Shinichi Mochizuki y su demostración de la conjetura abc

Dibujo20151021 Shinichi mochizuki mathematician llustration by Paddy Mills for nature com

El 30 de agosto de 2012 el famoso matemático japonés Shinichi Mochizuki publicó cuatro artículos (más de 500 páginas) con una demostración de la conjetura abc (un problema formulado hace 27 años). Nadie entiende el trabajo de este matemático del RIMS (Research Institute for Mathematical Sciences) de la Universidad de Kyoto, Japón. Ni siquiera expertos en teoría de números como Ivan Fesenko, de la Universidad de Nottingham, Gran Bretaña, que llevan estudiando la demostración casi desde el primer día.

En diciembre habrá un workshop en Oxford, Reino Unido, para que los expertos que han leído la demostración la puedan discutir. Mochizuki estará presente a través de Skype, para contestar a todas las preguntas que le hagan. En los últimos tres años se ha avanzado muy poco. Ni siquiera los organizadores esperan que la discusión sea definitiva, pero muchos deseamos que sea fructífera.

Nos lo contó Philip Ball, “Proof claimed for deep connection between primes,” Nature News, 10 Sep 2012, doi: 10.1038/nature.2012.11378, y nos lo recuerda Davide Castelvecchi, “The biggest mystery in mathematics: Shinichi Mochizuki and the impenetrable proof,” Nature 526: 178–181, 08 Oct 2015, doi: 10.1038/526178a. En este blog puedes leer “Sobre la conjetura abc y la teoría de Teichmüller inter-universal,” LCMF 17 Ago 2015.

Esta entrada es mi segunda participación en la Edición 6.7: El punto del Carnaval de Matemáticas, alojado en el blog Matifutbol cuyo autor es Herminio López. Recuerda que puedes contribuir entre el 17 y el 25 de octubre de 2015.

La conjetura ABC (the ABC conjecture).

La conjetura abc relaciona los factores primos de tres números tales que a+b = c. Si los números a y b tienen un gran número de factores primos pequeños, todos ellos diferentes entre a y b, entonces c tiene algún factor primo grande. Por ejemplo, 23572​172​19 + 327​1072 = 515​372​2311, donde el número primo 2311 es grande comparado con los demás, o también 25​318 + 56​710​232 = 119​691·​1433, donde el factor primo grande es 1433 (más ejemplos). Esta conjetura fue mencionada por primera vez en 1985 por el matemático francés Joseph Oesterlé durante una charla en Alemania. Entre el público estaba David Masser, teórico de números, que reconoció la importancia potencial de la conjetura. Por ello también se conoce como la conjetura Oesterlé–Masser.

Noam Elkies, matemático de la Universidad de Harvard en Cambridge, Massachusetts, EEUU, se dio cuenta de que la conjetura abc tenía consecuencias profundas en el campo de las ecuaciones diofánticas. Muchas serían resolubles de forma sistemática gracias a la conjetura abc que exige la existencia de un tamaño máximo para las soluciones. Por ejemplo, si la conjetura abc afirma que todas las soluciones de una ecuación son menores de 100, basta un sencillo algoritmo para explorar todos los posibles candidatos. Sin la conjetura abc nunca sabríamos si hay que explorar un conjunto infinito de posibles soluciones.

En 1922 Louis Mordell conjeturó que la gran mayoría de las ecuaciones diofánticas o bien no tiene ninguna solución, o bien tiene un número finito de soluciones. Esta conjetura fue probada en 1983 por el matemático alemán Gerd Faltings, que ganó por ello la Medalla Fields en 1986. Si la conjetura abc es cierta, entonces el resultado de Faltings implica que la enumeración sistemática es un algoritmo que permite obtener la solución para la mayoría de las ecuaciones diofánticas. Un resultado sin lugar a dudas revolucionario en teoría de números.

Dibujo20151020 mochizuki proof abc conjecture

Mochizuki (que nació en 1969) podría convertirse en una leyenda en vida si su demostración se confirma. Su habilidad para concentrarse en un problema matemático parece casi sobrenatural. Simplemente se despierta por la mañana y se pone a trabajar. Faltings, el director de tesis doctoral de Mochizuki, afirmó que fue uno de sus alumnos más brillantes. En cierto sentido el estilo matemático de Mochizuki recuerda al de Faltings. Pero el propio Faltings ha confesado que ha tratado de leer la demostración de la conjetura abc varias veces, pero siempre ha tenido que desistir, no siendo capaz de comprender que está haciendo su exalumno de doctorado.

