Un paralelepípedo tiene 3 aristas diferentes y 10 diagonales también diferentes, dos en cada una de sus tres caras y cuatro que lo cruzan en diagonal por el interior. Un paralelepídeo perfecto cumple que todos estos 13 números son enteros. ¿Existen los paralelepípedos perfectos? El primero se encontró el año pasado y aparece en la figura. Sus caras son dos rombos de lados 103 y 106, separados una distancia de 271. Las diagonales de los rombos son 101 y 183, las de las caras laterales 266 y 312, y 323 y 255. Y sus diagonales interiores son 374, 300, 278 y 272. Trece números enteros. Había matemáticos que pensaban que no podía existir ningún ejemplo. Clifford Reiter (Lafayette College, Easton, Pensilvania) y su estudiante Jorge Sawyer emprendieron una búsqueda sistemática por ordenador y encontraron nada más y nada menos que 30 ejemplos. Una gran sorpresa, pues no pensaban que fueran a encontrar ninguno. Ahora la atención se centra en los cuboides perfectos, paralelepípedos en los que las 4 diagonales interiores son iguales (requieren 7 números enteros, 3 para las aristas, 3 para las diagonales de las caras y 1 para la diagonal interior). ¿Existen los cuboides perfectos? Las búsquedas por ordenador aún no los han encontrado (han estudiado todas las posibilidades con lados menores o iguales a 10 mil millones). Nos lo contó Barry Cipra, «Perfection in a Box,» Science 327: 942-943, 19 February 2010.
Si te apetece jugar un rato haciendo cuentas sencillas con números, ¿te atreves a calcular los 10 números enteros asociados a las 10 diagonales del siguiente paralelepípedo perfecto?
Como no des más datos, se me ocurren infinitas figuras con sólo esos números. Y todas paralelepípedas.
¿Infinitas? Pon solo dos ejemplos por favor (recuerda que las diagonales sean números enteros positivos). Nota: con números reales es obvio que hay infinitos.
Quizá me confundió lo de sencillas cuentas. Me refería a que la estructura es deformable, por lo tanto puede adoptar infinitas formas.
Parece que la cara 840×1035 no tiene diagonal entera (aprox 1332.976)
Aprovecho para felicitarlos por el blog. Saludos
Ooops, me equivoqué feo en el comentario anterior (no en la felicitación por cierto 😉
¡Disculpen!
No se si te refieres a esto, pero un cuboide 153 x 104 x 672 tiene todas sus diagonales, tanto interiores como las de las caras, de longitud entera.
ups, no, una de las diagonales no es entera.
Me parece que muchos estáis dando palos de ciego con este «sencillo» problema. Resolverlo a mano es difícil pero con un pequeño programa de ordenador se puede obtener la solución. Como sé que ninguno se va a molestar en escribirlo y ejecutarlo, no seré malo y os pondré la solución.
Las aristas 1120 y 1035 forman ángulo recto y tienen ambas diagonales iguales a 1525. Las aristas 1120 y 840 tienen ambas diagonales iguales a 1400.
Sin embargo, las aristas 1035 y 840 no forman ángulo recto (son aristas de un rombo no de un cuadrado) y tienen dos diagonales diferentes e iguales a 969 y 1617. ¿Qué ángulo forman?
Las cuatro diagonales interiores son dos parejas de diagonales con valores 1481 y 1967.
Los vectores que forman las aristas son u = (1120, 0, 0), v = (0, 1035, 0), y w = (0, 46548/115 , 12/115 * sqrt(49755859) ). Los interesados en más detalles pueden recurrir a Jorge F. Sawyer, Clifford A. Reiter, «Perfect Parallelepipeds Exist,» ArXiv, 1 Jul 2009.
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