Los picones (peakons) de la ecuación de Camassa-Holm

Las olas rompen en la playa cuando la altura de la onda sobre la superficie media es de unos tres cuartos de la profundidad. Justo antes de romper muestran una cresta en forma de pico (con un ángulo menor de 120 grados y una altura sobre la superficie mayor de un séptimo de su longitud de onda). En 1993 Roberto Camassa y Darryl D. Holm introdujeron un modelo matemático de este proceso de picado previo a la rotura de la ola (y su disipación formando espuma). La ecuación de Camassa–Holm (CH) es integrable, es decir, linealizable mediante la transformada espectral inversa, y presenta ondas solitarias picadas llamadas peakons o picones.

La velocidad de ondas someras (shallow water waves) antes de la rotura tiene un perfil u(x,t) que es solución de la ecuación ut − uxxt + 3 u ux = 2 ux uxx + u uxxx, donde los subíndices indican derivadas parciales, t es el tiempo y x es la dirección de propagación. Esta ecuación CH parece complicada, pero se puede estudiar con todo detalle gracias a que es integrable. Sus picones son soluciones de tipo onda solitaria de la forma u(x,t) = c exp(−|x−c t|), donde c es la velocidad de la onda, que coincide con su amplitud. Estos picones se comportan como partículas, siendo robustas bajo perturbaciones y preservando su forma tras interacciones mutuas. Más aún, la integrabilidad permite escribir la solución general (del problema de Cauchy) de esta ecuación y demostrar que toda condición inicial diferenciable arbitraria se descompone en un tren de picones de amplitud decreciente sobre un fondo de radiación.

Holm acaba de publicar un artículo en Physica D que estudia la rotura de una onda descrita por una versión estocástica de la ecuación CH. Permíteme esta excusa para hablar de picones. El nuevo artículo es Dan Crisan, Darryl D. Holm, “Wave breaking for the Stochastic Camassa–Holm equation,” Physica D: Nonlinear Phenomena 376–377: 138-143 (01 Aug 2018), doi: 10.1016/j.physd.2018.02.004. La ecuación CH se publicó en Roberto Camassa, Darryl D. Holm , “An integrable shallow water equation with peaked solitons,” Physical Review Letters 71: 1661-1664 (1993), doi: 10.1103/PhysRevLett.71.1661.

Esta entrada participa en la edición del Carnaval de Matemáticas, , cuya septuagésima octava edición está organizada por @Pedrodanielpg a través de su blog A todo Gauss.

[PS 01 Jul 2018] Por cierto, mi colega sevillano Jesús Cuevas y varios coautores introdujeron el concepto de picones discretos (discrete peakons), en Andrew Comech, Jesús Cuevas-Maraver, Panayotis G. Kevrekidis, “Discrete peakons,” Physica D: Nonlinear Phenomena 207: 137-160 (2005), doi: 10.1016/j.physd.2005.05.019 [gratis en idUS]. [/PS]

Una ecuación de ondas no lineal integrable se puede escribir como un problema isoespectral, es decir, como la condición de compatibilidad entre dos problemas de autovalores lineales, uno en espacio y otro en tiempo, de tal forma que los autovalores sean constantes. En el caso de la ecuación CH estos problemas son ψxx = (1/4 − m/(2 λ)) ψ, y ψt = −(λ + u) ψx + (1/2) ux ψ, con m = u − uxx, y λ real; es fácil comprobar que (ψxx)t = (ψt)xx, implica la ecuación CH bajo la condicion de que λt=0.

La ecuación CH tiene una serie infinita de magnitudes conservadas (leyes de conservación que generalizan el momento y la energía). Además, por sorprendente que parezca siendo una ecuación no lineal, tiene como solución exacta una suma finita de picones (la figura de arriba muestra dos picones sumados). Nota que en la cresta de los picones la solución es continua, pero no es diferenciable, cuando la ecuación CH incluye derivadas de hasta tercer orden. Por tanto, los picones son soluciones débiles de esta ecuación.

El resultado matemático más interesante de la ecuación es el lema del picado (Steepening Lemma) que afirma que si la condición inicial para la velocidad u(x,t) tiene un punto de inflexión con pendiente negativa (por ejemplo, si es antisimétrica) su evolución en el tiempo conducirá a una rotura de la onda (la velocidad u(x,t) alcanzará un punto con una derivada infinita); este proceso describe la rotura de la ola del mar que se acerca a la orilla. Por supuesto, el picón y las soluciones exactas con un número finito de picones no rompen porque carecen de puntos de inflexión y el lema no aplica.

Una vez se produce la rotura de la onda aparece una onda de choque que disipa energía y pierde amplitud; en la playa observas el fenómeno de aparición de espuma en la cresta de la ola, que se curva permitiendo que un surfista se pasee dentro de la ola. La ecuación CH no es adecuada para el estudio de la evolución de la onda de choque, ya que tras su formación no se cumplen las condiciones físicas usadas para su derivación; aunque añadiendo disipación se puede estudiar su evolución inicial.

El nuevo artículo de Darryl D. Holm considera una versión estocástica de la ecuación CH, que él mismo introdujo en 2015. Se demuestra que dicha ecuación presenta soluciones en forma de trenes de picones que siguen trayectorias estocásticas (ya que la velocidad c de cada uno es una variable aleatoria). El resultado se logra gracias a una formulación de la ecuación CH estocástica en forma de problema isoespectral estocástico, que permite probar la existencia de infinitas magnitudes conservadas.

Más aún, el nuevo artículo de Holm demuestra que el lema del picado también se aplica a la ecuación CH estocástica, eso sí, con probabilidad uno. Un resultado muy interesante que nos muestra que la integrabilidad es una herramienta extremadamente poderosa para realizar estudios analíticos de ecuaciones en derivadas parciales no lineales. Por desgracia es una propiedad que solo se observa en ecuaciones en una dimensión espacial (y extensiones triviales a más dimensiones).

En resumen, mi objetivo es motivarte a profundizar en ondas no lineales con soluciones de tipo solitón. Un campo apasionante donde los haya que combina poderosas herramientas matemáticas para el análisis detallado de las soluciones junto a modelos matemáticos genéricos (aunque unidimensionales) para muchos problemas físicos. Si te he picado la curiosidad, busca peakons en la web y disfruta.

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