La transición de Einstein de físico a matemático

Dibujo20151224 elsa great cannyon Albert Einstein Archives Princeton University Press

Hay muchas leyendas populares sobre Albert Einstein. Una afirma que descubrió su teoría de la gravitación, la teoría general de la relatividad, buscando la belleza matemática. Pero su modelo físico está sustentado en principios físicos firmes. La diferencia puede parecer sutil, pero es muy relevante según nos cuenta el famoso físico y divulgador Lee Smolin. El joven Einstein actuó como físico al desarrollar su teoría de la gravitación, pero se transformó en matemático cuando, ya mayor, atacó sin éxito la unificación de toda la física.

Según Smolin, los jóvenes físicos deben aprender la lección. Confiar en la belleza de las ecuaciones, la naturalidad o la simetría, como le ocurrió a Einstein en sus últimas décadas de vida, no les llevará más allá del modelo estándar. Las observaciones físicas deben ser la guía del trabajo de los físicos. Los jóvenes deben empoderarse en su intuición física para explicar las anomalías observacionales, en lugar de en su maestría en el uso de las herramientas matemáticas.

Te recomiendo leer de primera mano a Lee Smolin, “Lessons from Einstein’s 1915 discovery of general relativity,” arXiv:1512.07551 [physics.hist-ph]. Para incitarte a ello no me resisto a presentar un breve resumen. Por cierto, más fotos curiosas de Einstein en Tom Chivers, “14 Rare Photos Of Albert Einstein That You’ve Probably Never Seen Before,” BuzzFeed, 25 Nov 2015.

Dibujo20151224 walking Albert Einstein Archives - Princeton University Press

Una leyenda popular afirma que Einstein fue un genio solitario que se inspiró en la belleza de las matemáticas para descubrir su teoría de la gravitación en 1915. El propio Einstein difundió esta leyenda en varios ensayos y charlas de divulgación en la década de 1920. Afirmaciones como “he aprendido algo de la teoría de la gravitación, ninguna colección de hechos empíricos, no importa su amplitud, puede llevar a la formulación de ecuaciones tan complicadas…” Smolin nos resume lo que ha aprendido de historiadores como Jürgen Renn, John Satchel y Julian Barbour, quienes han tratado de desvelar lo que hizo Einstein durante los ocho años de duro trabajo que le llevaron a su teoría.

Para empezar, Einstein no trabajó solo. Tenía colaboradores, competidores y amigos con los que mantuvo una comunicación continua mientras trabajaba. A diferencia de Newton, no inventó las matemáticas que necesitó. Gracias a Marcel Grossman empleó matemáticas desarrolladas en la segunda mitad del siglo XIX. De hecho, Einstein no era muy bueno en el uso de esta nueva matemática. Muchas soluciones de las ecuaciones de la relatividad general, muy simétricas y muy sencillas, fueron obtenidas por otros físicos y matemáticos poco tiempo después de que Einstein tratara de obtenerlas sin éxito.

Einstein destacó en su intuición física y en su perspicacia. Su gran idea física, revolucionaria, simple en extremo, pero muy poderosa en su manos, fue el principio de equivalencia. Para extraer física de dicho principio tuvo que ensuciarse las manos con unas matemáticas farragosas que no dominaba. Smolin nos describe su asombro al ver por primera vez las imágenes de los cuadernos manuscritos de Einstein que Jürgen Renn le mostró en Berlín hace quince años. El genio usó las mismas técnicas que usaría cualquier físico para construir un modelo de un fenónemo físico. Técnicas matemáticas aproximadas, poco elegantes, muy alejadas de la gran belleza de la versión final de la teoría.

Dibujo20151224 Albert Einstein developed the General Theory of Relativity 100 years ago the world weekly

Nos cuenta Smolin que Einstein se creyó sus propias afirmaciones de la década de los 1920 sobre la importancia de la belleza matemática en la creación de su teoría. Por ello intentó hasta al final de sus días desarrollar una teoría unificada para la física basada sólo en la belleza matemática de dicha formulación. No tuvo éxito. En la búsqueda de la física más allá del modelo estándar muchos físicos han seguido sus pasos, confiando en la belleza matemática como fuente de inspiración. Según Smolin, todos han fracasado, igual que Einstein en sus últimas décadas de vida. Muchas de las mismas ideas en las que Einstein falló han resurgido en manos de otros físicos y han vuelto a fracasar.

