Robert P. Langlands logra el Premio Abel 2018

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Robert P. Langlands (81 años) recibe el Premio Abel 2018, premio al que llevaba varios años siendo firme candidato. Afiliado al Instituto de Estudios Avanzados de Princeton (EE UU) propuso en 1967 una conexión entre diversas disciplinas matemáticas gracias a la teoría de la representación; en concreto, una extensa red de dualidades entre las representaciones de diferentes grupos que aparecen en diferentes áreas de las matemáticas. Esta extensa red de conjeturas tiene como objetivo unificar toda la matemática, desde la teoría de números al análisis matemático, pasando por el álgebra y la geometría, sin olvidar sus aplicaciones en física matemática. El programa de Langlands ha sido uno de los grandes motores de gran parte de las matemáticas en los últimos 50 años.

En física teórica el programa de Langlands aparece de manera natural porque las partículas fundamentales y los campos cuánticos se describen mediante representaciones de grupos de Lie. En concreto, en la teoría de cuerdas y en las teorías de Yang–Mills supersimétricas se observan dualidades entre diversas teorías que se describen de forma conveniente en el lenguaje del programa de Langlands. Por ello, físicos como Edward Witten recurren de forma continua en sus trabajos a objetos matemáticos descubiertos en el marco del programa de Langlands, y además proponen nuevos objetos matemáticos de interés para dicho programa. Por ejemplo, en teoría M, la teoría cuántica superconforme en seis (5+1) dimensiones que describe las M5 branas en la supergravedad 11D, que carece de lagrangiano, se espera que tenga una formulación matemática usando objetos del programa de Langlands.

Entrar en los detalles técnicos nos llevaría lejos y para muchos legos lo más relevante es el montante económico del galardón, 623.000 euros, que el rey Harald V de Noruega entregará el próximo 22 de mayo en Oslo a Robert P. Langlands. El anuncio oficial del premio en “The 2018 Abel Prize announcement” [incluye vídeo], “Robert P. Langlands receives the Abel Prize” [PDF], Alex Bellos, “A glimpse of the Laureate’s work,” [PDF], Alex Bellos, “A biography of Robert P Langlands” [PDF], “17 handwritten pages that shaped a whole area of mathematical research” [PDF], “From quadratic reciprocity to Langlands’ program” [PDF].

Los trabajos más relevantes de Langlands aparecen en su página web “The Work of Robert Langlands,” IAS (2018), y una discusión técnica (aunque compresible para matemáticos) de su relevancia en Julia Mueller, “On the genesis of Robert P. Langlands’ conjectures and his letter to André Weil,” Bull. Amer. Math. Soc. (25 Jan 2018) [36 pp.], doi: 10.1090/bull/1609. En español no hay muchas fuentes, así que recomiendo Fernando Zalamea, “Grandes corrientes de la matemática en el siglo XX. IV. La matemática de los transvases 1960–1990,” Bol. Mat. 19: 19–36 (2012) [PDF].

[PS 22 Mar 2018] Recomiendo leer a Kevin Hartnett, “Robert Langlands, Mathematical Visionary, Wins the Abel Prize,” Quanta Magazine, 20 Mar 2018; Davide Castelvecchi, “‘Grand unified theory of maths’ nets Abel Prize,” News, Nature, 20 Mar 2018. [/PS]

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El programa de Langlands, cuyo nombre se inspira en el programa de Erlangen de Felix Klein —quien pretendía unificar toda la geometría gracias a la teoría de grupos— nació en 17 páginas manuscritas que Langlands le envió por carta a André Weil en enero de 1967. Weil, el matemático más relevante del siglo XX en geometría algebraica y teoría de números, olvidó contestar a Langlands, la joven promesa canadiense de las matemáticas, de solo 30 años. En la carta aparecían una serie de conjeturas que conectan el análisis en variable compleja con las extensiones algebraicas por medio de acciones de grupos de transformación. Como la carta solo contenía conjeturas, muchas de ellas aún siguen siéndolo, Langlands nunca recibió la medalla Fields. A pesar de ello, vencer a sus conjeturas ha sido el trabajo de gran parte de los matemáticos de la actualidad.

Los primeros resultados del programa de Langlands empezaron a aparecer en la década de los 1980. Quizás el más importante es la demostración de la conjetura de Taniyama-Shimura-Weil, clave en el trabajo de Andrew Wiles (Premio Abel 2016), famoso por la demostración del último teorema de Fermat, que le permitió pasar a la historia como el Abel más joven. De hecho, Wiles ha realizado contribuciones muy relevantes al programa de Langlands.

La intuición del joven Langlands proviene de dos observaciones complementarias. Por un lado, la conexión entre las formas modulares, funciones analíticas de variable compleja que respetan ciertas acciones del grupo SL2(R), y las formas automorfas, funciones analíticas que respetan acciones de grupos de Lie; esta conexión no es directa y, por tanto, no trivial, ya que requiere pasar por las acciones intermedias del grupo Fuchsiano sobre las formas modulares de Poincaré y del grupo simpléctico sobre las formas modulares de Siegel. Y por otro lado, la conexión entre la jerarquía de L–representaciones del grupo de Galois de una extensión algebraica. Conectando ambas observaciones, el joven nos propone la llamada correspondencia de Langlands: las formas automorfas asociadas al grupo lineal GL(n,K) corresponden a las L–representaciones de dimensión n del grupo de Galois Gal(K, K). El programa generaliza esta correspondencia y desarrolla sus múltiples aplicaciones.

Esta serie de conjeturas describe una cierta noción de continuidad entre diferentes disciplinas matemáticas. Al más puro estilo de la matemática moderna avanzada, las relaciones que se observan entre diferentes objetos matemáticos (vía la universalidad y funtorialidad de la teoría de categorías) dependen de una compleja jerarquía intermedia de objetos de diversa índole. Así resultados tan importantes como el último teorema de Fermat de la teoría de números son demostrados gracias a conjeturas de ramas de la matemática muy alejadas, en apariencia, como la conjetura (ahora teorema) de Taniyama–Shimura–Weil. La conjetura de Taniyama–Shimura (1955) sugería la equivalencia (módulo L–series) de las curvas elípticas con las formas modulares. Frey (1985) conjeturó que una solución no trivial de la ecuación xn + yn = zn, daría lugar a una curva elíptica que no sería modular (“curva de Frey”). Ribet demostró (1986) la conjetura de Frey, estableciendo así que demostrar Taniyama–Shimura implica demostrar a Fermat. Wiles (1993–94) demostró la conjetura de Taniyama–Shimura para curvas elípticas semiestables (entre las cuales aparece la curva de Frey), demostrando así el Teorema de Fermat. La demostración completa de Taniyama– Shimura, para todas las curvas elípticas, fue obtenida en 1999 (Breuil, Conrad, Diamond, Taylor).

Estas conjeturas que relacionan objetos matemáticos tan diferentes entre sí, en apariencia, muestran la esencia de la universalidad de la abstracción pura. Matemáticos como Langlands ven más allá y conjeturan relaciones que rayan lo imposible. Por ello el Abel 2018 es un premio más que merecido.


1 Comentario

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Hector04Hector04

Wiles mencionó que su descubrimiento era como entrar a una habitación a oscuras, determinar donde estaban los muebles y finalmente encender la luz…
Una idea Platónica donde la haya. La Filosofía de ideas abstractas es innegable abriendo el perpetuo frente del descubrimiento versus la invención.

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