como buen profesor no tiene miedo en confesar que nunca se ha preocupado por buscar la razón detrás de esta prueba, por ello no puede contestar a la pregunta. Todo ello me ha traído a la memoria la prueba del nueve, que no siempre funciona, como muestra este dibujo de Luis Vives, “Aritmética. Segundo Grado,” Zaragoza, 1949. ¡Qué no te acuerdas de la prueba del 9! Solo hay dos opciones, o eres muy joven, o eres un poco desmemoriado. Veamos como nos la explica Vives en su libro.

La prueba del nueve sirve para comprobar sumas, restas, productos y divisiones. En esta figura tienes la explicación para el caso del producto. Sobran más palabras. ¿Cuál es el secreto de la prueba del nueve que Strogatz no ha sido capaz de recordar? Obviamente, utilizar aritmética módulo 9. Nada más simple. En el caso del producto si a = b (mód 9), y c = d (mód 9), entonces ac = bd (mód 9). Lo mismo ocurre con sumas y restas, y con operaciones que involucren un número finito de sumas, restas y productos (como la división).

¿Funciona siempre la prueba? Obviamente, no. ¿Cuál es la probabilidad de fallo? Como nueve posibles resultados, la prueba del nueve fallará 1/9 de las veces (un 11% de las veces). ¿Se puede utilizar una prueba del siete o de cualquier otro número? Por supuesto y combinar dos pruebas asegura la corrección del resultado con mayor probabilidad (1/54 corresponde a un 1,6% de fallos). “Acerca de la prueba del nueve,” y Antonio, “La ¿prueba? del 9,” Tito Eliatron Dixit, 20 mayo 2009, explican cómo aplicarla a la división. Más información en María Luz Callejo de la Vega, “Una nueva mirada a “la prueba del 9″,” SUMA 30: 53-58, feb. 1999, y en Michel Ballieu, “La prueba del nueve,” Investigación y Ciencia 334, Julio 2004. Por cierto, este último artículo reproduce un fragmento de un texto de Al-Khwarizmi del siglo IX donde se explica cómo realizarla, aunque lo que destaca es su contundente inicio…

“En la clase el ambiente es tenso. El maestro, severo pero justo, permanece en un extremo de la tarima. El niño, ante el gran pizarrón negro, gacha la cabeza, trata de esquivar la mirada de reproche que le lanza su instructor. “Vamos a ver… ¿estás seguro de que 171 x 231 son 39.401?”, le pregunta, impaciente la voz. La respuesta es tímida. “Esto… ¿sí, señor?”. El maestro estalla. “¡Pequeño cabestro! ¿No te das cuenta de que te has equivocado? ¿Te has olvidado de la prueba del nueve?” El niño, aterrorizado, guarda un silencio culpable y siente revolotear sobre sí la amenaza del castigo. La sentencia no tarda en llegar. “Abre la mano”, ordena el profesor, que golpea con su larga regla de hierro la palma infantil…”

En inglés recomiendo consultar Peter Hilton, Jean Pedersen, “Casting Out Nines Revisited,” Mathematics Magazine 54: 195-201, Sep. 1981, y Murray Lauber, “Casting Out Nines: An Explanation and Extensions,” The Mathematics Teacher 83: 661-665, Nov. 1990. El uso de la prueba del nueve en Educación Básica ha sido criticado por algunos y defendido por otros. Ver por ejemplo, Maxim Bruckheimer, Ron Ofir, Abraham Arcavi, “The Case for and against “Casting out Nines”,” For the Learning of Mathematics 15: 23-28, Jun. 1995.

Atención, pregunta, ¿merece la pena que los profesores de Educación Básica recuperen la prueba del nueve en lugar del uso de la calculadora para chequear resultados? Utiliza los comentarios para ofrecer tu opinión, si te apetece.

Esta entrada participa en la Edición 3.14159265 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión se organiza en PiMedios. La aventura de las matemáticas.

PS: En los comentarios Emm Alva escribe que “Creo que los niños de Educación Básica no deberían utilizar calculadora o algún dispositivo electrónico, porque siento que gracias a esas herramientas su aprendizaje no es tan sólido y cada vez les cuesta más trabajo hacer cosas que se dicen básicas.” Yo soy de la misma opinión. Creo que usar calculadora en Educación Primaria es como usar reglas de letras de molde (ver figura abajo) para aprender a escribir. Nadie puede aprender a escribir de esa manera. Lo que no quita que en Educación Secundaria sea muy recomendable que los alumnos aprendan a usar correctamente la calculadora y el ordenador.

