Las «olas gigantes» (rogue waves), que han provocado muchas catástrofes en alta mar, tienen un modelo unidimensional muy sencillo introducido por el difunto matemático británico Howell Peregrine [1], el solitón que lleva su nombre (también llamado «rogón» y «breather de Peregrine»). Las olas gigantes ya habían sido observadas en medios ópticos no lineales en 2007 [2], pero ahora se ha observado por primera vez el rogón en una fibra óptica no lineal [3]. B. Kibler (Univ. de Borgoña, Dijon, Francia) y sus colegas de Francia, Irlanda, Australia y Finlandia, han publicado su descubrimiento en la revista Nature Physics. Esta observación indica que el rogón es una solución matemática mucho más robusta de lo que se pensaba. Las analogías entre sistemas físicos generales y sistemas ópticos es uno de los métodos más interesantes para escudriñar las propiedades de estos sistemas físicos ya que en medios ópticos es fácil obtener medidas de gran precisión. La importancia de este resultado transgrede, por tanto, sus aplicaciones en óptica no lineal y oceanografía, ya que la ecuación no lineal de Schrödinger que tiene como solución al solitón de Peregrine tiene muchísimas aplicaciones en física e ingeniería, incluso en ciencias sociales, por ejemplo, ha sido derivada en cierto límite de la ecuación de Black-Scholes para la evolución de los valores y derivados en la bolsa. Muchos medios se han hecho eco de esta interesante noticia, como «Peregrine’s «Soliton» observed at last,» PhysOrg.com, August 23, 2010, que se hacen a su vez eco de la noticia aparecida en la Universidad de Bristol, 22 August, 2010.
Descubrir una nueva solución matemática de una ecuación muy utilizada en física e ingeniería no significa que dicha solución sea robusta ante perturbaciones y describa algún fenómeno «real» en la Naturaleza. Si no es así, los físicos e ingenieros no serán capaces de observarla en los experimentos (salvo en sistemas metaestables en los que las medidas son muy delicadas). El famoso matemático aplicado británico Howell Peregrine (1938-2007) descubrió una solución de la ecuación de Schrödinger cúbica (NLSE), el solitón (o breather) que lleva su nombre, hace 25 años [1] (la figura que abre esta entrada muestra la ecuación, la gráfica de la solución y la solución matemática). Su solución es cierto límite de dos soluciones más generales previamente conocidas (soluciones de la NLSE que son periódicas). En su momento fue una sorpresa que ambas soluciones tuvieran al solitón de Peregrine como límite común. Peregrine propuso su solución como modelo para la «ola gigante» (rogue wave) que los marineros afirman haber observado en ciertas ocasiones y que se asocia a ciertas catástrofes marítimas, por ello, también se le llama a esta solución «rogón» (del inglés rogon = rogue + soliton). Estas olas gigantes han sido un gran motivo de discusión, pero fueron observadas en laboratorio en medios ópticos no lineales [2]. Sin embargo, en aquella ocasión la ecuación de Schrödinger cúbica no era un buen modelo, por lo tanto, su observación no confirmaba la solución de Peregrine. El nuevo artículo técnico [3], cuyos resultados se ilustran en la figura de arriba, ha logrado obtener las soluciones periódicas de la NLSE en una fibra óptica no lineal utilizando pulsos en el régimen de los femtosegundos. Cuando cierto parámetro (a en la figura de arriba) crece, las soluciones periódicas tienden hacia al solitón de Peregrine, como predice la teoría. La comparación entre los resultados experimentales y las simulaciones numéricas es muy buena (en la figura de arriba, ver las dos figuras pequeñas en la parte de abajo e izquierda). En resumen, un gran trabajo experimental por parte de Kibler et al.
Yo he trabajado en la ecuación NLSE durante muchos años, en un contexto de óptica no lineal, por lo que no podía obviar en este blog esta gran noticia (aunque Peregrine ya no viva para disfrutarla). Un gran resultado experimental que bien podría haberse publicado en Nature, pero quizás ha tenido que limitarse a Nature Physics porque en Nature ya publicaron el artículo [2]. Por cierto, los interesados en las olas gigantes disfrutarán con el libro de Kharif, Pelinovsky y Slunyaev [4].
[1] D. H. Peregrine, «Water waves, nonlinear Schrödinger equations and their solutions,» The Journal of the Australian Mathematical Society. Series B. Applied Mathematics 25: 16-43, 1983.
[2] D. R. Solli, C. Ropers, P. Koonath, B. Jalali, «Optical rogue waves,» Nature 450: 1054-1057, 13 December 2007.
[3] B. Kibler, J. Fatome, C. Finot, G. Millot, F. Dias, G. Genty, N. Akhmediev, J. M. Dudley, «The Peregrine soliton in nonlinear fibre optics,» Nature Physics, Published online 22 August 2010.
[4] Christian Kharif, Efim Pelinovsky, Alexey Slunyaev, «Rogue waves in the ocean,» Springer, 2009.
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Gracias y un fuerte abrazo.
