En 1966, el matemático Mark Kac preguntó: ¿es posible oír la forma de un tambor? En 1992, Gordon, Webb y Wolpert demostraron que es imposible, encontraron un contraejemplo (dos dominios isoespectrales). Paolo Amore (Univ. de Colima, México) se pregunta: ¿es posible oír la densidad de un tambor? Su respuesta también es negativa. La figura que abre esta entrada muestra dos tambores isoespectrales con densidad variable (el sombreado oscuro indica mayor densidad). Los dominios isoespectrales tienen la misma área, perímetro y masa total. Su demostración consiste en extender trabajos previos al caso heterogéneo, es decir, considerar un problema generalizado de autovalores para el operador laplaciano y utilizar simulaciones numéricas. Las vibraciones de un tambor no homogéneo están descritas por las autofunciones del problema de valores propios de la ecuación de Helmholtz (-Δ)ψ = λ Σψ, donde Σ> 0 es la densidad de la membrana; con un cambio de variables Amore transforma el problema en (-Δ’)ψ = λ ψ, lo que le permite aplicar resultados previos. Los interesados en más detalles disfrutarán con el artículo Paolo Amore, «One cannot hear the density of a drum (and further aspects of isospectrality),» arXiv:1307.0279 [math-ph] (accepted in Phys. Rev. E).
Como músico, me parece una entrada muy interesante. ¿Tiene alguna implicación/aplicación en otras áreas?
La misma ecuación que describe las vibraciones de un tambor (la ecuación de Helmholtz) puede describir problemas fisicos de naturaleza diferente, como por ejemplo una particula cuantica confinada en una region finita del plano o los modos del campo electromagnetico en la misma region. Este segundo sistema fisico fue utilizado en 1994 para demostrar la isospectralidad del problema homogeneo (Experiments on not ‘‘hearing the shape’’of drums,S Sridhar, A Kudrolli, Physical Review Letters 72 (14), 2175). En el caso del problema no homogeneo es posible generar dominios isospectrales donde, ademas
del confinamiento, un campo externo actua sobre el electron. Este campo externo necesita poseer ciertas simetria para que no rompa la isospectralidad.
Gracias, Paolo, por tu comentario.
Lo mismo digo, muchas gracias 🙂
me recuerda (a la inversa) a los tambores utilizados por los chinos para oir el avance de tropas enemigas: https://www.youtube.com/watch?v=AYvx7gSFfDY