La obra de Alexander Grothendieck (1928-2014)

Dibujo20141116 Alexander Grothendieck

El matemático francés Alexander Grothendieck falleció el 13 de noviembre de 2014 en Saint-Girons, Francia. Recibió la Medalla Fields en 1966 por sus trabajos en Álgebra Homológica y Geometría Algebraica. Fue un matemático que destaca por su visión (su particular punto de vista) a la hora de atacar los problemas matemáticos más difíciles. Sus ideas han generado puentes entre muchas disciplinas alejadas entre sí y ha abierto campos insospechados. Muchas de sus ideas se encuentran en manuscritos inéditos, lo que ha elevado su figura a la talla de mito.

En este breve homenaje a su figura me basaré en el muy recomendable artículo de Leovigildo Alonso Tarrío y Ana Jeremías López, «La obra de Alexander Grothendieck,» Gaceta de la Real Sociedad Matemática Española 4: 623-638, 2001 [PDF gratis]. También recomiendo leer a Winfried Scharlau, «Who Is Alexander Grothendieck?,» Notices of the AMS 55: 930-941, 2008 [free PDF] (gracias José L. Pérez aka ‏@Jos192).

Más información biográfica en «Décès d’Alexandre Grothendieck,» Institut des Hautes Études Scientifiques, 14 Nov 2014; Bruce Weber, Julie Rehmeyernov, «Alexander Grothendieck, Math Enigma, Dies at 86,» New York Times, 14 Nov 2014; Pierre Cartier, «Alexander Grothendieck. A Country Known Only by Name,» Inference Review, 14 Nov 2014; y otros.

Grothendieck es el paradigma en el siglo XX del matemático guiado por una intuición casi milagrosa. Estudiante brillante, durante su carrera en la Universidad de Montpellier, Francia, redescubrió por sus propios medios la teoría de la medida de Lebesgue. Desarrolló su tesis doctoral en París, bajo la dirección de Dieudonné (pura escuela Bourbaki). Allí asistió a seminarios de H. Cartan, Delsarte, Godement y Schwartz. Tras sus estancias postdoctorales en Kansas y Sao Paulo fue contratado por el recién fundado I.H.E.S. (Institut des Hautes Études Scientifiques), la réplica francesa al I.A.S. (Institute for Advanced Study) de Princeton. Allí demostró ser uno de los matemáticos vivos más geniales y más revolucionarios de su tiempo. Sus trabajos culminaron con la Medalla Fields en 1966, que se negó a recoger porque se concedió en el ICM  (Congreso Internacional de Matemáticos) celebrado en Moscú, 16-26 Agosto. Su acto fue una protesta contra la represión soviética en Hungría en 1956.

En 1970 abandona el I.H.E.S., pasa al C.N.R.S. (Centre National de la Recherche Scientifique) y, finalmente, en 1973, retorna a la Universidad de Montpellier como profesor (abandonando la investigación activa). En 1984 volvió al C.N.R.S. para retirarse en 1988, ya con 60 años, año que recibió el Premio Crafoord de la Academia Sueca (el premio que dicha academia concede a los matemáticos para quitarse el sanbenito de que no haya un Nobel para los matemáticos). Grothendieck rechazó dicho premio (que también fue concedido a Deligne) y aprovechó para arremeter contra la falta de ética de la ciencia actual. Decidió retirarse a los Pirineos franceses.

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Los primeros trabajos de Grothendieck fueron en Análisis Matemático. Extendió la teoría de espacios vectoriales topológicos de Dieudonné, su director de tesis, a productos tensoriales de espacios localmente convexos (los llamados espacios nucleares). Hay varias posibilidades para dotar de una topología a un producto tensorial E⊗F, de dos espacios vectoriales topológicos de dimensión infinita. Grothendieck estudia dos posibilidades concretas que le permiten generalizar el teorema del núcleo de Schwartz e introducir los llamados espacios nucleares (p.ej. el espacio de las funciones holomorfas sobre una variedad analítica compleja).

