Cómo funciona la peonza celta o rattleback

Dibujo20140718 physics of rattleback - axis

La peonza celta o rattleback es un curioso juguete. Cuando la pones a rotar en sentido horario en el eje z observas que se para, se pone a oscilar respecto al eje x, se vuelve a parar y se pone a rotar en sentido antihorario en el eje z. Sin embargo, cuando la pones a rotar en sentido antihorario en el eje z, sigue rotando en este eje hasta parar por fricción. ¿Por qué tiene un comportamiento tan paradójico?

Ya lo conté en “La física de la peonza celta o “rattleback”,” LCMF, 30 Mar 2011 (ver también LCMF, 31 Mar 2011). No sé si quedó claro el funcionamiento. Ha aparecido un nuevo artículo que ofrece una explicación sencilla, basada en el principio de conservación de la energía. Las fórmulas son fáciles de entender, por ello lo recomiendo a todos los profesores de física que quieran mostrar la física y matemática de este curioso juguete a sus alumnos. El artículo es William Case, Sahar Jalal, “The rattleback revisited,” American Journal of Physics 82: 654-658, Jul 2014.

Esta entrada participa en la Edición LIV del Carnaval de la Física, hospedado en esta ocasión en el Tao del Física, el blog de Vicente Torres (aka @TaoFisica). La fecha tope para participar es el 30 de julio y el tema propuesto es Física y Medicina. Por supuesto, como es habitual en este blog, mis entradas para los carnavales están dirigidas a los profesores de física (como Vicente).

[youtube=https://www.youtube.com/watch?v=69Xm762qE8o]

Como no podía ser de otra forma, el artículo técnico incluye un vídeo de youtube (que está en inglés, pero es fácil de entender). Puedes ver cómo funciona la peonza celta y la explicación de su comportamiento basada en el principio de conservación de la energía.

Dibujo20140718 view rattleback from above - aapt ajp

La razón del curioso comportamiento de la peonza celta es la forma de canoa de la base, que no es simétrica respecto al eje y, como muestra esta vista desde arriba de las curvas de nivel de la superficie de la base. La diferencia puede parecer pequeña, pero hace que el momento de inercia respecto al eje x sea mucho mayor que respecto al eje y, es decir, α=Ix > Iy=β. Este efecto hace que la estabilidad de las oscilaciones respecto a dichos ejes tenga signo opuesto; además, dicho signo depende del sentido de rotación en el eje z.

Dibujo20140718 dispersion relation - stability oscillations x y axis - aapt ajp

No pongo esta fórmula para asustar, sino para mostrar a los profesores de física la expresión que tendrán que explicar a sus alumnos (la derivación está detallada en el artículo y es sencilla para quien haya superado un primer curso de mecánica que incluya sólido rígido). Sea n la velocidad angular en el eje z; sean las frecuencias (naturales) de rotación respecto a los ejes x e y dadas por Ωx y Ωy; para Ix>Iy, lo habitual es tener Ωx > Ωy. Según la fórmula de arriba, para n>0, la rotación respecto al eje x es inestable, Δx>0, mientras que la rotación en y es estable, Δy<0; y para n<0, al revés, Δx<0, y Δy>0. Estas inestabilidades tienen asociada una constante de tiempo que es proporcional a la inversa de la frecuencia. Como Ωx > Ωy, en la práctica sólo se observa el efecto de la inestabilidad en el eje x por ser más rápida, mientras que la inestabilidad en el eje y es más lenta que la escala de tiempo asociada a la fricción de la peonza con la superficie de apoyo (por ello la peonza para antes de que podamos observarla).

Dibujo20140718 kinetic energy - aapt ajp

El momento de inercia respecto al eje z es algo menor pero comparable al del eje x, es decir, Iz ≈ Ix. Cuando ponemos a rotar la peonza en el eje z en sentido horario le damos una energía cinética E. Como la oscilación respecto al eje x es inestable, pequeñas oscilaciones en el eje x se ven amplificadas a costa de “robarle” energía a la rotación respecto al eje z. Por tanto, la velocidad de rotación en el eje z se reduce hasta parar, mientras que la oscilación en eje x se amplifica hasta alcanzar una velocidad máxima.

En este momento el proceso se repite a la inversa, como en un péndulo que oscila. La velocidad de rotación en el eje x se reduce, mientras que su energía se transfiere a la rotación en el eje z. Pero ahora la peonza se pone a rotar en sentido antihorario buscando, además de un mínimo de energía, un punto de equilibrio estable (en este caso asociado a la oscilación respecto al eje y). Como en sentido antihorario en el eje z, la oscilación en el eje x es estable, no le “robará” más energía al movimiento en el eje z. Como la escala de tiempo de la disipación domina sobre la asociada a la rotación en el eje y, la peonza acaba detenida por fricción.

Por otro lado, al poner a rotar la peonza celta en sentido antihorario en el eje z, la oscilación en el eje y es inestable, pero su constante de tiempo es mucho menor que en el eje x porque Ix > Iy. Por ello, la disipación por fricción roba energía al sistema más rápido de lo necesario para que la velocidad de oscilación respecto al eje y sea apreciable. Lo mismo pasa cuando inicialmente la peonza se pone a rotar en sentido antihorario.

Dibujo20140718 Celt with weights of gemstone turtles

Por cierto, hay algunas peonzas celtas ajustadas para que cambien de dirección las rotaciones en el eje z en ambas direcciones. En estas peonzas la escala de tiempo de la inestabilidad de las rotaciones en los ejes x e y son comparables entre sí. También existen las llamadas peonzas rusas, que son peonzas celtas que pueden cambiar sus momentos de inercia Ix e Iy porque presentan un objeto en móvil en su superficie (lo tradicional es que sean dos tortugas). En estas peonzas podemos invertir las rotaciones en z en sentido horario o en sentido antihorario, según la posición de las tortugas; en algunos casos incluso se pueden invertir en ambos sentidos.

Dibujo20140718 rattleback experimental parameters - aapt ajp

La peonza celta del vídeo de youtube es fácil de adquirir en las tiendas donde se venden juguetes educativos. Sus parámetros geométricos, momentos de inercia y frecuencias angulares naturales aparecen en esta tabla. Como se observa los momentos de inercia (adimensionales) cumplen  α=10,5 > 1,5 = β, lo que implica que sus frecuencias naturales sean Ωx = 61 Hz > 9 Hz = Ωy. Para la descripción detallada de todos estos parámetros, remito a los interesados al artículo técnico.

En resumen, el artículo de la joven marroquí Sahar Jalal junto a su supervisor Bill Case es una aportación interesante para los profesores de física que imparten cursos de mecánica en las universidades (y que gracias a ello tienen acceso al artículo técnico). La física de los juguetes es un campo apasionante para todos los profesores con ganas de jugar con sus alumnos.



2 Comentarios

  1. Para quienes opinan que la ciencia es aburrida 🙂

    ¿Requiere algún “tuneo” según el hemisferio norte o el sur? Es decir, ¿el efecto Coriolis también aporta su granito de arena, o es despreciable?

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Por Francisco R. Villatoro
Publicado el ⌚ 18 julio, 2014
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