Nuevos resultados sobre flujo de Ricci y la conjetura de Poincaré

Dibujo20141126 Grigori Perelman mathematician - 25 july 2014 - the moscow times

La intuición del genial matemático Grigory Perelman le llevó mucho más lejos de lo que le permitió el rigor matemático. Su demostración original de la conjetura de Poincaré y de la conjetura de geometrización de Thurston contenía varios errores. Todos fueron corregidos o evitados por otros autores. Destaca su afirmación de que, para una 3-variedad compacta simplemente conexa, basta realizar un número finito de operaciones de cirugía en el flujo de Ricci para demostrar que es homeomorfa a una 3-esfera. En la versión final de su demostración [Kleiner-Lott,Cao-Zhu,Morgan-Tian,Tao] basta con controlar de forma adecuada la cirugía, sin importar si es necesario aplicarla un número infinito de veces.

¿Le falló la intuición a Perelman? Richard H. Bamler (Univ. California, Berkeley, EEUU) ha logrado demostrar que la intuición del genio llegaba donde sus seguidores, hasta ahora, no han podido llegar. Una versión mejorada de la cirugía de Hamilton-Perelman permite demostrar que siempre es posible aplicar solamente un número finito de operaciones de cirugía. La demostración es un tour de force, pero en mi opinión, Perelman la hubiera podido obtener de su puño y letra si no hubiera abandonado las matemáticas de forma activa.

Todos los que hayan estudiado flujo de Ricci deberían leer la serie de artículos de Richard H. Bamler, “Long-time behavior of 3 dimensional Ricci flow.” En mi opinión transpiran el espíritu de Perelman y, por qué no decirlo, son de gran belleza. Yo los estoy disfrutando como si los hubiera escrito el mismísimo Perelman: “Introduction,” arXiv:1411.6658 [math.DG]; “A: Generalizations of Perelman’s long-time estimates,” arXiv:1411.6655 [math.DG]; “B: Evolution of the minimal area of simplicial complexes under Ricci flow,” arXiv:1411.6649 [math.DG]; “C: 3-manifold topology and combinatorics of simplicial complexes in 3-manifolds,” arXiv:1411.6647 [math.DG]; y “D: Proof of the main results,” arXiv:1411.6642 [math.DG].

Los que no hayan estudiado flujo de Ricci no entenderán los artículos de Bamler. Para ellos les recomiendo este documental ruso sobre Perelman, con subtítulos en inglés, que he visto gracias a Miguel Ángel Morales Medina, aka ^DiAmOnD^, aka @gaussianos, “[Vídeo] Documental sobre Grisha Perelman y la resolución de la conjetura de Poincaré,” Gaussianos, 25 Nov 2014.

En dicho documental Mikhail Gromov califica la actitud de Perelman como poco ética con los gigantes en cuyos hombros se ha subido. Ellos le enseñaron lo suficiente para alcanzar, con su propio esfuerzo, la cima de la gloria. Pero él ha abandonado las matemáticas y no devuelve a las matemáticas el producto de dicho esfuerzo. En opinión de Gromov, Perelman debería enseñar a las nuevas generaciones su know how, su manera de abordar problemas, su intuición matemática, para devolver formando a otros lo que él recibió de los que le formaron.

En cualquier caso, gracias a matemáticos como Bamler, estamos logrando aprender de segunda mano lo que Perelman nos podría haber enseñado de primera mano. Por ello, el trabajo de Bamler y de otros matemáticos como él es de gran importancia. Y perdón, pero ahora sigo estudiando sus artículos (que estoy disfrutando como si los hubiera escrito el propio Perelman).

Coda final. Esta entrada participa en la Edición 5.8: Betty Scott del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organiza Tocamates.



6 Comentarios

  1. Hola Francisco. Interesante entrada. Estoy en desacuerdo con Gromov. El genio, la intuición , el talento, la chispa creadora, no puede enseñarse. Puedes absorber actitudes, principios, reflexiones, conocimientos, de todos los maestros que tengas en el camino. Pero el camino de la creación lo recorres solo. Es la única manera de ser verdaderamente originales y no ser una mera imitación. Puede ser estimulante para ciertas personas estar en compañía de estas personalidades, pero la mayoría cae en el servilismo y la obsecuencia. Siempre se ha acusado a las grandes personalidades de fabricar copias de si mismos en la figura de sus discípulos (no solo en la matemática sino en casi todas las ramas de la creación humana). Entre todos aquellos que lo admiran ¿habrá alguien que realmente tenga la capacidad para llegar mas lejos que el maestro? No lo dudo. Puede ser que entre ellos alguno lo supere . Pero estoy convencido de que los genios del nivel de Perelman no tienen nada que enseñar y nadie de quien aprender. Contemplemos sus logros y envidiemos a estos genios sanamente. Hasta pronto Francisco y espero tus artículos sobre el libro del señor Thorne.

