La corrección a la gravedad de Newton debida a las dimensiones extra del espaciotiempo

La validez de la gravedad de Newton (la ley de la inversa del cuadrado de la distancia) ha sido verificada a distancias cortas (micrométricas), pero no muy cortas (submicrométricas). La existencia de dimensiones extra en el espaciotiempo, predicha por la teoría de cuerdas, modifica la ley de la gravedad de Newton introduciendo un término exponencial (potencial tipo Yukawa). A distancias próximas al radio de compactificación de las dimensiones extra se amplifican las correcciones a la ley de la inversa del cuadrado lo que permitiría determinar estas distancias gracias a los experimentos. Permitidme que recuerde la expresión matemática más sencilla para estas correcciones.

La corrección a la teoría de la gravedad de Newton debida a la existencia dimensiones extra depende de la manera en la que están compactificadas estas dimensiones extra, aunque su forma general está dominada por un término tipo Yukawa que corrige a la ley de Newton, es decir, por un potencial exponencial de tipo

\displaystyle{}\Phi(r)=-G_N\,\frac{\displaystyle M\,M'}{\displaystyle r}\,\left(1+\alpha\,e^{\displaystyle -r/\lambda}\right),

 

donde el parámetro \alpha caracteriza la importancia relativa de la corrección tipo Yukawa a la gravedad y el parámetro \lambda el rango de distancias a la que se observa el término extra. En el caso más estudiado, la compactificación toroidal de las dimensiones extra (cada dimensión extra se compactifica en un círculo de radio fijo), el potencial corregido toma la forma

\displaystyle{}\Phi(r)=-G_N\,\frac{\displaystyle M\,M'}{\displaystyle r}\,\left(1+2\,n\,e^{-r/R_C}\right),

 

donde n es el número de dimensiones extra y R_C es el radio de compactificación (supuesto igual en todas las dimensiones). Los detalles de la derivación se pueden encontrar en N. Arkani-Hamed, S. Dimopoulos, G. R. Dvali, “The hierarchy problem and new dimensions at a millimeter,” Phys. Lett.  B  429: 263-272, 1998; ArXiv: hep-ph/9803315. El radio R_C está asociado a la escala de distancias, o energías, o masas asociada a las cuerdas (también llamada escala de Planck efectiva), sea M_C. La relación se obtiene exigiendo que se recupere la ley de Newton a distancias grandes comparadas con el radio de compactificación. El resultado obtenido es

\displaystyle{}M_C^{n+2}R_C^n=\frac{\hbar^2}{G_N} \left(\frac{\hbar}{c}\right)^{n-1},

 

que implica la relación numérica

\displaystyle{}R_C=\sqrt{\cfrac{\hbar\,G_N}{c^3}}\cdot \left( \cfrac{ M_{Pl}}{M_C}\right)^{1+\frac{2}{n}} = 1.97\times 10^{-17} e^{74.0821/n} \left( \frac{1 \mathrm{TeV}}{\mathrm{M_C}}\right) 1^{1+\frac{2}{n}}\ \ \mathrm{cm}.

 

Esta fórmula, dado el número n de dimensiones extra, permite calcular el radio de compactificación en función de la escala de Planck efectiva. Para n=1 y una escala de M_C\sim 10\mathrm{ TeV}, resulta que R_C\sim 10^{10} m, es decir, del orden del tamaño del sistema solar (obviamente, falso). Para M_C\ge 10^{10}\mathrm{ GeV}, obtenemos R_C \sim 10^{-6}\mathrm{ cm} (por debajo del límite experimental actual). Para más de una dimensión compactificada se puede reducir mucho la escala de compactificación sin incurrir en contradicciones con los resultados experimentales actuales. Para n=2 y M_C\sim 100\mathrm{ TeV} se observarán modificaciones de la ley de Newton a distancias de R\sim 10^{-7}\mathrm{ cm} (el radio de Bohr es 5.29\times 10^{-9}{\mathrm{ cm}}). Para n=3 se obtendrá un límite similar para M_C\sim 0.5\mathrm{ TeV} y para n=6 solo se requiere M_C\sim 5\mathrm{ GeV}.

En resumen, en la actualidad sabemos tan poco de la gravedad que no es posible descartar que existan dimensiones extra. Si permitimos que hasta 6 dimensiones estén compactificadas, la escala de energías de dicha compactificación podría ser alcanzable con los experimentos actuales. Solo los experimentos podrán descartar las dimensiones extra del espaciotiempo.

Los cálculos presentados aquí han sido escogidos del artículo E.G. Floratos, G.K. Leontaris, N.D.Vlachos, “Gravitational Atom in Compactified Extra Dimensions,” ArXiv, 4 Aug 2010.



3 Comentarios

  1. Justo hoy he escrito un post sobre gravedad cuántica hablando de que, en efecto, una de las posibles soluciones a la amarga imposibilidad de llegar a la escala de Planck experimentalmente sería que fueran posibles las dimensiones adicionales “enrolladas” en las cuales la gravedad tuviera cierta importancia.

    Así que este post me viene que ni pintado para cuantificar en qué medida deben estar “compactadas”. Sabía que lo había leído en algún paper pero no recordaba ninguno en particular.

    Saludos

    1. Gracias, MiGUi, de hecho, escribí el post justo después de leer tu última entrada sobre la gravedad, al notar el pingback a mi entrada “Todo es entropía.”

      Por cierto, para los lectores interesados, esta entrada es MiGUi, “La necesidad de modelos fenomenológicos de gravedad cuántica,” 1 de noviembre de 2010, que es la segunda parte de MiGUi, “La búsqueda de la teoría definitiva para la gravedad,” 26 de octubre de 2010.

  2. Si la teoría es cierta lo veremos próximamente en el LHC cuando sean estudiados los datos meticulosamente dentro de la enorme cantidad de ellos que se están obteniendo. Es cuestión de esperar, pues seguramente muchas interrogantes de física fundamental serán desveladas. Saludos:
    Alejandro Álvarez

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Por Francisco R. Villatoro
Publicado el ⌚ 1 noviembre, 2010
Categoría(s): ✓ Ciencia • Física • Physics • Science
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