Una pregunta Francis:
Cuál es exactamente la relación que existe entre NLSE y las rogue waves? Yo hasta ahora solo había visto las rogue waves en contextos de CGLE (Complex Ginzburg-Landau Equation) y por tanto asociadas a sistemas disipativos (en el sentido de Prigogine con interacción con un reservorio externo de energía y con pérdidas). Podrías darme algún link con artículos/libros donde pudiese estudiar esto?
Yo hasta ahora había asociado NLSE con solitones del tipo sech(x) y con NPDE integrables. Es la solución de Peregrine otra de las posibles de NLSE junto a las anteriores?
Dani, si te interesan los rogue waves, yo te recomendaría el libro que cito en la entrada «Rogue Waves in the Ocean» depositfiles.com. El capítulo 4 estudia la generación de estas ondas utilizando la NLSE como ecuación modelo (4.2.2 presenta el trabajo de Peregrine). Por supuesto, si tienes acceso web a las revistas de Cambridge University Press te recomiendo la lectura del artículo original de Peregrine.
La NLSE se utiliza en oceanografía en el contexto de la inestabilidad modulacional de Benjamin-Feir (responsable de que las olas en el océano tengan forma puntiaguda y no suave) y para modelar las llamadas ondas de aguas profundas.
El solitón de Peregrine es una de las soluciones racionales de la NLSE (casi todas las NPDE integrables tienen soluciones racionales, así como soluciones periódicas). El rogón es un caso particular del solitón de Kuznetsov-Ma.
Espero haber sido de ayuda.
Muchas gracias por la respuesta.
Echaré un vistazo al libro. Mi conocimiento de solitones, es muy elemental y aún no he tenido el placer de cruzarme con muchísimas ecuaciones no lineales que los soportan. Todo lo que sabía hasta ahora de rogue waves era en el contexto de CGLE en sistemas ópticos!
Y, seguro que te lo han dicho ya, pero felicidades por el blog. Es muy interesante, y lo siguen científicos (lo sé) y gente como yo, que querría algún día serlo.
Un saludo
D.
¿Se podría producir un solitón, debido a una perturbación eléctrica no mecánica, en una red de alta tensión?
Mi respuesta: creo que sí, si el medio es no lineal, por supuesto. Un ejemplo, las ecuaciones [completas] que describen la propagación de impulsos nerviosos en un axón de una neurona son las llamadas «cable equations» con un término para la corriente no lineal (extremadamente no lineal!). Es decir, que las ecuaciones son las mismas que describen la variación de potencial en un cable (por ejemplo de telegráfo) en función de la distancia z de propagación y el tiempo t. Si estoy en lo cierto, ésta ecuación fue derivada por Thomson, después Lord Kelvin a mediados del siglo XIX.
El hecho que aparezca una solución localizada de tipo solitón (a) depende de la ecuación que modela el fenómeno físico (b) imprescindible no linealidad en el modelo.
D.
El Cid, se pueden propagar solitones en líneas de transmisión bajo el régimen no lineal, tanto cuando las capacitancias (por unidad de longitud de la línea) como las inductancias son no lineales. Se propagan tanto solitones que se aproximan por la ecuación de Korteweg-de Vries como por la ecuación no lineal de Schrödinger cúbica. ¿En una red de alta tensión? Es difícil, aunque no creo que sea imposible, porque las corrientes que se propagan no son muy altas como para que los efectos no lineales sean importantes. En líneas de transmisión semiconductoras sí se propagan solitones y están muy estudiados (los diodos en inversa actúan como capacitancias no lineales).
Yo he publicado algunos artículos sobre solitones en líneas de transmisión no lineales, pero siempre en semiconductores y en superconductores, nunca en líneas de transmisión de la red de alta tensión.
La pregunta anterior la realicé porque tenía la duda de si era posible transportar energía eléctrica mediante solitones, de manera que no hubiese pérdidas. Ya que los solitones son ondas que no se deforman. Enseguida sospeche que tiene que haber grandes dificultades para usar este proceder, pues nunca había leído nada sobre el tema, ni siquiera en tu blog :-D. Me imagino que será extremadamente difícil, sino imposible, crear ‘transformadores’ eficientes CA – Solitones y Solitones – CA.
Por cierto, Francis, me ha llamado la atención que se usen ecuaciones específicas para estudiar el comportamiento de los solitones, por ejemplo, la ecuación Korteweg-de Vries y la ecuación no lineal de Schrödinger que citas. ¿Estas ecuaciones se pueden deducir a partir de los principios fundamentales que rigen el fenómeno, i.e., a partir de las ecuaciones de Maxwell en los medios materiales considerados?
Sí, El Cid, estas ecuaciones (KdV, NLSE, etc.) se deducen, bajo ciertas hipótesis, a partir de las ecuaciones físicas que rigen el problema. Normalmente, aparecen términos adicionales que corrigen a estas ecuaciones, entre los que se encuentran términos disipativos. Los solitones son robustos, provienen del equilibrio de efectos contrapuestos (no linealidad y dispersión) y bajo disipación pequeña mantienen su forma (aunque pierden amplitud, velocidad, etc.)
He hablado poco en este blog de solitones porque me propuse no hablar de los temas en los que trabajo.