Una curiosidad de la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff

Dibujo20150113 baker-cambell-hausdorff formula - wikipedia

La historia de la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff (BCH) se inició en 1890 e involucra a Schur, Campbell, Poincaré, Baker, Pascal, Hausdorff, Yoshida y Dynkin. Para números reales se tiene que z=log(exp(x) exp(y))= x+y. Sin embargo, para matrices Z=log(exp(X) exp(Y)) ≠ X+Y, salvo cuando éstas conmutan [X,Y]=XY–YX =0. La fórmula BCH tiene infinitos términos, aunque en muchas aplicaciones se trunca por un número finito de ellos.

Supongo que si has estudiado mecánica cuántica sabrás que para [X,Y]= c I, se cumple que Z=X+Y+[X,Y]/2; esta expresión se aplica al conmutador de Heisenberg [P,Q]=–i  I. Me ha resultado muy curioso que cuando [X,Y] = u X + vY + c I, se cumple que Z=X+Y+f(u,v)[X,Y]. Por supuesto, en estas expresiones u, v y c son números (reales o complejos). La demostración en Alexander Van-Brunt, Matt Visser, “Special-case closed form of the Baker-Campbell-Hausdorff formula,” arXiv:1501.02506 [math-ph], 11 Jan 2015.

Por cierto, la fórmula BCH fue usada por primera vez por el matemático germano Friedrich Schur (1856–1932) en 1890, por el irlandés John Edward Campbell (1862–1924) en 1897, por el francés Jules Henri Poincaré (1854–1912) en 1899, por el británico Henry Frederick Baker (1866–1956) en 1901, por el italiano Ernesto Pascal (1865–1940) en 1901, por el germano Felix Hausdorff (1868–1942) en 1906, por el japonés Kōsaku Yoshida (1909–1990) en 1937, y por el soviético Eugene Borisovich Dynkin (1924–2014) en 1947. Todos ellos afirmaron haber descubierto la fórmula sin conocimiento del trabajo de los otros. Por ello, en rigor, se debería llamar fórmula de Schur–Campbell–Poincaré–Baker–Pascal–Hausdorff–Yoshida–Dynkin. Nos cuentan esta apasionante historia Rüdiger Achilles y Andrea Bonfiglioli, “The early proofs of the theorem of Campbell, Baker, Hausdorff, and Dynkin,” Arch. Hist. Exact Sci. 66: 295-358, 2012.

No quiero entrar en detalles de la demostración de Van-Brunt–Visser. Para [X,Y]=u\,X+v\,Y+c\,I obtienen que

Z(X,Y)=\log(e^X\,e^Y)=X+Y+f(u,v)\,[X,Y],

 

donde la función f(u,v)=f(v,u) está dada por

\displaystyle{}f(u,v)=\frac{(u-v)\,e^{u+v}-(u\,e^u-v\,e^v)}{u\,v\,(e^u-e^v)}.

 

La aplicación de esta fórmula a los operadores de creación y aniquilación de partículas en el formalismo de segunda cuantización es realmente interesante. Como tenemos [a,a^\dagger]=I,  se obtienen expresiones tan curiosas como

[a^2,(a^\dagger)^2]=4\,(a^\dagger\,a)+2\,I=4\,N+2\,I,

 

[a^2,(a^\dagger\,a)]=[a^2,N]=2\,a^2,

 

[(a^\dagger)^2,(a^\dagger\,a)]=[(a^\dagger)^2,N]=-2\,(a^\dagger)^2.

 

Y muchas más. La verdad, creo que merece la pena recordar la fórmula de Van-Brunt–Visser.



6 Comentarios

  1. Offtopic de la leche: Necesitaba preguntarle esto a un fisico. Cual es la velocidad de propagacion de la gravedad? Alguien podria recomendarme algun buen articulo de divulgacion sobre el tema?
    He estado buscando, pero a parte de encontrar resultados muy dispares, la mayoria eran articulos cientificos demasiado profesionales, muchos en ingles y con conclusiones bastante vagas. Gracias por la ayuda, me da mucha rabia no conocer semejante dato.