    1. Yo creo, Gaston, que sí se puede enseñar algo respecto a la creatividad, y es a ser capaz de mantener los pies en el suelo, lo cual es lo más difícil cuando el deseo de que surja la magia en el desarrollo , nos desvía por caminos absurdos. El legado creativo de Maxwell, por ejemplo, no nos asombra tanto como el de Einstein, porque a primera vista no parece tan rompedor o mágico, pero realmente es mucho más asombroso, porque en ningún momento parece que tuviera que cruzar los dedos para que la naturaleza le diera la razón, al contrario, seguía su esquela maravillosamente.

  2. De un viaje me he traído el precioso libro de George G. Szpiro La conjecture de Poincare, que como una lectura introducción al problema en cuestion puede servir. Por otro lado ayuda a entender el genial matemático qe es Perelman

  3. Paco SM te recomiendo el siguiente material:
    http://www.mat.ucm.es/~jlafuent/Docencia/CV/poincare.pdf

    Es una auténtica maravilla. Te ayuda a comprender de manera heurística el problema (tal vez él único modo en que muchos de nosotros podremos hacerlo en nuestras visas).

    Cuando terminé de leer ese artículo estaba verdaderamente fascinado gracias a la magnífica guía del autor puedes especialmente puedes observar la clásica frase “lo importante es el camino y la teoría desarrollada no tanto en sí el resultado” en todo su esplendor. Por ejemplo hay una parte en la que busca enunciar de manera adecuada el problema y cuenta que Poincaré propone “Toda 3-variedad compacta tal que su grupo fundamental es trivial es homeomorfa a la esfera” (lo interesante es que muchos que ignorabamos el enunciado preciso era justamente la idea que teníamos) lo cual refuta con un contraejemplo bellísimo y hace ver la no trivialidad del problema.

    Lo que a mi me sigue causando una gran fascinación (y tal vez nunca termine de entenderlo en mi vida) es como un problema de topología algebraica tan importante ha sido resuelto usando técnicas geométricas. Esto revela algo MUY profundo.

    En verdad algo fascinante.

  4. OffTopic:

    Hay un aspecto de la conjetura de Poincaré que es a mi parecer la gran impresión que nos llevamos todos cuando se nos comentó por primera vez. No es el hecho de que el problema exprese una especie de “unicidad” para la 3-esfera, ¡Es la dimensión de la esfera!

    Lo digo por que el estudio de las 3-variedades son uno de los temas más extraordinarios de las matemáticas. Son tan misteriosamente diferentes de todas sus contrapartes no coincidentes en otra dimensión (Ejemplos: R^4 fake, el asunto de la no unicidad de estructuras diferenciables aquí es drástico, la teoría de nudos es algo muy exótico, la homología de las esferas sería algo muy bien comprendido de no ser por la existencia de la esfera homológica y un vastísimo etc.) que hace obvio pensar que hay algo mágico en bajas dimensiones concretamente n=4.

    Esto lo menciono por que bueno… nosotros estamos habituados a vivir en un espaciotiempo con cuatro dimensiones (al menos cuatro “efectivas”) lo que me lleva a pensar que tal vez en el futuro estas cuestiones tendrán importancia en la física 🙂 (ya lo tienen de hecho en teorías de Yang Mills pero me refiero a “algo más”)

    Por cierto no quise dar a entender que la 3-esfera no fuera extraordinaria de hecho es mi objeto matemático favorito XD (Hay una relación que a mi me ha parecido una de los hechos más fascinantes que he visto en las matemáticas recientemente y tiene que ver con “un modo de compactificar SPEC(Z)” en la 3-esfera)

    1. Ramniro, las 2-variedades y las 3-variedades son geometrizables (su clasificación topológica es equivalente a su clasificacón geométrica), sin embargo, las 4-variedades no son geometrizables (su topología no viene determinada por su geometría), aunque son PL-geometrizables (a trozos son geometrizables), algo que tampoco se cumple para las n-variedades con n>4. La baja dimensión elimina dificultades e introduce equivalencias; a dimensiones altas las dificultades son enormes y si bien no sabemos casi nada de las 4-variedades, lo sabemos todo de las 3-variedades. Que no te confunda el caso de las esferas y la conjetura de Poincaré, un caso extremadamente excepcional en el mundo de las n-variedades.

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Por Francisco R. Villatoro
Publicado el ⌚ 26 noviembre, 2014
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