No podía ser de otra manera. Smolin arremete contra la teoría de cuerdas y la teoría M. En su opinión, miles de jóvenes tratan de emular al Einstein anciano, obcecado en las matemáticas, olvidando al joven Einstein, deslumbrado por la física. Einstein nos enseñó a buscar nuevos principios físicos. La búsqueda guiada por principios matemáticos no funciona siempre. Hoy en día, la física más allá del modelo estándar está guiada por dos principios: naturalidad y simetría. El modelo estándar de la física de partículas tiene unos 30 parámetros ajustables, muchos de ellos muy pequeños o muy grandes. El modelo estándar no satisface el principio de naturalidad. La esperanza de muchos físicos es que una teoría más profunda sea natural y explique la artificialidad del modelo estándar. Para la búsqueda de dicha teoría se recurre a la simetría. Pero incluso las simetrías del modelo estándar están rotas. Todas las simetrías más generales deben estar rotas, pues la Naturaleza no las muestra.

Dibujo20151224 Albert Einstein archives university princeton

Según Smolin, la naturalidad y la simetría son principios asociados a las ecuaciones, a las matemáticas, en lugar de los resultados experimentales y observacionales, a la física. El modelo estándar es la mejor descripción de la Naturaleza que tenemos, pero es muy feo. Las ideas como la gran unificación, la supersimetría, el tecnicolor, o las dimensiones extra gigantes, son mucho más bellas, pero predicen nuevas partículas y nuevas leyes físicas que son incompatibles con las observaciones y los experimentos. La lección que estamos aprendiendo, no sin dolor, es que la belleza matemática no es el camino para descubrir las leyes que gobiernan la Naturaleza. Hay que descubrir nuevos principios físicos y sólo recurrir a las matemáticas para formularlos de forma bella. La belleza debe estar a posteriori, nunca a priori.

En ausencia de una visión física, de un principio físico subyacente, que guíe nuestros esfuerzos hacia la unificación de la física, el camino matemático conduce al fracaso. Mientras celebramos el cumpleaños de la relatividad general debemos admirar a Einstein como físico, no como matemático. Su inigualable perspicacia, acompañada de su intensa labor para desbrozar las anomalías físicas conocidas en su época, debe ser el ejemplo a seguir por los jóvenes físicos teóricos.


28 Comentarios

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Ramiro Hum-SahRamiro Hum-Sah

pablo: Hay muchas entradas en este blog al respecto, te recomiendo esta en particular http://francis.naukas.com/2013/08/27...o-estandar/ aunque hay muchas más.

Esencialmente en el modelo estándar se habla de la no naturalidad como que los acoplamientos de Yukawa de los fermiones con el Higgs están muy lejos de ser la unidad (en unidades naturales o de planck). Misteriosamente el acoplo del quark top está muy cerca de ser la unidad (no sé si los experimentos recientes estén cerca de confirmarlo).

Marcus MillerMarcus Miller

La ciencia es como un puzzle complejo de esos de madera, como el Tangram: lo más difícil de todo es darse cuenta que -probablemente- se arrastran errores (en ciencia yo les llamaría falsas asociaciones) que, funcionando en su momento, o incluso funcionando numéricamente, tarde o temprano sacarán a la luz una imposibilidad de resolución evidente. Dejarán, creo, mucha de la ciencia… En ciencia ficción de 11 dimensiones.
Y algún sonrojo que otro. Y…tal vez, alguna dimisión (no en España, claro).

Pero ¿en què momento se dá uno cuenta que hay que revisar piezas? Añadiéndole además que tampoco sabemos exactamente el número de piezas que hay, y tampoco las que aparecerán… A veces, es más fàcil limarlas un poco y apretar fuerte…
Pero así es la ciencia (no la he inventado yooo). Eso sí: de lo mejorcito que tenemos los humanos, a pesar de ser humanos.

