Os transcribo mi charla «720 grados» del sábado 22 de noviembre en el evento Naukas Palma 2025 «360° de ciencia». La charla tuvo una duración de 20 minutos y presentó las ideas fundamentales de la teoría de representaciones irreducibles de grupos de rotaciones que permiten entender por qué un fermión como el electrón tiene un estado cuántico que cambia de signo bajo una rotación de 360 grados y requiere una segunda rotación de 360 de grados, hasta alcanzar 720 grados, para que recuperar su estado inicial. ¡Que disfrutes de la charla!

Todas las personas en esta audiencia sabéis que si giro 360 grados, una vuelta completa, vuelvo a mi estado original. Todas vosotras sabéis que si giro 720 grados, doy dos vueltas completas, me pasa lo mismo. Sin embargo, las personas que habéis estudiado física sabéis que esto no es así para un electrón. Si giramos un electrón 360 grados su estado cuántico cambiará de signo y será necesario un segundo giro de 360 grados, un total de 720 grados, para que se recupere el estado cuántico original.

Este fenómeno ocurre en muchas otras partículas además del electrón, como en el protón, el neutrón y los neutrinos. Se llama fermiones a las partículas que requieren un giro de 720 grados para recuperar su estado original. Se llama bosones a las partículas que lo recuperan con un único giro de 360 grados. Partículas como el famoso Higgs, el fotón, y los bosones W y Z.

Un electrón tiene carga eléctrica negativa y también tiene un momento magnético, se comporta como un pequeño imán. Podemos usar un campo magnético externo para rotar un electrón 360 grados. Pero el experimento no ha sido realizado porque hay que apantallar su carga eléctrica. Por ello es más fácil realizar este experimento usando un neutrón, que no tiene carga eléctrica, pero también tiene un momento magnético.

El experimento se publicó por primera vez el 20 de octubre de 1975 usando interferometría de neutrones. Un haz de neutrones incide sobre un material que lo divide en dos haces de neutrones que después puedo volver a combinar en un único haz de neutrones para observar su patrón de interferencia. Si aplico un campo magnético en uno de los caminos del interferómetro puedo rotar dichos neutrones en 360 grados (2π radianes) y en 720 grados (4π radianes) para estudiar como cambia el patrón de interferencia.

Fuente: El artículo de S. A. Werner, R. Colella, …, C. F. Eagen, «Observation of the Phase Shift of a Neutron Due to Precession in a Magnetic Field,» Physical Review Letters 35: 1053-1055 (20 Oct 1975), doi: https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.35.1053.

Este experimento fue repetido por el grupo de Anton Zeilinger, Premio Nobel de Física en 2022, que también lo publicó el mismo día, el 20 de octubre de 1975, pero en otra revista. El patrón es de interferencia constructiva si no se rota el neutrón, o si se rota 720 grados, porque la función de onda del neutrón no cambia de signo, pero es de interferencia destructiva si se rota 360 grados, porque la función de onda del neutrón cambia de signo.

Fuente: El artículo de H. Rauch, A. Zeilinger, …, U. Bonse, «Verification of coherent spinor rotation of fermions,» Physics Letters A 54: 425-427 (20 Oct 1975), doi: https://doi.org/10.1016/0375-9601(75)90798-7.

No solo se ha observado con partículas, también con átomos neutros. Un átomo neutro está formado por Z electrones ligados a un núcleo con Z protones y a A − Z neutrones. Puede ser un fermión o un bosón en función de su número total de partículas. Si el número de neutrones es impar es un fermión y si es un número par es un bosón. Por ejemplo, el hidrógeno H-1 y el carbono-12 son bosones, mientras que el deuterio H-2 y el carbono-13 son fermiones.

Usando técnicas de interferometría basada en resonancia magnética nuclear para átomos neutros se logró demostrar en octubre de 1977 el cambio de signo en la función de onda para una rotación de 360 grados en átomos de carbono-13. Otros artículos lo han demostrado para el deuterio y otros átomos fermiónicos.

Fuente: El artículo es M. E. Stoll, A. J. Vega, R. W. Vaughan, «Explicit demonstration of spinor character for a spin-1/2 nucleus via NMR interferometry,» Physical Review A 16: 1521-1524 (01 Oct 1977), doi: https://doi.org/10.1103/PhysRevA.16.1521.

Nadie sabe por qué, pero las matemáticas funcionan, son el lenguaje de la naturaleza. Wigner, el padre de la teoría de representaciones irreducibles de grupos aplicados a la Física, lo llamó “la irrazonable efectividad de las matemáticas en la naturaleza”. Para explicar los 720 grados tengo que hablarles de las matemáticas de Wigner. [00:20] [14:45]

Las personas mayores de 40 años recordarán que en EGB se estudiaba lo que eran un conjunto y un grupo. Hoy en día ya no se enseña en Educación Básica, ni en ESO, ni siquiera en Bachillerato. Un grupo es un conjunto de elementos (las rotaciones en este caso) con una operación producto (aplicar dos rotaciones seguidas) que cumple tres condiciones: (1) existe un elemento unidad (no rotar o rotar cero grados); (2) el producto de dos rotaciones es una rotación, es decir, existe una rotación única que me da el mismo resultado que aplicar dos rotaciones seguidas; y (3) toda rotación tiene inversa (pues basta cambiar el sentido de giro, o el signo del ángulo).