El único matemático que afirma haber comprendido y verificado la validez de la demostración de Mochizuki es Fesenko. Pero su afirmación es considerada una mera opinión. Hasta que no logre explicar la demostración a un buen número de expertos y todos queden convencidos, la demostración no será aceptada. ¿Cuándo será validada la demostración? Nadie lo sabe. Muchos matemáticos piensan que pueden ser necesarios varios lustros. Mochizuki estima que un estudiante de doctorado puede entender su demostración tras 10 años de estudio. Si tiene razón habrá que esperar a 2022 para que sepamos si la demostración es correcta. No es tanto tiempo, dada la importancia del resultado. Lo siento por los impacientes.

13 Comentarios

Participa Suscríbete

Ramiro Hum-SahRamiro Hum-Sah

Lamento el Off-topic:
Hay un aspecto fundamental de las matemáticas que nos ha confirmado de manera espectacular “la leyenda del último teorema de Fermat”.

Lo importante en resolver un gran problema es que generalmente estos requieren el descubrimiento de nuevas construcciones de matemáticas. La ganancia (y la belleza) de hacer matemáticas no es la certeza o el contrajemplo a una afirmación, es todo lo que una demostración propicia.

Ahora es muy pronto para decirlo, pero en retrospectiva es asombroso todo lo que nos ha dejado en cuanto a las técnicas usadas en la demostración(hablo del UTF). Dentro de todo es interesante hablar del del programa langlands, esto es un asunto de profundidad sin igual, tiene un futuro prometedor en los círculos de matemáticos se habla muchísimo de esto. Si alguien desconoce de esto vale mucho la pena que investigue un poco (El libro de Frenkel es el referente obligado).

Del lado de la física: ¿Es el programa langlands parte de esas matemáticas aún no inventadas de la teoría de cuerdas de las que hablaba Witten?

Recomiendo algunos enlaces que enfatizan la riqueza, profundidad y esotérico del programa.

Twistors, teoría M, cohomología motívica y el programa langlands: http://arxiv.org/pdf/1502.04794.pdf

Entrevista con Edward Witten sobre las matemáticas de la teoría de cuerdas (se habla del programa langlands): http://www.ams.org/notices/201505/rnoti-p491.pdf

Reseña “amor y matemáticas” (Una historia hermosísima sobre el programa Langlands) http://francis.naukas.com/2015/07/18...rd-frenkel/

Como no suele hablarse tanto de los temas “calientes” de matemáticas como los de otras artes o las ciencias, comento otro para suscitar interés (va de la hipótesis de Riemann)

La hipótesis de Riemann tiene “análogos” sobre campos finitos. Estas se conocen como conjeturas de Weil y fue uno de los grandes logros del siglo pasado su demostración a manos del gran Pierra Deligne. ¿No podrían modificarse esas técnicas para atacar la hipótesis de Riemann?, resulta que hay un conjeturado y terriblemente misterioso objeto llamado “campo de un elemento” ( https://en.wikipedia.org/wiki/Field_...one_element ) que cumple una plétora de prodigios, entre todos estos se espera que el espectro de los enteros (como esquema afín) pueda verse como una curva algebraica sobre él y usar las técnicas de Weil (obviamente adaptadas) para probar la hipótesis. Lo increíble es que es una clase nueva de objeto combinatorio que es más fundamental que el álgebra lineal misma (¡Recordemos que todo en matemáticas depende crucialmente del concepto de linealizar!) en el sentido de que cualesquiera conjuntos de puntos son espacios vectoriales sobre F1 (y si el conjunto es finito entonces son objetos proyectivos).

Alguien utilitario dirá ¿tiene aplicación esto?. Resulta que las únicas variedades sobre F1 conocidas son las llamadas tóricas, estas tienen mucho que ver con aritmética tropical (otro tema caliente) y hay papers donde se discute una fuerte conexión entre variedades tóricas con modelos sigma topológicos tipo A y B ¡Otra vez la teoría de cuerdas!. También aquí están involucrados los motivos y la emergencia del espaciotiempo en teoría de cuerdas.