Felicidades por esta entrada de reflexión, casi filosófica.

quidproquoquidproquo

Quién se apuesta algo a que, finalmente, la teoría que “perdure”, libre de toda supersimetria, etc, será bella.
“La naturaleza está escrita en lengua matemática”…………. claro!, ¿qué matemática quieres?. Como el papel pintado siempre habrá uno que quede como dios, que le dé sentido a la estancia, que permita descubrir nuevos espacios, luces,…..(la analogía “ikea” está un poco forzada, espero que se entienda). Imagínate lo que haría un físico con acceso a matemáticas del siglo XXX (entiéndase como el asesoramiento del futuro skynet. Ninguna persona sería capaz de aprehender esas matemáticas, ni por volumen ni por profundidad)
Verde pistacho o verde absenta?

quidproquoquidproquo

Perdón, se ha colado el comentario como respuesta a otro. No era mi intención.
Lapsus calami …….o tecli

Ramiro Hum-SahRamiro Hum-Sah

¡Que discusión tan difícil!, Dirac no estaría de acuerdo con Smolin.

Sobre las aportaciones físicas de Einstein, estoy leyendo el primero de los volúmenes de los estudios sobre Einstein de Satchel y hay una discusión fascinante sobre el principio de equivalencia apuntado por Synge ¿El principio está realmente manifiesto en la teoría?, ¿es tan fundamental para ella como Einstein creía?… recordemos que Einstein aseguraba que la relatividad era una realización del principio de Mach y después se demostró que no estaba presente.

La presencia de la paradoja AMPSS hace que estos sean grandes tiempos para reflexionar estas cosas: ¿Hay una contraparte “cuántica” del principio de equivalencia?, ¿Vale el principio para un objeto extendido? etc.

Una de las grandes alegrías para mi de este año fue leer (pues antes era un ignorante) de la historia de la relatividad, vaya que es una historia fascinante y como toda gran edificación del ser humano…. está llena de mitos :)

AnomimoAnomimo

Hola: Hay una errata en el nombre:
Se refiere a John Stachel
Personalmente, hasta que no leí a Stachel no “entendí” la divulgación de la Relatividad Especial

AlejandroAlejandro

El principio de Mach y su relación con la RG me lleva un tiempo interesando y creo que en el blog de Francis no hay ninguna entrada al respecto pero no estoy seguro. Sigo sin tener claras las implicaciones físicas del principio. Cuando buscas sobre él te encuentras con preguntas en la web tales como la siguiente” Si solo existiera una esfera rotando en todo el universo ¿Sentiría un observador sobre ella la fuerza centrífuga? ” Espero haberla planteado bien, la escribo de memoria.
Sobre la RG también me provoca digamos mucho desasosiego el asunto de si un electrón en reposo respecto a un observador en la superficie terrestre debería o no emitir radiación al estar acelerado.
En fin espero haberme expresado bien. Un saludo y feliz navidad.
El blog de Francis el mejor blog de física en castellano. :)

SuzudoSuzudo

Fuerza centrífuga o gravedad repulsiva. Igual que una cabina de ascensor acelerando con un motor cohete con una pelota dentro y solo esto en todo el universo, o bien el motor acelera la cabina y la pelota experimenta la inercia siendo el suelo el que acelera respecto esta o bien el motor crea un campo gravitatorio que atrae la pelota hacia el suelo

Y que al aumentar la velocidad se ha de plegar el espacio y el tiempo como indica la relatividad especial para cada velocidad: tachan

La gravedad es eso, una forma de inercia, fíjate en la equivalencia entre la masa inercial y la gravitatoria

ya decía Francis en uno de sus programas en la rosa de los vientos sobre la relatividad general que la gravedad es una fuerza “fictícia”

porque imagina que rota la esfera y no hay nada más que a esfera en el universo y algo encima de la misma. Supongamos que no experimentara fuerza centrífuga entonces ¿cómo podemos suponer que rota si no habría diferencia entre rotar y no rotar sieno la misma cosa?
NO. Son dos cosas con propiedades físicas diferentes y se han de notar

POr otra parte al girar el espacio-tiempo se ha de comprimir en el sentido del giro respecto auna zona más central

recuerda que la velocidad lineal de cada punto es = velocidad angular * radio

Así que a diferentes radios se ha de comprimir y curvar el espacio-tiempo más. Pero comprimir cuanto más afuera del ecuador de la esfera. Por tanto “el equivalente inercial a la gravedad” es repulsiva.