El grupo de las rotaciones en el plano se llama SO(2), grupo ortogonal especial de dimensión dos. Cada punto en el plano tiene dos coordenadas, x e y, descritas como un vector columna con dos componentes. Cada rotación con un ángulo θ se describe con una matriz de 2 por 2 que tiene cosenos y senos de θ. Esta matriz es ortogonal, pues su inversa (cambiar el signo de θ) es igual a su traspuesta (intercambiar filas y columnas). Además, su determinante es la unidad, de ahí el adjetivo “especial” en el nombre del grupo SO(2).

Los puntos del plano se pueden describir usando números complejos, z, con x su parte real e y su parte imaginaria, siendo i la unidad imaginaria, la raíz cuadrada de −1. Todo número complejo tiene un módulo r, su distancia al origen, y un ángulo llamado fase, φ. Usando la fórmula de Euler vemos que un número complejo de modulo unidad está dado por un ángulo θ, lo que implica que describe una rotación en el plano. Para rotar un número complejo z basta multiplicarlo por dicho número unitario e^iθ. Por ello las rotaciones también se describen con el grupo unitario de dimensión 1, llamado U(1).

Las rotaciones en 3 dimensiones son mucho más complicadas, pues vienen dadas por un ángulo de giro θ alrededor de un eje de giro definido por dos ángulos, sean latitud ϕ y longitud ψ. Un eje de giro es una línea que corta una esfera en dos puntos (antipodales), basta tomar solo uno de ellos. Así, dos de los tres ángulos definen un punto en un hemisferio (en color azul) y el ángulo de giro define un punto en una circunferencia (en color naranja) asociada a cada punto del hemisferio norte. Este espacio geométrico se llama espacio proyectivo real tridimensional ℝℙ³, que solo se puede visualizar en 4 dimensiones. Se puede demostrar que el producto de dos rotaciones en ejes diferentes es igual a una rotación en cierto eje y que para invertir una rotación basta cambiar el sentido de giro.

Que las matemáticas no les asusten, sé que son complicadas, solo quiero que se queden con la idea. Podemos describir un punto ne 3D como un vector columna con componentes x, y, y z. Euler demostró (c. 1775), sin usar matrices, pues se inventaron c. 1850, que usando rotaciones en los ejes coordenados, x, y, y z, se puede construir una rotación sobre un eje cualquiera. Las rotaciones en los ejes coordenados se pueden escribir como matrices 3 por 3 que son ortogonales de determinante unidad (su inversa es igual a su transpuesta como en el caso 2D); el producto y la inversa de estas matrices mantiene dicha propiedad. Por ello, el grupo de las rotaciones en tres dimensiones se llama SO(3), grupo ortogonal especial de dimensión tres.

También podemos describir las rotaciones en 3D usando números complejos. Cada punto del espacio se escribe con un vector columna de dos números complejos, que cumplen cierta relación de normalización. Las rotaciones se escriben mediante matrices unitarias de 2 por 2 con determinante unidad. Os recuerdo que conjugar un número complejo es cambiar la parte imaginaria de signo. Una matriz es unitaria si su inversa es su transpuesta conjugada. A este grupo se le llama SU(2), grupo unitario especial de dimensión 2.

Una rotación en tres dimensiones está dada por tres ángulos, dos para el eje de giro y otro para el ángulo de giro. La geometría del grupo SU(2) es la esfera tridimensiónal S³, que es mucho más sencilla que la geometría del grupo SO(3), el espacio proyectivo real ℝℙ³. En la esfera S³, cada eje de rotación está dado por dos puntos, luego hay dos matrices unitarias SU(2) por cada rotación, en lugar de una única matriz ortogonal SO(3). Por ello, el grupo SU(2) es el recubridor doble del grupo SO(3). Esta propiedad matemática es la clave para entender el efecto de 720 grados en un electrón.

Hemos visto como actúa un grupo de rotaciones sobre el espacio, pero ¿cómo actúa sobre una función del espacio? Imaginad la temperatura en esta sala (un campo de temperaturas), el valor de la función temperatura en cada punto. Si roto la sala 45 grados a la derecha y aplico la función temperatura (figura de la izquierda), el resultado estará mal, porque el punto que ahora tengo delante no es el que tenía antes de rotar, sino uno que estaba 45 grados a mi izquierda. Para obtener el valor correcto (figura de la derecha), antes de aplicar la función tengo que «deshacer» la rotación que voy a hacer luego. Primero rotaré la sala 45 grados a la izquierda y después aplicaré la función temperatura, así obtendré el valor correcto cuando rote la sala 45 grados a la derecha.

