¿Por qué nos creemos los teoremas matemáticos?

Por Francisco R. Villatoro, el 23 diciembre, 2014. Categoría(s): Ciencia • Matemáticas • Mathematics • Science ✎ 9

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La respuesta parece obvia: porque son verdad. Sin embargo, nuestra confianza en la veracidad de las demostraciones de los teoremas está basada en factores sociales y psicológicos (sesgos cognitivos). Una demostración correcta hace 200 años puede generar dudas a muchos matemáticos en la actualidad. ¿Generarán dudas similares dentro de 200 años las demostraciones actuales de teoremas matemáticos?

Discute esta cuestión metamatemática Andrzej Pelc, “Why Do We Believe Theorems?,” arXiv:1411.4857 [math.LO]. Esta entrada participa Edición 5.9: Emma Castelnuovo del Carnaval de Matemáticas cuyo blog anfitrión es Que no te aburran las M@TES.

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El objetivo de una demostración es convencer a la comunidad de matemáticos capaces de entenderla de la veracidad de un resultado matemático (lema, teorema o corolario). Lo convincente hoy en día es diferente a lo que fue convincente hace siglos y no podemos afirmar a la ligera que seguirá siéndolo dentro de unos siglos. En cierto sentido, las demostraciones son para el matemático como los experimentos para el científico experimental. Sirven para aprender nuevas ideas, nuevos conceptos y nuevas estrategias para adquirir conocimiento, pero están limitados por las técnicas metodológicas y epistemológicas del presente.

¿Qué opinas al respecto? ¿Toda demostración es eterna? ¿Toda demostración debe ser eterna? ¿Debe durar una demostración más que un diamante? Usa los comentarios, si te apetece contribuir al diálogo.



9 Comentarios

  1. Absolutamente de acuerdo con que con los años algunas demostraciones pasarán a revisión, básicamente al desaparecer o modificarse axiomas. Los axiomas son verdades sujetas a la intuición y por lo tanto sujetas a cambios con los siglos. Por ejemplo, una sociedad muy avanzada con plena conciencia de que la naturaleza es discreta (no continua) y una cultura constructivista, podría ver los números reales y sus teoremas como prácticos rodeos para resolver problemas, pero para nada pertenecientes a la matemática pura, al ser no tratables. El axioma de elección o el infinito en acto podrían pasar también a ser juegos de artificio.

    1. Pedro, muy pocas demostraciones están basadas en un sistema de axiomas (axiomática) y en un conjunto de reglas de inferencia (lógica) descritos de forma explícita. Prácticamente todas asumen estos conceptos de forma implícita (con objeto de reducir la longitud de la demostración). Por ello no es necesario que cambien los axiomas (que al ser implícitos no están del todo claros) ni las reglas de inferencia (ídem de ídem). Basta que progrese el conocimiento matemático para que se vayan desvelando y surjan dudas en ciertos argumentos. Las matemáticas son un proceso de creación continua y así tiene que ser.

  2. Si no aceptásemos el ‘axioma de elección’ tendríamos unas matemáticas bastante pobres. No se podrían justificar algunos resultados que resultan de utilidad para resolver ecuaciones. Por ejemplo, la delta de Dirac no entra en el esquema de funciones matemáticas y era útil para resolver algunas ecuaciones de la física ….hasta que Schwartz ideó la teoría de distribuciones y entonces pudo tener cabida.

    Ahora está en bogas si es correcta o no la demostración de la conjetura de Kepler, hecha con ordenadores. Parece que se ha hecho una nueva prueba formal. A ver qué dicen los referees.

    Pero sí, un teorema es para siempre.

  3. Creo que la demostración de un teorema tiene dos fundamentos:
    1) las matematicas usadas para demostrarlo (las bases matematicas)
    2) el procedimiento usado

    En el tiempo solo pueden pasar dos cosas:
    1) se encuentre un error en las matematicas usadas
    2) se encuentre un error en el procedimiento usado

    Si no se dan ninguno de los casos anteriores, la demostración deberia ser eterna

    NO PUEDE CAMBIAR LOS AXIOMAS, ya que estarias hablando de “otra matematica”, si cambias los axiomas, deberias pasar a TODOS TUS TEOREMAS DEMOSTRADOS por una revisión, TODOS LOS TEOREMAS PASARIAN A SER FALSOS AUTOMATICAMENTE.

    1. Interesante la opinión de Generado, que da pie a una conjetura personal: La matemática actual esta basada en Axiomas, (preposiciones aceptadas como verdaderas) Si filosofamos un poco, cómo estar seguro de la veracidad de tales afirmaciones, quizás la matemática postulativa no ha permitido entender la complejidad del universo y por ello se nos hace tan difícil escapar a un universo tridimensional. La historia nos mostró que cuando una mente valiente enfrenta uno de estos ladrillos que parecen inamovibles, nos encontramos frente a las orillas de un nuevo universo matemático. Tal como sucedió con la geometría euclidiana que de contradecir un argumento que parecía tan evidente “Por un punto exterior a una recta pasa una y solo una paralela” Hoy en día hemos superado esa limitación de pensamiento con el surgimiento de la geometría hiperbólica. y ahora sabemos que al menos pasan dos paralelas. Gracias por la atención su amigo Dario Lanni – 2016

  4. Creo que el programa formalista de Hilbert pretendía acabar con el papel de la subjetividad en la matemática. No soy capaz de responder si lo ha conseguido por completo o no, pero desde luego que Hilbert despejó bastante el camino y ahora vemos las cosas más claras que en el XIX. Al menos conocemos varios límites…el siglo XX ha sido sin duda el más importante en fundamentos desde Euclides.
    Ahora mi “opción” sobre la “eternidad” de los teoremas. Si considero un teorema como una ristra de signos que están estructurados por unas reglas de transformación (que no se cuestionan) a partir de unas ristras originales que no se ponen en cuestión. Entonces tengo que aceptar que el teorema no es que sea eterno, es que están más allá del tiempo y del espacio. El teorema pertenece a un orden platónico e intangible. Fue, es y será verdadero. En el mismo sentido que es verdadero decir que “”si aceptas 1 y aceptas que “si 1 entonces 2″ tienes que aceptar 2″ es verdadero”.
    Otra cosa muy diferente es decir que la complejidad de la ristra de símbolos sea tal que se utilicen medios de “acortarlas” no formalizados y por lo tanto sujeto a errores. La falta de formalización introduce peligrosos atajos que pueden ser revisados a posteriori como falsos.
    Añadir o quitar axiomas o modifcar las leyes de inferencia no cambia la veracidad de un teorema porque la veracidad no se establece de forma absoluta sino solo en relación al universo axiomático y referencial del mismo.

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