Además fíjate que puedes posicionarte y saber el desplazamiento sobre una esfera sin usar marcas usando giroscopios

:)

MarcoMarco

El principio de equivalencia prácticamente te conduce a la geometría de Riemann como formalismo para formularlo. Cualquier superficie es localmente plana. Pero ni Riemann ni otros matemáticos vieron el principio físico fundamental para la Relatividad General. Pasa lo mismo que con la velocidad de la luz. Desde Maxwell se sabe que la velocidad de la luz es constante. Solo Einstein tuvo la idea de utilizar ese hecho como principio físico. La matemática de la Relatividad Especial no tiene nada de… especial, jeje. Pero en la general el formalismo tensorial es la clave para entender la teoría. Einstein se dio cuenta de que solo necesitaba una ecuación de campo escrita en forma tensorial. Y por ensayo y error, y tras superar el problema del agujero, dio con ella en Noviembre del 15. Creo que la grandeza de Einstein está en saber reorganizar el material ya existente en un todo coherente y lógico. Los elementos para crear la Relatividad Especial ya estaban ahí, el tiempo propio no fue idea de Einstein. Lo mismo con la Relatividad General. Un insight al fin y al cabo no consiste en sacar un principio físico de la nada, sino en saber reconocer los principios físicos que la Naturaleza nos da.

SuzudoSuzudo

con la relatividad especial sí. Estaba ahí pero mal enfocado al tomar el tiempo como absoluto y cosas así. De la relatividad general ni de coña. Algunas ideas son genialidades de Einstein (que otros luego le entendieron a él e intentaron mejorar) pero sin Einstein dudo que a día de hoy tuviéramos aún la relatividad general

wachovskywachovsky

Aca Smolin tiene razon, aca no se equivoca: siempre fue la intuicion, esas leyes logicas ahi metidas en nuestro encefalo y luego vienen las demostraciones y confirmaciones sesudas matematicas; Witten y los teoricos no avanzan porque les falta esa chispa que Einstein hallo desobedeciendo la chispa anterior de Newton (y aunque Mach estaba equivocado se la disparo, genialmente se la disparo en eso de la interligazon generalizada pero que no es una accion a distancia). Feliz Navidad Francisco Villatoro.

AntonioAntonio

Coincido totalmente contigo. La punta de lanza en la evolución de estas ciencias siempre fue la realidad, la física de la naturaleza, la que en base al método inductivo (lo que venimos llamando intuición) nos hizo imaginar/detectar patrones, en su momento hipótesis, y que a través de las matemáticas (método deductivo), fuimos capaces de establecer como tesis y además nos hizo crear unas herramientas matemáticas mejores.

Como ejemplo, todo la matemática relacionada con las integrales se desarrolló ante la necesidad física del cálculo de áreas y volúmenes. Eso no quita que toda la herramienta matemática construida para un fin concreto, pueda aplicarse en múltiples ámbitos diferentes, gracias sobre todo al carácter abstracto de estas.

wachovskywachovsky

y la experimentación y los observables medibles y reales está claro, los que cada vez se nos alejan por tratarse de escalas métricas más y más pequeñas y necesitamos una imaginación mucho más poderosa que la de Kepler, Newton, Einstein y uno sabe con certeza que carece de ella y uno se compara con los experimentos que se hacían antes de Maxwell, que realizaba lord Kelvin, el experimento de Thomson, de Michelson y Morley, la preparacion e ideacion metodologica que aplicaban Rutherford y Bohr. Bueno estamos lejos de ellos, no es imposible, pero no pensamos como ellos lo hacían y dedicaban años (comparaciones entre Beethoven y Mike Oldfield vienen al caso) y la pregunta es de dónde vamos a sacar la asistencia sino de los antiguos, clásicos y que nos precedieron, eso o un ser superior superhumano.

Pedro MascarósPedro Mascarós

En los 90, en la facultad de ciencias, en Valencia, recuerdo lo imbuidos que estábamos todos en esta idea de la belleza como un sorprendente medio de llegar a la verdad. Es una lástima que no sea así, pero la realidad está ahí, queramos o no.

jose maria pizzanojose maria pizzano

por lo que he yo estudie ( escuela sovietica logunov). Einstein no es que se lo deba todo a Grossman es que el gran Hilbert lo hizo antes pero no lo publico. en mi humilde opinion la figura de Einstein esta sobrevalorada. Tambien pienso que no fue un personaje muy etico y desde un punto de vista matematico bastante cortito las matematicas de la TGR se conocian en su epoca desde hacia un tiempecito. opino esto despues de estudiar fisica teorica y aprendiz de matematico y admirador de Einstein en mi juventud.

