La función auto-exponencial

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La función auto-exponencial xx = exp(x log(x)) es un número real para x≥0. Para valores x<0, su valor es un número complejo. El logaritmo de un número negativo es una función compleja multivaluada, log(x)=log(|x|)+i arg(x). Para x real, podemos tomar valores discretos arg(x)=2πi k, con k un número entero. Para cada valor de k se tiene una curva en 3D dada por (x,y,z) con y+i z = exp(|x| (log(x)+2πi k)). Esta figura de Mark McClure muestra 11 de dichas curvas (para k=0, 1, 2, …, 10), lo que nos permite ilustrar que la envolvente de todas ellas tiene una forma muy sugerente.

Esta figura se llama husillo xx (o en inglés xx spindle) y se publicó por primera vez en Mark D. Meyerson, “The xx Spindle,” Mathematics Magazine 69: 198-206, (Jun 1996), doi: 10.2307/2691469. Me he enterado gracias a Alex, “The Sophomore’s Spindle: All about the function x^x,” Post-Doc Ergo Propter Hoc, 22 Nov 2015, que la ha tomado de Mark McClure, “The x^x Spindle,” Wolfram Demonstrations Project. Bueno, de hecho, me la ha recordado de cuando leí sobre ella en el libro de Jonathan M. Borwein, David H. Bailey, Roland Girgensohn, “Experimentation in Mathematics: Computational Paths to Discovery,” A K Peters/CRC Press (2004).

Dibujo20151129 x power to x function wolframalpha com

La función xx = exp(x log(x)), como función real de variable real, tiene como dominio x≥0 (parte derecha de la figura) y para extenderla a toda la recta real se recomienda usar |x||x| = exp(|x| log(|x|)), que es continua, pero no diferenciable, en el punto x=0 (parte izquierda de la figura).

¿Cuál es la derivada de la función y=xx respecto de x? Por supuesto, no es x·xx−1. Aplica logaritmos log(y)=x log(x), deriva ambos miembros y’/y = log(x)+1, y, voilà, ya tienes el resultado: y’ = xx (log(x)+1). Lo sé, lo sé, he hecho spoiler, tú mismo hubieras obtenido este resultado sin mi ayuda. ¿Te atreves a derivar la función y=f(x)g(x) respecto de x?

Como es obvio por su definición, la función xx crece muy rápido, incluso más rápido que el factorial xx > x! > exp(x), para x grande. ¿Te atreves a calcular el valor mínimo de la función xx y para qué valor positivo de x se alcanza? Y ya que estamos jugando con derivadas, ¿te atreves a calcular el valor mínimo de la función |x||x| y para qué valor negativo de x se alcanza?

La función W(x) de Lambert se define como la función inversa de la función y = x ex, es decir, x = W(y). No sé si has jugado alguna vez con esta función. Aplicando logaritmos se maneja con cierta soltura. Te propongo un último reto, el más difícil. ¿Serías capaz de calcular la función inversa de y = xx usando la función W de Lambert? Ayuda: la respuesta es una expresión sencilla del logaritmo y de la función W de Lambert.

Coda final. Esta entrada participa en la Edición 6.8 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog Gaussianos. Espero que mi amigo Miguel Ángel Morales Medina me perdone por no haber participado en esta edición con una entrada más sesuda. La he improvisado in extremis (hoy es el último día para participar en el Carnaval). Por cierto, si lees esto hoy y aún no has participado, anímate. ¡Venga, vamos!

7 Comentarios

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renecoreneco

No entiendo, dices que tiene como dominio x≥0 e inmediatamente dices que la misma función vale para valores x<0.

HéctorHéctor

En los reales x>=0 y en los complejos x<0, ya lo aclarar en el texto. Lo mismo pasa con la raíz cuadrada, en los reales no tiene sentido los valores x<0, pero en los complejos sí.

Francisco R. Villatoro

Gracias, Héctor, trataré de aclararlo en el texto (lo de decir siempre función real de variable real con dominio tal y cual siempre resulta pesado, máxime en el primer párrafo de un post).

Pablo Rodríguez

¿Te atreves a derivar la función y=f(x)^g(x) respecto de x?

Usando f(x)^g(x) = e^(g(x) · log(f(x))) se puede derivar directamente. El resultado que obtengo es:

y’ = f(x)^g(x) · ( g'(x) · log(f(x)) + g(x) · f'(x)/f(x) )

¿Te atreves a calcular el valor mínimo de la función xx y para qué valor positivo de x se alcanza?

La derivada es: y’ = x^x · (log(x) + 1)

Solamente la parte entre paréntesis se puede anular para x > 0, y esto sucede cuando x = 1/e.

PS: ¿alguien sabe si se puede insertar Latex en los comentarios en Naukas?

Pablo Rodríguez

El último ejercicio me ha hecho sudar un poco más. Primero notamos que:

log y = x · log x = log x · e^(log x) = W_inversa(log x)

De modo que:

log x = W(log y)

y finalmente

x = e^(W(log y))

MistolMistol

Como curiosidad, la funcion de Lambert aparece en la Teoria de Cuerdas como la entropia de ciertos agujeros negros. En concreto, la entropia de una clase de agujeros negros de la Teoria de Cuerdas tipo IIA compactificada en un “self-mirror” Calabi-Yau three-fold viene dada por una elegante expresion en funcion de la funcion de Lambert. Vease:

http://arxiv.org/abs/1304.8079

para mas detalles. Sobre la funcion Exponential Integral u la funcion de Lambert en Supergravedad en relacion a la violacion del “no-hari theorem”, vease:

http://arxiv.org/abs/1310.6379

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