Curiosidades matemáticas de los fluidos (o los Córdoba)

Por Francisco R. Villatoro, el 13 septiembre, 2008. Categoría(s): Aerodinámica • Ciencia • Dinámica no lineal • Física • Historia • Matemáticas • Personajes

Antonio Córdoba (Barba) es Catedrático de Análisis Matemático de la Universidad Autónoma de Madrid (UAM). Estudió su doctorado en The University of Chicago, en 1974, bajo la dirección del genial Charles L. Fefferman, quien también le dirigió la tesis doctoral a su hijo, Diego Córdoba, en la Princeton University, 1998, sobre inestabilidades en flujo quasi-geostrófico (el modelo matemático más usado para la troposfera en meteorología).

De Antonio os recomiendo sus curiosos “Tontetos, difeorrimas y ripiolemas,” y su interesante artículo “Un matemático en la Transición” GACETA DE LA REAL SOCIEDAD MATEMÁTICA ESPAÑOLA, 7:29-48 (2004), donde glosa su historia profesional en el marco de matemática española del tardofranquismo de principios de los 1970s. “Lo mejor es enemigo de lo bueno,” E. Thevenin.

En aquella época los estudiantes eran “revoltosos” por no decir “revolucionarios.” Escuchaban a Paco Ibañez y leían a Bourbaki. Sin embargo, “la promoción que acabó en el año 1971 convirtió en objeto de caza deportiva la ignorancia.”

Germán Ancochea, autor del primer artículo de un español en la prestigiosa Annals of Mathematics, afirmaba “en esta Facultad, un analista es el que no sabe Álgebra, un algebrista es el que no sabe Análisis, un geómetra…” Don Germán le presentó a Antonio un joven que acababa de doctorarse en la Universidad de Chicago, Miguel de Guzmán, bajo la dirección de Alberto Calderón, quien le acabó ayudando para desarrollar la suya con Charles Fefferman, el “full professor” (catedrático) más joven de la historia de la universidad americana. 

Antonio describe con cariño su paso por Chicago donde fue durante tres años el único estudiante presente en los seminarios del Departamento de Matemáticas, organizados por Antoni Zygmund, en los que destacaba la habilidad de Calderón con el cigarrillo (entonces fumar en clase no era políticamente incorrecto) para mantener la ceniza, que alcanzaba tamaños inverosímiles antes de ser echada al cenicero.

Antonio defendió su tesis doctoral sobre el problema de Kakeya (“Perseguí un enigma, / le ofrecí mi tiempo. / Inventé estrategias / que se llevó el viento. / Formulé preguntas, / coseché el silencio. / Inicié mil cuentas / que jamás luz dieron. / Se esfumó mi esfuerzo / en tan vano empeño: / ni obtuve la prueba / ni el gran contraejemplo. / Lo que yo buscaba / estaba muy lejos“), aceptó una de la Universidad de Princeton, a la que se incorporó en septiembre de 1974 y se fue de vacaciones con su esposa en Volkswagen Escarabajo rojo, siguiendo la famosa ruta 101 cantada por Bob Dylan.

“El reciente desarrollo de las Matemáticas en España resulta inconcebible sin contar con esa pléyade de estudiantes que fueron becados para hacer el doctorado en buenas escuelas del extranjero, de Estados Unidos y Francia fundamentalmente. El hecho de que también se produjese luego una gran expansión en el número de puestos docentes de las universidades españolas propició un retorno fácil de la mayoría de ellos.”

Aún así, la España de aquella época y quizás la España de hoy en día, queda muy bien reflejada en “sorprende lo fácil que resulta entre nosotros descalificar a quien despunta un poco, por haber visto otras realidades y tener otras experiencias, y nos señala algún camino de mejora. (…) sorprende que, en diez años escasos, aquellos universitarios que se emocionaban con las consignas de “prohibido prohibir”, “la imaginación al poder” o “seamos realistas, pidamos lo imposible”, hubieran trocado los anhelos abstractos en comodidades concretas. En vez de cambiar la Universidad habían cambiado ellos.”

Antonio Córdoba nos cuenta en “Matemáticas: Un Departamento en tiempos de la Movida,” como se fundó el Departamento de Matemáticas de la UAM, en el tiempo de los bandos de Enrique Tierno Galván y el cine de Pedro Almodóvar. Era una época de quejas continuas por “los pocos recursos y atención que recibía la ciencia en nuestro país.” La época en la que la contratación de plazas en la Facultad dependía del número de artículos y no de su calidad (Fernando Varela señaló que con estos criterios “la autora Corín Tellado quedaría muy por delante de Miguel de Cervantes” y el propio Antonio llegó a citar a “los Luthiers, por aquello de que “en rigor no es mejor por ser mayor o menor” la lista de publicaciones, se entiende”).

