Un ejercicio de cálculo para pensar un rato

Por Francisco R. Villatoro, el 19 octubre, 2010. Categoría(s): General • Matemáticas • Mathematics • Prensa rosa ✎ 42

¿Serías capaz de evaluar la siguiente integral en menos de 5 minutos y con un error menor del 5% sin usar calculadora u ordenador?

\int_{-\pi/2}^{\pi/2} (\cos t)^{62832}\,dt.

Nota, he puesto 62832 como exponente para asustar un poco, en realidad es más fácil de lo que parece. Piensa un poco. Pero recuerda, solo tienes 5 minutos.

SOLUCIÓN: La función coseno elevada a una potencia en un semiperiodo se parece mucho a una función gaussiana concentrada en el centro. De hecho, cerca del origen,

(\cos t)^n \approx \left( 1 - \cfrac{t^2}{2}\right)^n \approx \exp\left(-n\,\cfrac{t^2}{2}\right), \qquad |t|\ll 1,

con lo que

\int_{-\pi/2}^{\pi/2} (\cos t)^n\,dt \approx \int_{-\infty}^{\infty} \exp\left(-n\,\cfrac{t^2}{2}\right)\,dt = \sqrt{\cfrac{2\pi}{n}},

ya que como es bien conocido

I=\int_{-\infty}^{\infty} \exp(-{x^2})\,dx, \quad I^2=\int_{-\infty}^{\infty}\,dx\,\int_{-\infty}^{\infty}\,dy\, \exp(-{x^2}-{y^2}),

I^2 = \int_0^{2\pi} d\theta\, \int_0^\infty r\,\exp(-r^2)\,dr = 2\pi\,\int_0^\infty \left( -\cfrac{1}{2} \cfrac{d}{dr} \exp(-r^2)\right)\,dr =\pi.

Como elegí n=62832 \approx 2\pi 100^2, resulta que la integral del ejercicio da como resultado 1/100, con un error de 0.0005\%.



42 Comentarios

    1. Abel, recuerda, un 5% de error, obviamente, quiere decir un 5% de error relativo. Cero tiene un error relativo del 100% para cualquier número distinto de cero. Y la respuesta a este problema, es obviamente, distinta de cero.

  1. Uno.

    Esa función vale aproximadamente 0 en todos los puntos del rango (-pi/2,pi/2) excepto en 0, donde vale uno. La suma (la integral) es entonces aproximadamente 1.

  2. David yo creo que es al revés, vale uno en todo el intervalo excepto en los extremos, que es cero, pero como son sólo dos puntos no «cuentan», un cuadrado de altura uno y anchura pi debería tener un área igual a pi, así que mi resultado es pi!

    1. David, lo siento, no es correcta tu respuesta… la respuesta correcta es 1/100 = 0.01 (con un error inferior al 0.001%).

      La cuestión es, ¿quién será el primero en explicar en unas pocas líneas por qué la respuesta es 1/100? No vale usar calculadora. Solo son necesarios conocimientos elementales de cálculo de primer curso de Universidad.

  3. mi profesor de física (físico, por supuesto) me dijo una vez: cuando un físico te pregunte algo, y te diga que ya, que venga, que diga la respuesta, se trata de 1, de 0, o de infinito. Y confío en él.

  4. La funcion que se esta integrando es muy picuda cerca de cero. Por tanto, usar taylor expansion cos(t) = 1 – t^2/2, luego usar binomial expansion (1 – t^2/2)^n= 1 – nt^2/2, luego integrar polinomios

    1. Rrtucci, tu solución tiene un problema. ¿En qué intervalo alrededor de cero debes integrar dicho polinomio?

      Caliente, caliente, … pero todavía queda un punto sobre la i que hay que colocar para que todo funcione…

    1. Rrtucci, casi casi, pero no. El error que lograrás haciéndolo así será superior al 12%. ¿Cómo lo harías para lograr un error menor del 5%? Vas por el buen camino pero tienes que pensar un pelín más…

  5. Pues no se. Mi impulso es usar expansiones mas altas para obtener el termino t^4 del integrando. Usar cos(t) = 1 – t^2/2 + t^4/4 y (1-x)^n = 1 -nx + n(n-1)x^2/2. Aproximar el integrando a forma 1 +at^2 + bt^4. Usar la formula cuadratica para encontra los ceros del integrado, Integrar sobre la region simetrica alrededor de cero en la cual el integrado es positivo

    1. Y si tu impulso fuera aproximar el desarrollo de potencias por una exponencial, ¿cuál usarías? ¿cuál es la que tiene la forma que esperas que tenga un potencia alta de la función coseno?

      Por cierto, usando tu método necesitas aproximar el coseno alrededor de cero por un polinomio de grado 14 para obtener un error menor del 5%.