    1. Mina, no tiene sentido físico hablar de la velocidad de la propagación de la gravedad en la teoría de Einstein de la relatividad general; lo único que podemos hablar es de la velocidad de propagación de las ondas gravitacionales (y por ende perturbaciones gravitacionales) que es la velocidad de la luz en el vacío. La razón es técnica, el gravitón no tiene masa. No sé qué recomendarte, quizás “El gravitón” El Tamiz, 2012.

      Las observaciones (del púlsar PSR 1913+16) indican que la velocidad de las ondas gravitacionales está entre 2,993 × 10^8 y 3,003 × 10^8 m/s.

      1. Gracias por la respuesta Francis. A la que acabe el articulo de la Teoria del CAos de El Tamiz me pondre con este.

        Al hacer la pregunta no queria alargarme, pero evidentemente me referia a la velocidad de propagación de las ondas gravitacionales, o del gravitón en sí. De todas formas lo que no me acaba de convencer es el hecho de que dicha particula sigue siendo teórica por el momento (según lo que tengo entendido).

        Nunca me han gustado los dogmas, ni en las religiones ni en ningun tipo de creencia, y me preocupa cuando veo que le pasa eso a la ciencia. Cierto es que nada supera a C, pero me gustaria pensar que de alguna manera se podria saltar ese limite. Si entenieramos bien ese fenomeno llamado inflación y aprendieramos a usarlo..

        Por eso me gusta que aunque este tipo de observaciones siempre tienen su margen de error, nos de una esperanza de pasar de C.

        1. Mina, detectar un gravitón individual es físicamente imposible con la tecnología actual (y la que se puede prever en todo el siglo XXI). Las ondas gravitacionales han sido detectadas de forma indirecta (Premio Nobel de Física 1993). Su detección directa se logrará en los próximos años (pocos físicos lo dudan). Si la teoría de Einstein es correcta, las ondas gravitacionales se mueven exactamente a la velocidad de la luz (porque corresponden a una partícula sin masa, el gravitón). Por supuesto, aún no hemos podido medir su velocidad de propagación usando experimentos; quizás se pueda medir de forma indirecta durante el siglo XXI.

          ¿Podría ocurrir que el gravitón tuviera masa? Nada lo prohíbe, pero las simetrías de las ecuaciones de Einstein sugieren que su masa es exactamente cero. Los límites actuales son una masa menor de 7 x 10^-32 eV (pero son medidas indirectas basadas en lentes gravitacionales débiles). Por supuesto, si el gravitón tuviera una masa más pequeña, entonces la ondas gravitacionales se moverían a una velocidad un infinitésimo menor que la velocidad de la luz en el vacío.

          1. Muchas gracias por las explicaciones Francis. Ha sido un placer recibirlas directamente de un entendido en la materia. En mi ambiente, cuando intenté expresar mi duda a mis conocidos la mejor respuesta que obtuve fue 9.81 m/s, y me costo un tiempo hacerles entender que no me referia a la aceleración producida por ésta en la Tierra.

            La educación pre-universitaria en este país (España) deja mucho que desear por como esta montado el tinglado, aunque estare eternamente agradecido a los buenos profesores que tuve en materias cientificas.

  2. Todo esto es rarísimo jajaja. Me hubiera gustado tener profesores como muchos de los que formáis Naukas. ¡Gracias por todo lo que aprendemos!

    Al observar este tipo de efectos como las ondas gravitacionales, que si no me equivoco, están formandas durante un evento de distorsión espacio-temporal, como supernovas, etc. no puedo evitar asociar fenómenos gravitacionales con electromagnéticos aún siendo muchisimo más debil la gravedad.
    Aunque sé que no se parecen ni en el blanco de los ojos, sobre todo a nivel de partícula, siempre me ha llamado la atención las similitudes “visuales” que parecen tener, atracción, propagación de ondas, formas toroidales….

    ¿Qué tipo de energía porta una onda gravitacional?¿Está compuesta por gravitones cargados, si es que eso es posible… 😉 ?
    ¿Cómo vamos respecto a la unificación de teorías? De pequeño cuando empece a oir hablar de la teoría de cuerdas, creí que estabamos más cerca de la respuesta 🙂

    Salu2

Deja un comentario

Por Francisco R. Villatoro
Publicado el ⌚ 13 enero, 2015
Categoría(s): ✓ Ciencia • Física • Historia • Matemáticas • Mathematics • Noticias • Physics • Science
Etiqueta(s): ,