22 Comentarios

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JJ

Bueno, supongo que seré demasiado joven… Cuando era un niño mis padres me comentaron la prueba del 9 para la división, puesto que en mi generación (EGB hasta 1991) la prueba de la división se hacía simplemente multiplicando divisor y cociente.
Respecto a lo que comentas de Strogatz, cierto es que es una buena costumbre reconocer aquello que no se sabe, pero me parece extraño que él nunca hubiese pensado en la relación de la prueba del 9 con lo que ellos llaman digit sum. De hecho, a pesar de la cierta obsolescencia de la prueba, creo que cualquier profesor de Matemáticas debería haber escudriñado en el origen y las demostraciones de los algoritmos más comunes, como la Regla de Ruffini, el algoritmo usual de la raíz cuadrada,…
Por cierto, un truco que realizo habitualmente en mis clases (y que también falla, como la prueba del 9) consiste en pedirle a cada alumno que coja un número de 3 ó 4 cifras, que le reste su suma digital y que me diga todos las cifras del resultado excepto una. Alucinan al escuchar al profesor diciendo la cifra que falta (la mayoría de las veces).
Finalmente: muy buen post, idóneo para un carnaval. Un saludo.

Tito Eliatron

Hace ya tiempo que hablé en mi blog de esta “prueba” (http://eliatron.blogspot.com/2009/05...-del-9.html)
No la conocía, me la comentó mi suegro, maestro de profesión.
Tras escribirla, me paré un tiempo a pensar cuándo podría fallar y creo que el principal motivo de un fallo debería ser el cambiar 2 números de posición. Otro tipo de fallo sería complicado que se diera y que el resultado pasara la prueba (haría falta que los números que cambian respecto de la operación original, sumaran igual que los que desaparecen, y creo que eso sería mucha casualidad).

En cualquier caso, ahora que mi mujer tiene una alumna con discalculia, creo que la prueba del 9 sería tremendamente frustrante para la alumna. Esa podría se una razón para no utilizarla.

emulenewsemulenews

Gracias, Tito, he incluido un enlace a tu entrada en la mía. Y aunque sea el día de tu cumpleaños, te voy a llevar la contraria, pues no entiende por qué dices que verificar cálculos sería muy frustante para un alumno con discalculia, en mi ignorancia yo intuyo que debería ser lo contrario, un refuerzo a su esfuerzo, una especie de recompensa.

José Antonio Prado Bassas

Ten en cuenta que para alguien con discalculia, el 25 y el 52 pueden resultar ser el mismo número.

La prueba del 9, da falsos positivos cuando se intercambian 2 (o más) números de posición, que es una de las cosas que les ocurre a los que padecen este trastorno. Por ello, aunque ellos escriban una cosa que está mal, la prueba les diría que está bien. Y seguirían sin hacer bien las cosas, pero con el respaldo de una prueba.

Emm Alva

Me hiciste recordar a un tío que me la enseño cuando yo tenía alrededor de 9 años para checar los resultados de divisiones. No recuerdo bien cómo me enseñó, aunque tampoco que me haya dicho nada acerca de eliminar algún número. Tal vez es mi mala memoria. Por cierto que revisaré los apuntes que comentas, que me parece pueden ser sumamente interesantes.

Respecto a lo que preguntas, en lo personal creo que nos niños de Educación Básica no deberían utilizar calculadora o algún dispositivo electrónico, porque siento que gracias a esas herramientas su aprendizaje no es tan sólido y cada vez les cuesta más trabajo hacer cosas que se dicen básicas.

Saludos,

tu anciana abuela

Lo realmente importante, desde mi punto de vista, no es que sepan multiplicar o dividir bien, sino que sepan CALCULAR.

en una piscina olímpica caben mil, diez mil, cien mil o un millón de litros; una casa de 30 pisos mide diez, cien o mil metros, el resultado de cuarenta y siete por cincuenta y nueve tiene tres, cuatro o cinco cifras…

ojo de buen cubero, como aquel dice.

emulenewsemulenews

Cierto, abuela, pero a lo que te refieres no se le llama calcular, se le llama estimar. La estimación es fundamental para desarrollar el espíritu crítico. Aprovecho para recomendar el libro de Clifford Swartz, “Back-of-the-Envelope Physics,” Johns Hopkins Univ. Press, 2003, que yo utilizaba para recomendar ejemplos y ejercicios de estimación a mis alumnos (dejé de hacerlo porque tenían poca aceptación).

emulenewsemulenews

Todo lo contrario, Lord Nnn, porque falla poco y es rápida de aplicar (con la cabeza sin escribir nada). Poder verificar un producto sin necesidad de dividir siempre es una gran ventaja.