SagutxoSagutxo

Me deja bastante perplejo algunos comentarios. No sé por qué sorprende tanto que Einstein tuviera sus limitaciones, o que sus matemáticas no fueran todo lo brillantes que cabría esperar, o que para llegar a donde llegó tuvo que recorrer mil caminos equivocados que no conducían a ninguna parte.

Los genios son genios por su capacidad de trabajo, esfuerzo y dedicación al 90%. El otro 10% restante corresponde a la genialidad en sí misma, a esa chispa que los hace especiales. Los genios son genios porque son humanos, como tú y como yo, con todas las imperfecciones propias de cualquier persona. Todavía hay gente que cree a pie juntillas que a Newton le vino a la cabeza la Ley de la Gravitación mediante un “manzanazo”. El mito de que un genio es un pequeño dios infalible al que le vienen ideas brillantes a la cabeza, por generación espontánea, está más arraigado de lo que pensaba, a juzgar por algunos comentarios.

Einstein es un genio y su figura no queda ensombrecida para nada por sus flaquezas científicas ni humanas. Al contrario, a pesar de sus limitaciones pudo ver más lejos que nadie en su tiempo. Y tuvo la chispa que tuvo que tener, tuvo pasión, tuvo tesón, llegó a unir las piezas del puzzle y vió lo que ningún otro había visto antes, a pesar de tenerlo delante. Eso es la genialidad. Pensemos en las circunstancias históricas en las que tuvo que vivir, pensemos cuál era el estado del conocimiento de la Física en aquel momento, el estado de desarrollo matemático y su generalización como herramienta de trabajo en Física en las facultades circa 1900. Pongamos las cosas en su contexto para juzgar a Einstein. No le juzguemos desde el contexto actual, a la luz de 100 años de RG, mecánica cuántica y nuevos desarrollos de cálculo.

Me abochorna leer a gente que autoproclama como “modesta” su opinión y que a renglón seguido califica de sobrevalorada la figura de alguien que, después de Newton y Maxwell, ha protagonizado la tercera revolución de la Física y que contribuyó a los dos pilares de la Física actual, la RG y la Mecánica Cuántica (esta última, a su pesar :-) ). Eso de modesto tiene bastante poco. Supongo que quien así habla debe haber hecho aportaciones fundamentales al conocimiento humano. Si el que trata con desdén a Einstein luego presume de estudiar en la escuela Logunov, alguien que propuso una alternativa a la RG de Einstein 60 años después y que es inconsistente (y eso no lo digo yo), que ni siquiera contempla las singularidades (agujeros negros) o la energía oscura, pues vaya tela.

Y no entro a valorar otras opiniones que ponen en tela de juicio la ética del personaje, porque me dan la pauta de una inquina evidente hacia este científico, cuestión que ya se queda fuera de la discusión sobre su contribución innegable a la Ciencia. ¿Esta animadversión personal no esconde algún tipo de fobia a la etnia o la religión que profesaba Einstein, por casualidad?.

Por último, la Física moderna no puede existir sin las matemáticas, pero no sólo de matemática vive el hombre. La experimentación es parte fundamental y sin su contribución una ciencia como la Física se quedaría en una disciplina puramente especulativa, incapaz de avanzar en ninguna dirección. Matemática, experimentación y tener visión para ver lo que otros no son capaces de ver aunque lo tengan delante, como hizo Einstein: a ese conjunto de cualidades, adobadas por la imperfección humana, es lo que yo llamo ser un genio.

SalU2

AlejandroAlejandro

Genial respuesta. Para cortar y pegar en otros sitios.

Supongo que ir por la vida diciendo que Einstein está sobrevalorado levantará la admiración en ciertos círculos de “físicos inadaptados” ,analfabetos científicos, antisemitas, y demás grupos de compañia poco aconsejable, aún así no es el primer blog donde leo estas sandeces, pero ya venir con lo de Logunov que precisamente es la escuela de uno mismo….. es de premio con vuelta al ruedo. Debe ser impresionante la sensación de cuñadismo que le embarga a uno, me imagino que lo sacarán a hombros al señor este en la cena de navidad conforme pronuncia Logunov.

jose maria pizzanojose maria pizzano

disculpe no pretendia herir la sensibilidad de nadie. por supuesto no soy antisemita. supongo que le habre quedado bastante anticuado con lo de Logunov. Me gustaria que alguien estudiara a fondo la autoria de original de la TGR yo de veras estudie que Hilbert fue primero. considero a Einstein un genio pero de ahi a situarlo a la altura de Newton ( como matematico uno de los creadores del calculo me parece un pasote pero bueno no me quejo). por otro lado y si los agujeros negros no existen??