¿Qué nuevas ramas y senderos nos dejará la demostración de Mochizuki? Va a ser fascinante
Son grandes tiempos para ser matemático :)

planck

Ramiro muy interesantes tus comentarios y tus enlaces. ¡ Precisamente yo iba a hacer un comentario también sobre el programa Langsland y el libro de Frenkel ! Primero quería destacar que, como tu has dicho, el libro “Amor y matemáticas” de Edward Frenkel es absolutamente fantástico, de los mejores que he leído nunca y apto para cualquier tipo de lector. Según pasas los capítulos sientes esa fascinante emoción de ir descubriendo un mundo nuevo como si fueras un explorador de un nuevo y extraño planeta. Su forma de explicar temas de altísima abstracción de una forma sencilla es increíble. Después de leerlo te quedas totalmente convencido de que un gran programa de unificación de los distintos campos Matemáticos y de la Física es posible.
Uno de los poderes más increíbles de las Matemáticas es su capacidad para conectar campos que parecen totalmente diferentes e independientes. Conectar partes de la teoría de números con la teoría de grupos, la geometría y la Física Cuántica es ya un logro increíble del programa Langsland. Estas conexiones no pueden ser casuales, tiene que existir una serie de principios básicos que constituyen la base de uno de los más grandes misterios de la ciencia: la relación entre Física y Matemáticas. Como indicas, parece haber una relación entre los campos estudiados en Langslands y el santo grial de la Física: las ecuaciones y simetrías de la teoría cuántica del espacio-tiempo (probablemente la teoría M). En mi opinión, la actual situación de la Física y las Matemáticas apuntan hacia las siguientes conclusiones:
– Las dualidades (que son también la base del programa Langsland) constituyen una característica fundamental de nuestro Universo y serán claves para entender sus leyes fundamentales. Estas dualidades ya han permitido hacer cálculos que han sido corroborados teórica y experimentalmente (entropía BH, superviscosidad en el plasma de quarks-gluones, etc).
– Estas dualidades han sido desarrolladas dentro del marco conceptual de la teoría de cuerdas. Esto parece indicar que los objetos fundamentales de nuestro Universo son cuerdas y branas y que vivimos en un espacio-tiempo de 10 (o 11) dimensiones.
– Ciertas dualidades como la dualidad ADS/CFT o la dualidad T parecen sugerir que el propio espacio-tiempo emerge de la interacción entre cuerdas y branas. Aunque parezca ciencia ficción, el principio holográfico nos indica que en un espacio ADS (y quizás dentro de un agujero negro) la tercera dimensión y la gravedad emergen como interacción entre cuerdas que viven en la frontera bidimensional, de hecho, la profundidad en la 3 dimensión está codificada en los parámetros fundamentales de estas cuerdas de forma muy similar a como se codifica la “profundidad” en un holograma. Generalizar estas dualidades a nuestro espacio DS es uno de los mayores retos que existen actualmente.
Todos estos estudios teóricos junto con los experimentos en curso hacen que vivamos una época absolutamente apasionante para todos aquellos que deseamos ver resueltos los misterios más profundos y fundamentales del Universo en el que vivimos.

Ramiro Hum-SahRamiro Hum-Sah

planck:

Agradezco profundamente vuestro comentario. ¡Que bien que leyeras el libro de Frenkel! pocos placeres como esos hay en la vida.

Hay algo que a mi me desconcierta: Tenemos varios grupos de físicos hablando de como emerge el espaciotiempo en tres contextos “aparentemente diferentes”

-“Teóricos de cuerdas” ¿las razones? como muy bien apuntas la t dualidad, la holografía, la teoría de campos de cuerdas (que es independiente de fondo). Hay otros (como Van Ramsdonk, ,Maldacena, Polchinski, Susskind, Bousso etc.) que hablan de la información como el objeto fundamental ¿Hay una relación entre la relación cuerdas-información?

-Hay otros que hacen cálculos de amplitudes en donde unitareidad y localidad son conceptos emergentes (Arkani Hamed y el Amplitudiedro), Esto me recuerda a la filosofía de Francis de usar la teoría cuántica de campos y derivar todo lo demás como conceptos emergentes de la interacción de campos… respecto a esto ¿La teoría de cuerdas es local? la interacción cuerda-cuerda no parece serlo, ¿La teoría de cuerdas es una teoría de campos tipo higher derivatives?, ¿Es unitaria? aquí puede que me equivoque pero creo recordar que si la teoría admite campos con estados excitados de espín mayor a dos entonces hay “problemas con la unitareidad” a decir verdad nunca lo había pensado… ¿Alguien sabe sobre esto?

-Hay sobre todo matemáticos que hablan de si hay una geometría aritmética asociada a las formas modulares cuya geometría permita entender el pre-espaciotiempo ¿Hay una relación entre geometría aritmética y teoría de la información? suena extraño pero se habla de esto en un mismo contexto.

Si todos estos enfoques no están equivocados tiene que existir un nexo y en mi profunda ignorancia yo lo veo oscuro.