La teoría de representaciones de grupos nos dice como actúan los grupos sobre las funciones del espacio. En particular, para los grupos de rotaciones, nos dice como hay que rotar las funciones cuando se rota el espacio. En el caso de la temperatura se usa una representación ρ(R) de dimensión 1, porque la temperatura es un único número en cada punto del espacio.

Para una función vectorial, como (el campo de) las velocidades del aire en esta sala, cada punto lleva asociado un vector con tres componentes, una flecha. Al aplicar una rotación, dicha flecha debe rotar de forma solidaria con el espacio. Hay que usar una representación de dimensión 3, que nos da la matriz asociada a la rotación que se debe aplicar a las tres componentes de la flecha.

Una representación se llama reducible si la matriz de la representación siempre se puede descomponer en bloques separados de menor dimensión y se llama irreducible si no se posible. En física nos interesan las magnitudes físicas que tienen representaciones irreducibles, porque si la representación es reducible se considera que son varias magnitudes independientes. Lo más fascinante es que ls dimensiones posibles para las representaciones de un grupo dependen de dicho grupo.

En el caso de las rotaciones descritas por el grupo SO(3), todas las representaciones irreducibles tienen dimensión impar: 1, 3, 5, … que se calcula con la fórmula 2 ℓ + 1, donde ℓ es un parámetro que vale 0, 1, 2, 3, … En física cuántica, el número ℓ se llama número de momento angular. Si tuviera diez minutos más os contaría que todo grupo continuo tiene asociado un álgebra de generadores. Para el grupo SO(3) dicha álgebra es idéntica al álgebra de los operadores cuánticos del momento angular. Resulta sorprendente que SO(3) no tenga representaciones irreducibles con dimensión par. ¿No hay magnitudes físicas con un número par de componentes?

Las funciones de onda en física cuántica se escriben con números complejos. Por ello, la descripción natural de las rotaciones en física cuántica usa el grupo SU(2). Sus representaciones irreducibles tienen cualquier dimensión, tanto par como impar. Su dimensión se calcula con la misma fórmula, 2 s + 1, donde el parámetro s = 0, 1/2, 1, 3/2, 2, …, se llama número de espín, o en física cuántica número de momento angular de espín. Para espín entero, s = 0, 1, 2, 3, …, las representaciones tienen dimensión impar y se llaman vectoriales (los vectores en color azul). Para espín semientero, s = 1/2, 3/2, 5/2, …, las representaciones se llaman espinoriales (los vectores en color rojo se llaman espinores).

¿Qué es lo que diferencia a los vectores y los espinores? Las matrices de las representaciones irreducibles del grupo SU(2)  se pueden factorizar por una matriz diagonal con números complejos unitarios, e^{i m θ}, con m el índice de las componentes (tanto del vector como del espinor). En la imagen aparece el caso de las rotaciones respecto al eje z, para las que la matriz de representación es diagonal. Para una rotación de 360 grados en cualquier eje de giro, si el espín es entero, m es entera y la fase compleja es igual a uno (e^{i m 2π} = +1), con lo que la función de onda cuántica no cambia de signo y se comporta como un vector. Pero si el espín  es semientero, m es semientera y la fase es igual a menos uno (e^{i m 2π} = −1), con lo que la función de onda cuántica cambia de signo y se comporta como un espinor. Será necesaria una rotación de 720 grados (e^{i m 4π} = +1), para que se recupere el estado original.

Los espinores eran una curiosidad matemática de la teoría de representaciones de grupos hasta que Dirac propuso su ecuación cuántica relativista para el electrón. La solución de esta ecuación es un biespinor (dos espinores): un espinor para el electrón y otro espinor para su antipartícula, el positrón. Lo mismo pasa con todos los fermiones, las partículas de materia de espín semientero, que tienen asociadas antipartículas de antimateria (antifermiones). Por cierto, solo los fermiones tienen asociadas antipartículas. Para los bosones, las partículas de espín entero, no es correcto afirmar que tienen antipartículas. No tiene sentido decir que un fotón es su propia antipartícula, o que un bosón W⁺ es la antipartícula del W⁻. Afirmarlo es abusar del lenguaje.

Las partículas del modelo estándar son excitaciones localizadas de campos cuánticos que se describen mediante representaciones irreducibles del grupo de Poincaré, ISO(3,1). Este grupo combina el grupo de transformaciones de Lorentz, SO(3,1), que da lugar al espín de los campos cuánticos y de sus partículas, con el grupo de las traslaciones en el espaciotiempo, que da lugar a un parámetro continuo con unidades de energía, la masa de las partículas. No os he presentado este grupo porque es un poco más complicado que los grupos de rotaciones y para enfatizar que el origen del espín se puede explicar usando la teoría de representaciones de los grupos de rotaciones en el espacio. No se necesita una formulación relativista para describir el origen del espín.

Espero que ahora entiendan mejor el porqué es difícil explicar el espín a nivel divulgativo: se requieren matemáticas, «la irrazonable efectividad de las matemáticas en la naturaleza». Muchas gracias por su atención.