¿Cómo descubrió el hombre de cromañón (cro-magnon, piedra grande) los primeros nudos? Probablemente por casualidad gracias a que un nudo «espontáneamente» se formó (ató). El hombre aprendió rápidamente a hacer sus propios nudos y culturas como los incas los utilizaron como escritura. Muchos tenemos un cuadro de nudos marineros en nuestra casa. Los nudos tienen cierto atractivo y los que hemos practicado escalada (ya hace años) necesitamos dominar una serie de nudos básicos.
A finales del s. XX los nudos han recibido un renovado interés. Se ha descubierto que ciertos polímeros, cadenas largas de moléculas como el ADN, presentan nudos. Estas moléculas se han anudado espontáneamente gracias a su movimiento browniano, la agitación térmica natural de la molécula que recibe los choques de las «pequeñas» moléculas del medio que la circunda. Gracias a este movimiento, la molécula trata de ocupar todo el volumen de espacio disponible, pero no puede cortarse o cruzarse a sí misma, con lo que acaba anudándose. Los nudos normalmente son irreversibles y la molécula una vez anudada espontáneamente no puede desanudarse. La termodinámica que impide que el vaso roto vuelva a reconstruirse, impide que la molécula anudada pueda desanudarse.
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¿Cómo se anuda espontáneamente una molécula? Ver en vivo y en directo este proceso es extremadamente difícil. Lo más fácil es estudiar cómo se anuda «espontáneamente» una cuerda. Este estudio fue realizado por Dorian M. Raymer y Douglas E. Smith, «Spontaneous Knotting of an Agitated String,» Proceedings of the National Academy of Sciences, 104: 16432-16437, 2007. El vídeo de arriba muestra cómo se anuda una cuerda larga, de 3 m. en una caja de 10x10x10 cm. que se hace rotar a una velocidad de una revolución por segundo (el vídeo muestra 10 s.
Los procesos espontáneos en física (termodinámica o teoría cinética) están asociados a la evolución de la energía en un sistema buscando un mínimo de energía. El sistema en un mínimo de energía se inestabiliza o sufre perturbaciones externas que le hacen «recorrer» el espacio de todas sus posibles configuraciones alcanzando nuevos mínimos de energía (a veces más estables que el original). ¿Hay algún tipo de energía de nudos (knot energy) asociada al proceso de anudamiento espontáneo? Andrew Belmonte, «The tangled web of self-tying knots,» PNAS, 104: 17243-17244, 2007, nos recuerda que una cuerda anudada es un sistema no local en el que puntos alejados de la cuerda se encuentran físicamente cercanos en la región del nudo «inmovilizando» ciertas regiones de la cuerda, estabilizándolas ante perturbaciones exteriores (movimientos aleatorios de la cuerda). En este sentido la cuerda anudada tiene menos grados de libertad para sus movimientos que la no anudada y muestra un «mínimo» de energía. Esto nos recuerda a la Segunda Ley de la Termodinámica, a que la entropía se maximiza (en los procesos espontáneos). «Las cosas alargadas tienden a enredarse».
Los 3415 experimentos de Raymer-Smith en los que han agitado cuerdas de diferentes longitudes en una caja cerrada han mostrado ciertas sorpresas. Uno espera que la cuerda conforme es más larga más se anuda. Sin embargo, Raymer-Smith han encontrado un longitud crítica a partir de la cual las cuerdas no se anudan más (la figura de la izquierda muestra la probabilidad de anudamiento en función de la longitud de la cuerda manteniendo el tamaño de la caja fijo). Una explicación simple es que las cuerdas más largas ya no tienen más espacio para poder explorar nuevas configuraciones anudadas durante su agitación. Este resultado es importante para entender cómo se anuda una molécula de ADN en los cromosonas cuyos efectos epigenéticos son muy importantes en el control de la expresión de genes.
Otra sorpresa del estudio de Raymer-Smith es que han obsevado fundamentalmente nudos simples (primos en la nomenclatura de la teoría de nudos). No han observado nudos compuestos (nudos con nudos insertados). Esto nos hace pensar que los nudos compuestos tienen más «energía» que los simples y por tanto no corresponden a estados de mínima «energía de nudos».
¿Cuándo dos nudos son iguales? La teoría de nudos nos ofrece una herramienta matemáticaque son invariantes topológicos de nudos. Desde principios del s. XX, los invariantes polinómicos son los más utilizados. Los autores han analizado fotos de los nudos mediante el programa KnotPlot que permite calcular automáticamente los polinomios (invariantes) de Jones e identificar el tipo de nudo observado. La figura de abajo muestra un ejemplo.
Para publicar en una revista tan importante como PNAS no basta con observar algo, hay que tratar de explicarlo. Los autores han presentado un modelo matemáticos simplificado de la formación de los nudos que ha mostrado mediantes simulaciones una buena capacidad predictiva. El modelo sólo tiene en cuenta un extremo de la cuerda ya que los experimentos indican que los nudos se «nuclean» gracias al movimiento de los extremos de la cuerda (proceso que ha sido visualizado en los vídeos de los experimentos). El modelo tiene en cuenta la rigidez (stiffness) de la cuerda y el confinamiento debido a la caja.
El modelo se basa en el uso de diagramas de trenzas, como el que aparece en la figura de la izquierda abajo. La agitación de la cuerda hace que el extremo libre de la misma se «enrede», lo que en el modelo corresponde al trenzado de las trenzas (movimiento de trenzas). Los movimientos locales y la geometría local de la cuerda no es relevante, sólo su topología. En el modelo de trenzas se asume que cada segmento de trenza sufre «movimientos de trenzas» que afectan al extremo libre (punto blanco en la figura) con una cierta probabilidad, por ejemplo, un 50% de las veces se mueve hacia arriba y el otro 50% hacia abajo. En este modelo se producen tanto anudamientos (se crean nuevos nudos) como desanudamientos (se destruyen nudos).
El modelo es extremadamente simple, sin embargo, da cuenta de varios efectos observados en los experimentos. Primero, un teorema de la teoría de nudos garantiza que todos los nudos primos se pueden generar mediante la operación implementada en el modelo. Segundo, el modelo muestra la ocurrencia de una longitud crítica a partir de la cual no se forman más nudos, como demuestran las simulaciones por ordenador. El modelo tiene dos parámetros ajustables, el número de segmentos en paralelo y el número de movimientos de trenzas. Las simulaciones muestran además que este modelo simplificado puede dar cuenta cualitativamente de la distribución observada de nodos en función de complejidad.
En resumen, los autores han observado experimentalmente cómo la formación de nudos de forma espontánea en una cuerda agitada dentro de una caja se produce de forma rápida, en pocos segundos. A partir de una longitud crítica de la cuerda, la probabilidad de formación de nudos se satura por debajo del 100%. El cálculo del tipo de nodo utilizando los polinomios de Jones mediante análisis digital de las imágenes del nodo indica que se han observado en las 3415 simulaciones realizadas unos 120 tipos diferentes de nudos, con un número de cruzamientos de hasta 11. De hecho, todos los nudos primos con un número de cruces de hasta 7 han sido observados alguna vez. Los autores han propuesto un modelo matemático de trenzas que explica cualitativamente la distribución observada de nudos en función de la duración del proceso de agitado de la cuerda.
PS: Nudos decorativos (gráficos 3D) y nudos decorativos (para la ropa).
PS2: A los interesados en Teoría de Nudos les recomiendo el siguiente discurso.