A finales de los 1950 Grothendieck se centra en la dualidad en cohomología (la extensión del concepto de dualidad de Poincaré a las variedades algebraicas). Generaliza varios resultados, e imparte una charla plenaria en el ICM de 1958 en Edimburgo sobre Álgebra Homológica. Sus resultados muestran el espíritu funtorial que le guió durante toda su carrera: el objeto de estudio no son las variedades algebraicas sino los morfismos entre ellas. Gracias a ello una definición y una construcción naturales hacen que la demostración de un resultado (muy complicado) se convierta en algo trivial (es decir, si escribes algo de la forma correcta sus propiedades serán obvias y no será necesario que las demuestres de forma explícita). Para muchos matemáticos la genial intuición de Grothendieck era una guía, casi extraterrestre o sobrenatural, hacia el rigor más bourbakiano.

En Geometría Algebraica la gran contribución de Grothendieck fue un cambio de lenguaje, seguido por la gran mayoría de trabajos relevantes posteriores en este campo. El lenguaje de esquemas simplifica la intuición de los resultados, permitiendo generalizarlos, y además ofrece grandes ventajas técnicas. Esta gran contribución nació con su generalización de la fórmula de Riemann-Roch para determinar la característica de Euler-Poincaré de curvas complejas en variedades algebraicas, que se basó en el llamado grupo de Grothendieck, también conocido como funtor K0, que le llevó a una nueva teoría de cohomología denominada Teoría K. Estos trabajos sentaron las bases de la Geometría Algebraica del resto del siglo.

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El carácter peculiar de Grothendieck le llevó a escribir de su propia mano pocos artículos matemáticos. Le gustaba impartír seminarios en el I.H.E.S. con sus descubrimientos, dejando que sus colegas se encargaran de tomar notas y redactar los correspondientes artículos técnicos. Por ejemplo, la teoría de esquemas fue expuesta en un tratado redactado por Dieudonné, titulado Eléments de Géométrie Algébrique. Una obra monumental de la que sólo aparecieron los cuatro primeros capítulos (de los doce proyectados inicialmente). La cohomología étale que aprendió de Grothendieck en un seminario, junto a la teoría de formas modulares, permitió a Deligne demostrar en 1974 las conjeturas de Weil sobre el número de puntos de una variedad algebraica sobre un cuerpo finito (un análogo a la hipótesis de Riemann para la función Zeta de una curva sobre un cuerpo finito). La cohomología cristalina de Grothendieck (que fuerza la validez del lema de Poincaré y permite integrar formalmente en la variedad) también ha conducido a importantes avances.

Grothendieck también nos dejó muchas conjeturas, como las famosas conjeturas estándar (también enunciadas por Bombieri) de la teoría de motivos. Estas conjeturas están abiertas en general y su resolución permitirá garantizar la existencia de una teoría de cohomología universal para variedades algebraicas. Sobre estos temas Grothendieck nunca publicó una línea, sin embargo, hoy son el centro de la Geometría Algebraica. Su yoga motívico ha llevado a una auténtica galaxia de conjeturas enunciadas por otros autores, pero inspiradas en sus ideas.

He de confesar que mis conocimientos de Geometría Algebraica son insuficientes para poder entender los resultados de Grothendieck. Como todo visionario, durante su retiro en Montpellier, soñó con varias teorías matemáticas que conocemos por las cartas que envió a algunos colegas: Álgebra Topológica (teoría de las ∞-categorías laxas), Topología Moderada (una generalización de la teoría de esquemas), Geometría Algebraica Anabeliana (cómo construir variedades algebraicas a partir de su grupo fundamental cuando no es conmutativo), la teoría de Galois-Teichmüller y, en general, el punto de vista esquemático o aritmético para los poliedros regulares (los llamados dibujos de niños). Hay varias iniciativas que pretenden hacer públicos los manuscritos inéditos de Grothendieck sobre estos temas que se encuentran depositados en la Universidad de Montpellier, pero él mismo ha dicho que se opone a que sean publicados. Ahora con su fallecimiento es posible que la tarea se lleve a cabo y quizás las nuevas ramas matemáticas soñadas por Grothendieck puedan aportarnos luz en el panorama matemático del siglo XXI.

Descanse en paz, Alexander Grothendieck.