Como dice planck: Estos son grandes tiempos, según creo somos la primer generación de físicos que pueden especular sobre bases firmes en la fundamentalidad del espacio y el tiempo.

Francisco MFrancisco M

Muy bien Mochizuki. Hace sentir a los matemáticos, como yo me siento tras leer algunos artículos de la mula Francis :)

Ramiro Hum-SahRamiro Hum-Sah

Aunque yo aún soy estudiante y no estoy y tal vez no estaré involucrado en esto, me educo en un grupo que hace aspectos matemáticos de la teoría de cuerdas, creo que es fascinante lo que mis compañeros y profesores hacen, así que haré unos comentarios sobre cosas que escucho y no entiendo bien pero creo que no está tan fuera de contexto en un post que habla sobre la conjetura abc.

Hay una relación fascinante entre el más grande de los grupos finitos esporádicos y la teoría de cuerdas, mucho de esto tiene su raíz en la teoría conforme de campos y por supuesto que con las formas modulares, aquí hay puente potencialmente explosivo entre las matemáticas del último teorema de fermat y cuerdas.

http://motls.blogspot.mx/2006/12/mon...ps-and.html
http://motls.blogspot.mx/2007/05/mon...-holes.html

De hecho la teoría de techmuller es muy relevante en cuerdas , la geometría aritmética también está fuertemente relacionada con ella es de esperar que una una versión artimética de la teoría de Techmuller potencialmente también tendría relación

Esto es verdaderamente delirante:
http://francis.naukas.com/2009/06/19...-de-fermat/

Hay física profunda (espaciotiempo emergente) y matemáticas grandes (cohomología motívica).

Sobre un problema del milenio: Aunque aún no hay un impacto “real”, la simetría espejo (nacida en el seno de la teoría de cuerdas) es por si misma un aspecto que va a revolucionar la manera en que entendemos la conjetura de Hodge. En principio esta exhibe una correspondencia entre haces coherentes sobre variedades complejas y las subvariedades lagrangianas de una variedad simpléctica, la conjetura de Hodge puede sonar plausible del lado complejo pero del lado simpléctico es dudoso. Además aunque suene difícil de creer hay una relación sutil entre la teoría de cuerdas y los toros de Weil :)

Pedro MascarósPedro Mascarós

Entiendo que Mochizuki tendrá trabajos aceptados de cierta relevancia, si no no me explico que se le preste tanta atención a algo, que de venir de un aficionado, se tomaría por algo sin sentido.

EdwinEdwin

Hola Francis, muy interesante esta historia. Lo único que tengo que agregar es que Fesenko no sería el único en entender la demostración. De hecho un matemático japonés que trabaja en Kioto llamado Go Yamashita fue el primero en estudiar toda la prueba. Mochizuki realizó un seminario con Yamashita, este último tiempo después realizó otro seminario donde no estaba Mochizuki y cuya idea era tratar de explicar la prueba en sus palabras para ver si había comprendido la demostración (o parte de ella)
No se si Yamashita irá a Oxford, sería una pena si no asiste. El haber hablado bastantes horas con Mochizuki aportaría muchísima luz al problema.

Francisco R. Villatoro

Edwin, Go Yamashita irá al seminario organizado por Ivan Fesenko, Minhyong Kim y Kobi Kremnitzer en Oxford, e impartirá una charla (será unos de los 16 que impartirá charla).

Quizás mi entrada no muestra el enorme interés generado por la prueba de Mochizuki. Cientos, sino miles, de matemáticos se han enfrentado a ella y han tratado de entenderla; muchos se han comunicado con Mochizuki para que les aclare ciertos detalles. Quizás tendría que haber comentado este punto en más detalle en la entrada del blog.

GastónGastón

Si la demostración es validada y aceptada, se perdió por un escaso margen de años la medalla Fields. Mochizuki nació en 1969 y publico sus resultados en 2012. Recordemos que la medalla, considerada el Nobel de las Matemáticas, es entregada a los matemáticos con edades no superiores a los 40 años (Mochizuki tenia 43 cuando presento sus investigaciones a la comunidad internacional).
Les dejo un dato curioso y una pregunta: según Ted Nelson (aquí la entrevista https://www.youtube.com/watch?v=emDJTGTrEm0), Mochizuki es la persona que utiliza el seudónimo de Satoshi Nakamoto, el supuesto creador del Bitcoin. A día de la fecha, Mochizuki no ha confirmado ni desmentido tal afirmación.
Y la pregunta: ¿Alguien sabe el por que de la ridícula restricción de los 40 años para un reconocimiento tan importante y prestigioso? (supongo que se busca incentivar a matemáticos jóvenes).