Diego Córdoba (Gasolaz) es hijo de Antonio y matemático en el IMAFF del CSIC. Su artículo de divulgación “Las matemáticas de los fluidos: torbellinos, gotas y olas,” junto a Marco Antonio Fontelos y José Luis Rodrigo, LA GACETA DE LA RSME, 8:53-83 (2005) merece una lectura cuidada y que le dediquemos esta entrada.

Empieza fuerte “a pesar de su importancia (práctica), el análisis de los fluidos tropieza con enormes dificultades de naturaleza matemática.” Ya el premio Nobel Richard Feynman calificó a la turbulencia como “the most important unsolved problem of classical physics”.

“Fue Leonard Euler quien, en 1755, escribió por primera vez las ecuaciones diferenciales que rigen el movimiento de un fluido no viscoso. Setenta años después C. Navier e, independientemente, G. Stokes introdujeron el término de viscosidad en las ecuaciones que hoy denominamos de Navier-Stokes.” La diferencia más importante entre las ecuaciones de Euler y las de Navier-Stokes es que las primeras conservan la energía pero en las segundas ésta decrece. Diego nos recuerda que “A fecha de hoy, casi doscientos años después, la mera existencia de soluciones únicas no está garantizada, por lo que, en principio, las soluciones de dichas ecuaciones podrían desarrollar singularidades, es decir valores no acotados de la velocidad o de sus derivadas, o estructuras casi singulares en tiempo finito.”

La existencia (local) de soluciones de las ecuaciones de Navier-Stokes fue demostrada en 1933 por J. Leray, no obstante, la unicidad de estas soluciones sigue siendo un problema abierto. Por ejemplo, para Euler la unicidad es falsa, pueden generarse singularidades. ¿Se generan singularidades en las soluciones de la ecuación de Navier-Stokes en dimensión n=3? J. Leray lo conjeturó como posible explicación del fenómeno de la turbulencia. En dimensión n=2, no es posible la generación de dichas singularidades, con lo que las soluciones locales son también globales (tanto para Euler como Navier-Stokes).

“¿Puede el fluido desarrollar una singularidad en tiempo finito? Hasta ahora todos los teoremas van en la dirección negativa. No obstante el ejemplo más simple, que cualquiera puede experimentar en casa, es la formación de una gota de agua y su posterior ruptura. (…) Los experimentos muestran que la viscosidad desempeña un papel fundamental en la geometría de la ruptura de las gotas; en el caso muy viscoso se observa la formación de filamentos muy delgados que finalmente desaparecen.”

Las inestabilidades y singularidades en fluidos más estudiadas están asociadas a interfases. La más conocida es la inestabilidad de Rayleigh (1879) para una columna de fluido no viscoso que él estudió en la aproximación lineal pero que también se ha estudiado en el caso de pequeñas perturbaciones no lineales. ¿Qué pasa cuando incluimos la viscosidad? ¿La inestabilidad de Rayleigh desemboca en una ruptura del tubo fluido en tiempo finito, tal y como la experiencia demuestra, o no? “Hoy por hoy, no hay demostración de que tal cosa ocurra o, por contra, de que el sistema de Navier-Stokes no contenga soluciones con ruptura de interfases (con la consiguiente formación de gotas) en tiempo finito.” Los únicos resultados conocidos han sido obetnidos mediante simulaciones numéricas.

Otra inestabilidad muy conocida es la de Kelvin-Helmholtz para el movimiento bidimensional de dos fluidos inmiscibles, incompresibles y no viscosos separados por una interfase. Tampoco existe demostración matemática rigurosa sólo evidencia numérica.

Muchos problemas matemáticos en física de fluidos aún por resolver. No en balde, uno de los Premios del Milenio del Instituto Clay, dotados con un millón de dólares, es relativo a la unicidad de las soluciones de las ecuaciones de Navier-Stokes. ¿Cómo no? La descripción del reto es de mismísimo Charles L. Fefferman, “EXISTENCE AND SMOOTHNESS OF THE NAVIER-STOKES EQUATION,” de quién si no (el padre científico de los Córdoba).



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