 



11 Comentarios

  1. Hace tiempo que me resulta muy curiosa la personalidad de muchos matemáticos famosos. No se debe generalizar y probablemente hay muchos que no encajan con los clichés pero un número importante de ellos responden a una personalidad introvertida y carente de habilidades sociales (falta de empatía, deseos de soledad, odio hacia los eventos sociales, etc). Es como si la evolución les hubiese dotado de un cerebro extraordinario con enormes capacidades de abstracción y de reconocer patrones, regularidades y relaciones entre objetos pero a costa de mermar sus habilidades sociales. Muchos parecen tener algunos de los síntomas del síndrome de Asperger o padecen rasgos de leve autismo. Curiosamente éste es mucho más común en hombres que en mujeres lo que quizá este relacionado con el hecho de la mayor capacidad matemática (de media) de los hombres con respecto a las mujeres (lo siento por las feministas radicales que no les gustan las camisetas con mujeres en bikini pero los hechos son innegables).
    Los 2 excelentes libros de Marcus de Sautoy: «La música de los números primos» y «Simetría» están llenos de anécdotas de matemáticos despistados que visten como vagabundos, que descuidan las tareas cotidianas o que se despiertan en medio de la noche con ensoñaciones de entidades matemáticas de cientos de dimensiones (como el «monstruo», el más grande de los grupos finitos).
    Grothedieck vivió 20 años apartado en los Pirineos, Perelman no recogió el millón de dólares, Riemann, Newton, Euler y un largo etc destacaban por su seriedad y su carácter introvertido. Paul Erdos por ejemplo era absolutamente incapaz de realizar tareas cotidianas sin ayuda e incluso llamaba a las mujeres «seres intrascendentes» porque no sabían nada de Matemáticas (por eso no disfrutó nunca del sexo el pobre :D). Supongo que las feministas tacharían a Erdos de tarado y de machista, sin embargo, en la ciencia, entendida como conocimiento colectivo, lo que importan son las contribuciones a este conocimiento no la vida personal de los protagonistas y desde este punto de vista los Matemáticos ocupan el lugar más alto posible debido a que son los «elegidos» para poder interpretar y explicar el lenguaje en el que están escritas las leyes más profundas de la naturaleza. Desde cierto punto de vista, estas personas con aspecto de personas poco sociables que no despiertan ninguna pasión entre adolescentes y que no son seguidos por las masas están lo más cerca que un humano puede estar de la inmortalidad: son los responsables de explicar al resto de personas las relaciones que rigen el funcionamiento del Universo.
    Descanse en paz Alexander Grothendieck.

    1. ¿En verdad Antonio? 🙁

      A mi me hubiese encantado estudiar algo que tuviese que ver con él(Una vez estudiando para un exámen final de teoría de Módulos me encontré con un ejercicio en el libro chapter cero de Paolo Aluffi en donde construye sistemáticamente un grupo abeliano desde un monoide conmutativo y hasta hace unas semanas me enteré que la construcción era de Grothendieck y me sentí muy agradecido por esa suerte ), estoy justamente terminando la licenciatura en estos momentos espero poder tener la fortuna de estudiar un poco de su obra en algún momento de mi vida (tal vez en un postgrado). Seguramente la educación en españa es mucho más completa que en mi País (México), yo no tuve cursos introductorios a geometría algebraica y en algunos foros escuché que en España si los hay.

      1. Yo creo que lo vi en topología, en temas de álgebra homológica y tal, aunque ahora no sabría decirte exactamente en qué resultados, pero sí que el nombre me suena bastante de haberlo visto en la carrera (después de acabar el doctorado he dejado bastante de lado las matemáticas).

  2. Yo he leido que los matematicos rusos son los verdaderamente actuales herederos del trabajo de Grothendieck, ,en concreto a estos dos medallas fields: M Kontsevich y V Voevodsky. Es asi?

    1. yomismo:

      Es muy complicado señalar quiénes son los verdaderos herederos del trabajo de Grothendieck. Primero por el enorme impacto de sus trabajos y segundo por que justamente su obra en gran parte es extraordinaria por que conectó distintas ramas de las Matemáticas de manera muy inesperada.

      Por poner un ejemplo la K-teoría no sólo tiene importancia en la geometría algebraica si no también en ramas tan diversas como geometría no conmutativa, topología, geometría diferencial y hasta en materia condensada y agujeros negros embebidos en teoría de cuerdas.