Ramiro Hum-SahRamiro Hum-Sah

Gastón:

Ese rumor de que Mochizuki es “la persona” detrás del pseudónimo que dio origen a la idea de bitcoin es curioso. Lo único que podemos especular sobre esa persona (si es que no hay un grupo detrás) es que es alguien muy inteligente y Mochizuki cumple con creces el requerimiento XD

Pienso que es difícil que sea realidad el rumor ¿Alguien piensa lo contrario?.

Sobre la restricción de las medallas fields: Es algo hasta cierto punto absurdo (recordemos que privó a Wiles, Lurie, Helfgot y en caso de haber demostrado correctamente la conjetura abc a Mochizuki también) pero estás en lo correcto Gastón: el punto es incentivar a los jóvenes, lo que es ya muy sujeto a debate es si la idea de que los grandes matemáticos lo son antes de los cuarenta… lo que es chocante es que en general parece ser una regla que se cumple… los gigantes ya lo eran sin haber cumplido cuatro décadas.

¿Hay algún contraejemplo que se me escape?

GastónGastón

Ramiro Hum-Sah:

No conozco a Mochizuki, pero es llamativo que en todos estos años desde que apareció el Bitcoin, no haya confirmado o desmentido tal información. Y viniendo de una persona que no es precisamente un completo desconocido o un charlatán, como Ted Nelson. Tal vez la respuesta dependa de su personalidad o habilidades sociales, de si prefiere permanecer en el anonimato por una razón que no sabemos, o si considera todo esto lisa y llanamente una perdida de tiempo.
Quizás Mochizuki creo el Bitcoin o lidero el grupo que lo desarrollo simplemente como un hobby y no le interesa para nada que se le mencione como creador o co-creador, y piensa que esto puede restarle seriedad, credibilidad o ser “políticamente incorrecto” dentro de la comunidad científica, y que puede relegar a un segundo plano sus grandes logros en Matemáticas.

Respecto a la edad de los medallistas:
¿Sabias que el creador de la medalla, John Charles Fields, murió antes de ver concretado su proyecto del premio y que fue su deseo antes de morir, y lo dejo explícitamente por escrito, que no debía existir limite de edad para recibir la medalla, así como no debía figurar ningún nombre o país?.
Fue en el Congreso de Moscú (1960) donde se tomó el límite de edad superior de 40 como requisito excluyente para obtener el galardón.
Como Fields, no considero la edad como un factor limitante siempre que el aporte sea sobresaliente. Y no solo la edad fue excluyente para recibir esta medalla. O las Matemáticas cayeron en picada en Alemania, Austria, Hungría, y lo que en un tiempo se llamo Unión Soviética, o se da el hecho curioso de que los matemáticos de esos países desarrollaron y desarrollan su genialidad después de los 40, porque hay solo uno o dos medallistas de esas nacionalidades en la lista de laureados. Quien sabe. Tal vez algún forista conteste a esta incógnita. Saludos.

AlbertoAlberto

Ya se que esta entrada es un poco antigua.aun asi lanzo mi comentario.soy un gran desconocedor de las matematics y la fisica, pero me estoy aficionando con estas lecturas.vengo de leer sobre el ultimo teorema de fermat,pasando por pitagoras y la conetura de beal.y ahora tambien hay una conjetura abc. parece que esto de las matematicas va en bucle.y los primos siempre por ahi. bueno en fin, me da la impresion que esto va de construccion. el universo, el gran constructor,a lo matrix,desde lo mas pequeño,el 1, a lo mas grande, el propio universo.la teoria del todo tambien sera matematica.¿no os parece la solucion al mismo proceso de creacion y formacion de estructuras en 1 dimension a estructuras de 2 ,3 y 4 dimensiones y mas? ¿no os parece que la interpretaion es la de como muchas estructuras pequeñas,iguales y estables forman una estructura superior estable-prima?si los primos son la base de todos los numeros,¿seran las estructuras primas la base del universo y lo que le da la estabilidad para crecer y no desmoronarse en estructuras divisibles?.
¿es mi punto de vista poco acertado para interpretar y afrontar estas conjeturas o son cosas sobreentendidas para un novato?

Deja un comentario

Tu email nunca será mostrado o compartido. No olvides rellenar los campos obligatorios.

Obligatorio
Obligatorio
Obligatorio

Puedes usar las siguientes etiquetas y atributos HTML: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>