La versión cuántica del principio del palomar

Por Francisco R. Villatoro, el 26 enero, 2016. Categoría(s): Ciencia • Física • Mecánica Cuántica • Noticias • Physics • Science

Dibujo20160126 quantum pigeon principle experimental schema pnas org

El principio del palomar afirma que si tres palomas están en dos palomares entonces hay un palomar con al menos dos palomas. Pero la física cuántica permite que tres palomas cuánticas pueden ocupar dos palomares sin que haya un palomar con dos palomas. Más aún, un número arbitrario de palomas cuánticas puede ocupar dos palomares sin que haya uno con dos palomas. Parece paradójico para la intuición clásica, pero la física cuántica es así (cuando se usan medidas cuánticas débiles). Yakir Aharonov (Univ. Tel Aviv, Israel) y sus colegas lo demuestran matemáticamente y lo comprueban experimentalmente usando un interferómetro de Mach–Zender para electrones.

El artículo es Yakir Aharonov et al., “Quantum violation of the pigeonhole principle and the nature of quantum correlations,” PNAS 113: 532–535, 19 Jan 2016, doi: 10.1073/pnas.1522411112arXiv:1407.3194 [quant-ph]. Una presentación breve en Jamie Condliffe, “Forget Schrödinger’s Cat: The Latest Quantum Puzzle Is About Three Pigeons in Two Holes,” Gizmodo, 21 Jan 2016.

La figura que abre esta entrada muestra el experimento realizado, basado en un interferómetro Mach–Zender para electrones. Se observan los dos divisores de haz BS1 y BS2, un desplazador en fase PS de media onda (un ángulo π), y los dos detectores D1 y D2. Los detectores determinan la posición de cada partícula con gran precisión. Al inyectar un electrón por la izquierda, BS1 genera un estado ∣+⟩=(|L⟩+|R⟩)/√2. Al aplicar PS en el camino |R⟩, el estado medido por los detectores corresponde a los autoestados ortogonales ∣±i⟩=(|L⟩±i|R⟩)/√2. Por tanto, si el estado del electrón antes de PS es |+i⟩ entonces será detectado por D1 con probabilidad 1, mientras que si es |−i⟩ será detectado por D2 con probabilidad 1.

Al inyectar tres electrones en el interferómetro de forma simultánea aparece la magia cuántica. Cuando dos electrones siguen el mismo brazo del interferómetro (|L⟩ o |R⟩) se repelen entre sí; este cambio de momento cambia su posición final en los detectores. Cuando dos electrones siguen brazos distintos no se repelen, no hay transferencia de momento y su posición final no sufre ninguna alteración. La paradoja se observa en el experimento solo cuando los tres electrones son detectados por el detector D1 (la postselección en la medida). Si dos partículas han seguido el mismo camino deberían haber interaccionado y sus posiciones deberían estar desplazadas.

Dibujo20160125 Observed distribution shows no displacement of the beams whereas naively we would expect it pnas org

Sin embargo, la medida débil del estado final postseleccionado no muestra ningún desplazamiento de las posiciones de los electrones (parte izquierda de la figura A). Por supuesto, un argumento clásico debería mostrar una combinación de los cuatro posibles casos mostrados en la figura B (la parte derecha de la figura A). La clave del resultado es la postselección del estado final en el que los tres electrones son medidos por el detector D1.

Sin lugar a dudas, Dirichlet nunca pudo soñar con la versión cuántica del principio del palomar que propuso en 1834. Los detalles matemáticos no son difíciles. Se toman dos palomares cuánticos, sean |L⟩ (izquierdo) y |R⟩ (derecho), y tres palomas cuánticas, sean 1, 2 y 3. Se puede preparar el estado de cada paloma en superposición de ambos palomares, ∣+⟩=|L⟩+|R⟩)/√2. El estado conjunto de las tres palomas es un estado producto |Ψ⟩=|+⟩1|+⟩2|+⟩3. En este estado hay una probabilidad distinta de cero de que dos palomas se encuentren en el mismo palomar. Pero podemos realizar una medida cuántica que conduzca a un estado final |Φ⟩=|+i⟩1|+i⟩2|+i⟩3 en el que dicha probabilidad sea exactamente cero. Para ello se prepara la medida cada partícula en el estado |Ψ⟩ para ver si su estado es ∣+i⟩=(|L⟩+i|R⟩)/√2, o ∣−i⟩=(|L⟩−i|R⟩)/√2 (como son dos estados ortogonales entre sí siempre se puede diseñar un dispositivo experimental para medir este estado en cada partícula).

Tomemos dos palomas cuánticas, sean la 1 y la 2 (como el estado es simétrico pasará lo mismo para cualquier otro par). Las dos estarán en la misma caja su estado está en el subespacio cuya base es |L⟩1|L⟩2 y |R⟩1|R⟩2, que tiene asociado el proyector Π; estarán en diferentes cajas si su estado está en el subespacio complementario cuya base es |L⟩1|R⟩2 y |R⟩1|L⟩2, con proyector Π* (omito la definición explícita de los proyectores). En el estado inicial |Ψ⟩ las probabilidades de que ambas partículas se encuentren en la misma caja o en cajas diferentes son del 50%, es decir, ⟨Ψ|Π|Ψ⟩=0,5 y ⟨Ψ|Π*|Ψ⟩=0,5. En el estado final |Φ⟩ ocurre lo mismo. Sin embargo, una medida débil del estado final conduce a ⟨Φ∣Π∣Ψ⟩=0 y ⟨Φ∣Π*∣Ψ⟩=1. He omitido los cálculos detallados, son sencillos. Lo importante es que usando la postselección del estado resulta que en la medida débil de los estados finales nunca se encontrarán dos palomas cuánticas en el mismo palomar.

Los físicos que lean esto pueden recurrir al artículo original para disfrutar de la generalización a N palomas y M palomares. Sin embargo, basta tres palomas y dos palomares para pillar la idea (además de que es la manera en la que se ha realizado el experimento). Un resultado curioso que lleva la firma de Yakir Aharonov, quien a sus 83 años sigue publicando artículos muy sugerentes.



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