La paradoja de los gemelos en un espaciotiempo arbitrario según la relatividad general

Por Francisco R. Villatoro, el 2 noviembre, 2009. Categoría(s): Ciencia • Física • Matemáticas • Mathematics • Personajes • Physics • Relatividad • Science • Viajes • WMAP ✎ 4

Jean-Pierre Luminet, poeta, escritor, divulgador científico, astrofísico, experto mundial en agujeros negros y relatividad general, lleva tiempo sin copar los titulares de las noticias en los medios, desde que propuso su modelo dodecaédrico de Poincaré para el universo, portada en Nature el 9 de octubre de 2003. Los desmemoriados deberían volver a leer el News & Views del sudafricano (no confundir con el del CERN) George F. R. Ellis, «Cosmology: The shape of the Universe,» [gratis aquí], el artículo original Jean-Pierre Luminet et al., «Dodecahedral space topology as an explanation for weak wide-angle temperature correlations in the cosmic microwave background,» [gratis aquí] y sus secuelas, la comparación con los últimos datos del fondo cósmico de microondas del WMAP3 en S. Caillerie et al., «A new analysis of the Poincaré dodecahedral space model,» en 2007 [en ArXiv], y la versión divulgativa del propio autor, Jean-Pierre Luminet, «The Shape and Topology of the Universe,» en 2008. Jean-Pierre ha recopilado muchas noticias sobre su universo aquí.

Dibujo20091101_twin_paradox_torus_universeJean-Pierre ha publicado poco en ArXiv desde entonces, sólo algunos artículos epistemológicos sobre la Historia de la Gran Explosión y el Fin de la Física. Por ello me ha sorprendido hoy con un curioso artículo sobre la paradoja de los gemelos en un universo de geometría y topología arbitraria, J.-P. Luminet, «Time, Topology and the Twin Paradox,» ArXiv, Submitted on 30 Oct 2009, aunque en realidad es una secuela «digerible» de un artículo anterior, Jean-Philippe Uzan, Jean-Pierre Luminet, Roland Lehoucq, Patrick Peter, «Twin paradox and space topology,» Eur. J. Phys. 2002 [gratis en ArXiv].

La «paradoja» de los gemelos tiene fácil «resolución» en un espaciotiempo plano (en el marco de la relatividad especial), gracias a que el gemelo que viaja tiene que acelerarse (cambiar su velocidad) para cambiar de dirección y poder regresar. El análisis en relatividad general es más complicado ya que, por un lado, estas aceleraciones son equivalentes a campos gravitatorios, lo que provoca un retraso adicional de los relojes, una dilatación temporal gravitatoria, y por otro lado, no es necesaria ninguna aceleración para explicarla en un espaciotiempo compacto, en el que el gemelo puede regresar dándole una vuelta a todo el universo sin cambiar su velocidad.

En un universo con una topología múltiplemente conexa, como el toro de la figura de la izquierda, la explicación de la «paradoja» se encuentra en la propia topología. Hay trayectorias «convencionales» como la número 2, que implican aceleraciones, pero también hay trayectorias como la 3 y la 4 que no las requieren. En estas trayectorias la asimetría entre ambos gemelos que explica la «paradoja» se encuentra en el hecho de que las trayectorias que siguen no son homotópicamente equivalentes. El índice (en inglés winding number) de las trayectorias 2, 3 y 4 es (0,0), (1,0) y (0,1) , con lo que si cada gemelo sigue una trayectoria con diferente índice se produce la dilatación que explica que el que se mantiene en reposo envejezca más rápido que el que se va de viaje. La homotopía y la topología al auxilio del físico relativista que trata de explicar la paradoja de los gemelos en relatividad general. Los cálculos en detalle son complicados pero las ideas son muy sencillas.

PS (3 noviembre 2009): Un nuevo artículo de Jean-Pierre sobre la simetría y la belleza en el arte, en la ciencia y en la astronomía puede ser de interés para muchos de los lectores: J.-P. Luminet, «Science, Art and Geometrical Imagination,» ArXiv, 2 Nov 2009.



4 Comentarios

  1. «La “paradoja” de los gemelos tiene fácil “resolución” en un espaciotiempo plano (en el marco de la relatividad especial), gracias a que el gemelo que viaja tiene que acelerarse (cambiar su velocidad) para cambiar de dirección y poder regresar. El análisis en relatividad general es más complicado ya que, por un lado, estas aceleraciones son equivalentes a campos gravitatorios, lo que provoca un retraso adicional de los relojes, una dilatación temporal gravitatoria, y por otro lado, no es necesaria ninguna aceleración para explicarla en un espaciotiempo compacto, en el que el gemelo puede regresar dándole una vuelta a todo el universo sin cambiar su velocidad.»>

    Es un párrafo algo engañoso porque:

    1. Para que se produzca la paradoja en relatividad especial no necesitas una aceleración, necesitas simplemente que uno de los observadores esté en dos sistemas inerciales. Por supuesto en la práctica, necesitas la aceleración para cambiar de sistema inercial, pero puedes perfectamente despreciarlo en el cálculo si el viaje es suficientemente largo comparado con el periodo de aceleración.
    2. Da la impresión de que necesitas la RG cuando hay aceleraciones. No es necesario como demuestra por ejemplo la resolución de la paradoja de Bell de los cohetes con aceleraciones constantes.
    3. Lo que diferencia la relatividad general de la especial es la geometría del espacio-tiempo (equivalente a un campo gravitatorio). Mientras tu descripción pueda hacerse en un espacio de Minkowski, puedes utilizar siempre la relatividad especial.

    saludos

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Por Francisco R. Villatoro, publicado el 2 noviembre, 2009
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