Me cago en la LecheMe cago en la Leche

Prefiero la división como prueba de la multiplicación.
Mayor probabilidad de acierto en los resultados.
Divides:
producto entre el multiplicador = multiplicando
producto entre el multiplicando = multiplicador
a x b = c

Prueba:
a = c / b
b = c / a

Me cago en la LecheMe cago en la Leche

La falla está en que todavía la utilizan. En el Liceo Infantil Goofy en Bogotá, Colombia se “esmeran” en hacer que los pequeños de 3 grado de primaria aprendan como comprobar una multiplicación y no les han dicho que carajos es la multiplicación, se supone que evita que suméis muchas veces, bueno.
Si tiene una probabilidad de error del 11% NO SIRVE como método para comprobar si habéis realizado bien las operaciones.

tu anciana abuela

Veo, en efecto, que la hay quien no conoce la regla del 9. Una cosa que me llamó la atención cuando ayudaba a mis hijas es que no les enseñaban la regla de tres.

con la regla de tres se resuelven el noventa por ciento de los problemas de química (de bachillerato), y no se lo enseñan¡¡

Tras preguntar a muchos profes, la conclusión a la que llegué era que no se enseñaba porque es como de pueblo, y la entiende cualquiera.

Supongo que con la regla del 9 pasa lo mismo.

Mis hijas son del Plan Maraval, y de las famosas Matemáticas Modernas (teoría de Conjuntos, etc.), en Primaria

Los profesores no las entendían, y los niños las encontraban “infantiles” e inútiles…

…bueno, un lío…

Entre la Teoría de Conjuntos y Lazaro Carreter con su nueva gramática (que tampoco comprendían los profes), el Señor Maraval se puso en evidencia y nos fastidió a todos: padres, alumnos y profesores…

(ya está la Abuela con sus batallitas¡¡¡)
;-)

Saludos a todos

Rober

La prueba da un falso positivo una vez de cada nueve pero es interesante resaltar que nunca da un falso negativo. Es decir: si la prueba no cuadra, es seguro que la multiplicación verificada es incorrecta (salvo que hayamos hecho mal la prueba, claro)

Continuamente usamos algo similar en la vida diaria: los dígitos de control de las cuentas corrientes, por ejemplo. Y aunque no lo veamos directamente los ordenadores usan algoritmos de redundancia en gran parte de sus procesos.

Creo que este tipo de pruebas simples pueden ser muy didácticas si el profesor se preocupa de explicarles mínimamente a los alumnos el por qué de su funcionamiento.

BrunoBruno

Hola,
Me ha picado la curiosidad, y he puesto en Python el algoritmo. Como bien dices la prueba del 9 da un falso positivo cuando alguno de los factores es todo nueves (9, 99, 999, etc.), o bien cuando las cifras suman 9 (90, 900, etc.), o en casos como 3×30, donde el resultado es 90, y por tanto la suma de las cifras es 0. Ahora bien, si se modifica el algoritmo “contando los 9″, es decir, haciendo que los 9 no sean una excepción en ningún caso, entonces en las primeras 500000 multiplicaciones (eliminando la conmutatividad) la prueba acierta siempre. Es presumible que tampoco falle en los primeros 500000 millones de productos. A partir de ahí, habría que abandonar el empirismo, y demostrarlo matemáticamente

BrunoBruno

Hola de nuevo
La otra cara de la moneda es que, si se consideran los 9, para un producto dado hay muchos resultados falsos (1 de cada 9) que superan la prueba del 9. Por ejemplo, si hacemos 17×13, los resultados 230, 239, 248, …, pasarían la prueba. Conclusión: La calculadora, o el ordenador es sin duda la mejor solución.

BrunoBruno

Hola y re-hola
Cada vez lo entiendo menos. Resulta que si no se cuentan los nueves, tal como predica el algoritmo (prueba del 9), entonces los resultados falsos que pasan la prueba siguen siendo los mismos que cuando se consideran (caso anterior). Conclusión: Me voy a la cama.

emulenewsemulenews

Abuela, suelo leer las entradas de Miguel Ángel “gaussianos” con regularidad. La idea está bien, pero el problema es que será difícil que tenga éxito entre los estudiantes y profesores. Una calculadora solo para frikis. Una pena.

Me cago en la LecheMe cago en la Leche

DEMOSTRACIÓN DE NO FUNCIONAMIENTO

563 5+6+3 =14 1+4 = 5 = A
x54 5 + 4 = 9 9 = 0 = B
_____
2815
2252
_____
25335 2+5+3+3+5 = 18 1+8 = 9 9 = 0 = C

Si se obtiene que
A X B = C
5 X 0 = 0
Se dice que está correcta la multiplicación.

563 5+6+3 =14 1+4 = 5 = A
x54 5 + 4 = 9 9 = 0 = B
_____
2815
2252 corremos los números justo debajo de los de arriba
_____
5067 5+0+6+7 = 18 1+8 = 9 9 = 0 = C

Se mantiene la prueba como correcta…

Por lo tanto NO FUNCIONA!!!!!!!!

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