Picones (peakons): ondas no lineales y la mar picada

Por Francisco R. Villatoro, el 1 septiembre, 2009. Categoría(s): Ciencia • Dinámica no lineal • Física • Matemáticas • Mathematics • Physics • Science ✎ 1

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“Tú, la mar y un vino.” No es necesario que la mar esté picada para que observemos en alta mar que las olas no son ondulaciones suaves, sino que presentan picos puntiagudos. En estos picos, la derivada matemática de la superficie del mar no está definida. La ausencia de derivada, aunque sólo sea en ciertos lugares, complica mucho el modelado matemático de las olas en alta mar. Camassa y Holm descubrieron en 1993 una ecuación en derivadas parciales que modela la propagación de ondas (singulares) con picos, que llamaron “solitones picados” (peaked solitons), que hoy llamamos “picones” (peakons). Dicha ecuación es integrable, se puede escribir matemáticamente su solución general, demostrándose que cualquier onda acaba descomponiéndose en un tren (una serie) de picones (como muestra la figura que ilustra esta entrada). La ecuación de Camassa-Holm se puede derivar asintóticamente a partir de las ecuaciones de Euler para un fluido utilizando la aproximación de aguas someras (shallow water). Un buen resumen sobre la teoría de picones lo podéis encontrar en Darryl D. Holm, “Peakons,” Encyclopedia of Mathematical Physics 4: 12-20, 2006 (ArXiv preprint, 29 Aug 2009). El artículo original de Roberto Camassa y Darryl D. Holm, “An integrable shallow water equation with peaked solitons,” Phys. Rev. Lett. 71: 1661-1664, 1993 (ArXiv preprint, 13 May 1993).

Los aficionados a la matemática aplicada y a la física de ondas no lineales, o quienes al menos sepan qué es la ecuación de Korteweg-de Vries, disfrutarán con el artículo de Holm, muy bien ilustrado y con una matemática bastante asequible (al menos para mí, que me dedico a estos temas). Los demás se pueden conformar con saber que la mar picada ya forma parte de la realidad que la matemática es capaz de describir con precisión.

Por cierto, una pregunta, ¿sabes lo que es la inestabilidad (modulacional) de Benjamin-Feir?



1 Comentario

  1. La inestabilidad de Benjamin Feir es una inestabilidad modulacional en la que un tren uniforme de ondas oscilantes de amplitud moderada pierde energía en favor de una pequeña perturbación de otras ondas con casi la misma frecuencia y dirección. El concepto está bien establecido en ondas acuáticas, en plasmas y en óptica. [Tomado de “Stabilizing the Benjamin-Feir instability”; Journal of Fluid Mechanics, vol. 539, Issue 00, p.229-271]

    Ventajas de saber inglés (y la mediación de San Google).

    Saludos cordiales.

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