      Siguiendo con la K-teoría. Esta motivó desarrollos fundamentales en diversas áreas y como la obra de Grothendieck misma es difícil incluso decir si la K-teoría es una afirmación directa de la geometría algebraica y su impacto en ella es su continuación directa. ¿Cómo distinguimos un heredero directo? es difícil pues esta impactó con resultados desde teorías extraordinarias de cohomología, el índice de Atiyah-Singer (Hay una conexión interesante), el teorema de periodicidad de Bott etc.

      Kontsevich por ejemplo es un Matemático extraordinario pero sus campos primordiales de estudio son campos que Grothendieck jamás frecuentó como cuantización, teoría de nudos simetría espejo homológica, teoría de nudos etc. aunque de nuevo como la obra de ambos es monumental hay un punto de contacto importante (Integración motivica, simetría espejo, variedades abelianas ó categorías trianguladas por mencionar ejemplos).

      Tengo un buen amigo que gusta decir (soy de la misma opinión) que el «heredero» (si es que eso es posible) es Jacob Lurie por que ha sido piedra angular en el estudio de la geometría algebraica derivada que me parece es el modo más natural de extender el lenguaje nuevo que introdujo Grothendieck en geometría algebraica. Pero esto que pienso es tremendamente subjetivo por que así como como el remplazo del funtor de asignación de anillos conmutativos a los abiertos de una variedad algebraica por la asignación del espectro de uno es un modo de generalizar hay otro más y generalmente conducen a ideas diferentes.

      Un ejemplo interesante de las distintas generalizaciones es lo siguiente:
      La geometría algebraica derivada te lleva a estudiar una «clase» nueva de grupos de homotopía en cierta «clase» de gavillas donde puedes pensar intuitivamente en módulos sobre el primer nuevo grupo de homotopía y mostrar que hay una equivalencia entre estos módulos y la categoría de anillos conmutativos (es decir todo esto te lleva a volver a interpretar el álgebra abstracta de otra manera) ¿Vez la conexión tan profunda entre geometría y álgebra? Claro también es profundamente misteriosa y mágica la categoría de anillos es muy diferente a las otras categorías que se estudian en los cursos de álgebra.

      Por otro lado un intento moderno de reformular la geometría algebraica viene de un misterioso objeto podeís buscar aquí sobre él http://en.wikipedia.org/wiki/Field_with_one_element es un asunto verdaderamente fascinante, Pero de nuevo este objeto tan misterioso sugiere de nueva cuenta reformular el álgebra en términos de objetos más «flexibles»

      ¿A qué es curioso?

      ¿Cuál de estas dos direcciones son los herederos? yo pensaría ingenuamente que las dos. En realidad son muchos más que dos.

      Serán tantos sus herederos como herederos de Euclides hubieron (Desargues,Newton,Gauss,Milnor etc.)

      Por cierto no puedo entender que el comité Fields no premiase a Jacob Lurie 🙁

      1. Por cierto me parece que Jacob Lurie tendrá más de cuarenta años en la próxima entrega de medallas Fields. Lo cual lo veta y para mi es incomprensible.

        Por cierto me olvidé de mencionar que Pierre Deligne es el alumno más eminente que tuvo Grothendieck y como es de esperar sus campos están conectados profundamente. Apuesto escribirá algo en su honor.

        Me gustaría mucho saber los intereses Matemáticos de Grothendieck en sus últimos días pero creo que esa no era su voluntad… una verdadera lástima (Ojalá tenga usted razón Francis y puedan ser publicados sus manuscritos inéditos como usted bien los llama)

  3. Estoy totalmente de acuerdo con Francis. La comparación con los cuaterniones no es descabellada.

    De hecho es muy interesante comenzarse a preguntar ¿Qué impacto tendrán los motivos (u otros descubrimientos de Grothendieck)en Física? Francis tiene un post estupendo que no yo olvido sobre la relación entre la emergencia del espaciotiempo en teoría de supercuerdas y ciertos objetos en geometría algebraica que interesaron a Grothendieck.

    Otro ejemplo sería el trabajo en teoría de Topos de Cristhoper Isham en gravedad cuántica, lo cual muestra que Grothendieck tuvo un impacto hasta en un tema tan alejado de su obra (aparentemente).

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Por Francisco R. Villatoro
Publicado el ⌚ 16 noviembre, 2014
Categoría(s): ✓ Ciencia • Matemáticas • Mathematics • Noticias • Personajes • Science
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