    1. Rrtucci, ¿tablas para evaluar una función gaussiana con una curtosis alta? No, no es necesario. Puedes evaluar la integral en toda la recta real; el error será muy pequeño. ¿Te acuerdas cómo se calcula la integral de exp(-x^2) en toda la recta real? Feynman lo usaba para calcular integrales de camino…

  6. Yo tampoco tengo espacio en un margen tan pequeño, pero creo que los tiros van por aquí:

    En lugar de integrar (cos t)^n (con n=muy grande) entre –pi/2 y pi/2, hay que pasar al dominio complejo e integrar (e^it)^n entre -a y a, siendo a un parámetro.

    Esta integral es trivial: I(a)= (2/n)sen(an) y tiene que ser muy similar a la que buscamos cuando nos limitamos a un intervalo “a” muy pequeño (cuando a es grande empieza a oscilar). Tiene que ser similar porque todos los términos con senos que contienen deberían cancelarse en la integral, pero esto es intuición… habría que demostrarlo y precisar el valor de a.

  7. cos(t) = [exp(it)-exp(-it)]/2= exp(it)[1-exp(-i2t)]/2
    [cos t]^n = exp(int)/2^n[1-exp(-i2t)]^n
    Usar binomial expansion para 1-exp(-i2t)]^n
    Deformar el contorno de integracion t->it
    integrar de -infty a +infty

    1. sign error: Debia haber dicho cos(t)= [exp(it) + exp(-it)]/2
      Note: hay que deformar el contorno con cuidado. Para exp(int)/2^n, tomar la integral de -pi/2 -> -pi/2 + iinfty, luego de pi/2 +infty -> pi/2

    2. Hola, yo lo resolvería con el método de la fase estacionaria, al ser una función con un solo pico, se aproxima por una gaussiana con valor medio igual al máximo de la función y varianza igual a su segunda derivada.

      El problema que veo es que la integral de una gaussiana es una función error, por lo que no hay manera de estimarla sin calculadora, salvo que el intervalo de integración sea mayor que 2 o 3 sigmas (ahora no me acuerdo), en cuyo caso se puede dar la integral en todos los reales de la gaussiana y estimar un error de menos de un 5%.

      Me ha costado un poco más de 5 minutos.

      ¿es la forma correcta?

  8. (cost)^n=exp(log((cost)^n))=exp(n*log(cost))=exp(n*log(1+cost-1))=[aproximando cost por 1-t^2/2]=exp(n*log(1-t^2/2))=[aproximando log(1+z) por z]=exp(-nt^2/2)
    Aproximando ahora el límite de integración de (-pi/2,pi/2) a (-inf,+inf) tenemos Int[exp(-nt^2/2,t=-inf,t=+inf)]=sqrt(2*pi/n)
    por otro lado n es casi 10000pi, así que el resultado es sqrt(1/10000)=0.01
    Es una variante del método de fase estacionaria.

    1. Muy bien Felipe. Ahora bien, ¿sabrías deducir en una línea la expresión Int[exp(-nt^2/2,t=-inf,t=+inf)]=sqrt(2*pi/n)? Muchos lectores se preguntarán cómo lo haría Feynman…

      1. Te refieres.. sin usar la distribución normal?
        Bueno, sin usarla, no creo q me quepa en una linea:
        Esto se suele estudiar en cursos de integrales impropias.. se calcula la integral de superficie de exp(-(x^2-y^2)/2) dx dy en el plano, por dos métodos, en cartesianas, al ser separable sale la integral del enunciado I, al cuadrado, y por otro lado se hace en polares, r*exp(-r^2/2) dr dphi, que es inmediata y sale 1*2pi. de ahí que I=sqrt(2pi), luego con una homotecia se ajusta la n.
        Hay otra demostración usando variable compleja, pero es más liosa y nunca conseguí recordar los caminos de integración.

      2. Perfecto, Felipe. Problema resuelto.

        Me ha gustado esta entrada y el buen trabajo de los lectores. La interacción con los lectores siempre es un placer. Habrá que repetir la idea de vez en cuando… pero sin abusar.

      3. I = Int[exp(-nt^2/2,t=-inf,t=+inf)] = 2 Int[exp(-nt^2/2, t=0,t=+inf)] , canvio de variables nt^2/2=r^2 => I = sqrt(n/2) Int[exp(-r^2),t=0,t=+inf)] = sqrt Gamma(1/2) = sqrt(2*pi/n). ( Gamma(m)= 2 Int[exp(-r^2)r^(2m-1),r=0,r=+inf)] )

  9. disculpa emulenews y lectores, yo lei sus aportes a como resolver este problema y estoy facinado con el analisis y la estadistica aplicada aqui, pregunto, esto es pura creatividad o hay algun autor o grupo de autores que mas o menos me ayuden a desarrollar esta capacidad de pensamiento que uds mostraron?

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Por Francisco R. Villatoro, publicado el 19 octubre, 2010
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