EloiEloi

Hola una pregunta:

Las ideas como la gran unificación, la supersimetría, el tecnicolor, o las dimensiones extra gigantes, son mucho más bellas, pero predicen nuevas partículas y nuevas leyes físicas que son incompatibles con las observaciones y los experimentos.

¿Qué tiene que ver el tecnicolor con lo demás?

Gracias

ScepticusScepticus

Pues es curioso que en los inicios de su carrera, cuando era más físico que matemático (según el artículo), Einstein se dejase influir por las especulaciones teóricas de un matemático como Henri Poincaré, aunque no tuviera el detalle de citarlo, y que también se aprovechase de las aportaciones de otros ilustres matemáticos como H. Minkowski y D. Hilbert. Aparte de esto, Einstein no realizó un solo experimento físico en su vida, de modo que una hipótesis como la relatividad del tiempo (copiada de Lorentz y Poincaré) no se intentó verificar con relojes hasta principios de los años 70, quince años después de la muerte de Einstein.

Quizás lo que ocurrió es que tras la Segunda Guerra Mundial se generalizó en las revistas científicas el sistema de peer-review y Einstein ya no podía colar más trabajos sin bibliografía como los que había publicado en Annalen Der Physik, los cuales no eran totalmente originales.

Al igual que José María Pizzano, yo también creo que la figura de Einstein está sobrevalorada y que su pretendida genialidad no es más que un mito. Espero que nadie me acuse falsamente de antisemitismo por tener esta opinión, aunque sea diferente a la versión oficial que nos han vendido. Tampoco creo que Poincaré, el verdadero creador de la relatividad especial, haya sido un super-genio por concebir esta teoría (aunque él tenía otros méritos como matemático), y resulta que Poincaré no era judío.

Un saludo.

Nota: El propio Einstein solía llamar “antisemita” a cualquiera que le criticase, cuando lo cierto es que sólo algunos de sus opositores en Alemania lo fueron, e incluso hubo también judíos que criticaron duramente la relatividad (como el filósofo Oskar Kraus, por ejemplo).

Jose Es

Albert Einstein fue un visionario. Tuvo el don de poder ver la naturaleza del universo como un todo en donde los demás se perdian en teorias y proyecciones. Vio el futuro como un todo inmenso que obedece a una unica ley. Definitivamente tuvo bemoles, la matematica era uno de ellos, pero fue constante y acertado de rodearse de los gigantes adecuados por cuyos hombros podia alcanzar el limite que buscaba. Mas como todo genio se pierde en si mismo dejo puertas abiertas y escaleras inconclusas dentro de su laberinto dedaliano. Ningun físico fue mas radical y vanguardista. Y queda claro que en su infinito los limites eran las estrellas.

Iñigo XimenoIñigo Ximeno

Sin duda la matemática tiene una estrecha relación con el misterio de nuestra existencia; yo mismo he experimentado esa magia especial en su belleza que nos asoma al abismo del conocimiento; un extraño sentimiento de euforia y vértigo al mismo tiempo. Existe una expresión matemática que lo explica todo de una manera sorprendente pero para comprenderla primero debe entenderse la razón filosófica en la que se sustenta nuestra comprensión.
A mi entender Einstein fue más filósofo que físico y matemático, muchas frases suyas lo delatan:
“La memoria es la inteligencia de los tontos.”
“Cuando las leyes de la matemática se refieren a la realidad, no son ciertas; cuando son ciertas, no se refieren a la realidad.”
“Si no chocamos contra la razón nunca llegaremos a nada”
“La única cosa realmente valiosa es la intuición”
“Si no puedo dibujarlo, es que no lo entiendo”
y sobre todo:
“La formulación de un problema, es más importante que su solución.”
“La mayoría de las ideas fundamentales de la ciencia son esencialmente sencillas y, por regla general pueden ser expresadas en un lenguaje comprensible para todos.”
“Los conceptos y principios fundamentales de la ciencia son invenciones libres del espíritu humano”

Añado:

“La matemática existe antes que el universo”
“Si Dios existe sin duda sabe mucho de matemáticas”
“La filosofía de la ciencia es la base de la comprensión humana de las matemáticas”
“Las fórmulas matemáticas que no expresan una idea se llaman cábalas”

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