¡Cuidado con el método de inducción «a ojo»!

Un teorema matemático es para siempre, pero requiere una demostración. En matemáticas, un patrón repetido muchas veces no es una verdad, sin una demostración. Incluso si ese patrón se repite más de millones de millones de millones de millones de millones de millones de millones de veces (en números, más de 1.5 × 10⁴³ veces). John Baez nos ofrece un ejemplo maravilloso gracias a un trabajo previo de Greg Egan. Uno de los mejores ejemplos de la esencia de la belleza matemática. Toda verdad matemática requiere una demostración.

Lo he visto en John Baez, «A Pattern That Eventually Fails,» The n-Category Café, 21 Sep 2018, continuación de John Baez, «Patterns That Eventually Fail,» Azimuth, 20 Sep 2018, que está basado en Greg Egan, «Schmid explains Borwein,» Google+, 26 Sep 2018, sobre un artículo de Hanspeter Schmid, «Two curious integrals and a graphic proof,» Elementary Mathematics 69: 11-17 (2014), doi: 10.4171/EM/239 [PDF].

Cualquiera puede comprobar fácilmente que

$\displaystyle{ \int_0^\infty \frac{\sin t}{t} \, d t = \frac{\pi}{2} },$

$\displaystyle{ \int_0^\infty \frac{\sin t}{t} \, \frac{\sin \left(\frac{t}{101}\right)}{\frac{t}{101}} \, d t = \frac{\pi}{2} },$

$\displaystyle{ \int_0^\infty \frac{\sin t}{t} \, \frac{\sin \left(\frac{t}{101}\right)}{\frac{t}{101}} \, \frac{\sin \left(\frac{t}{201}\right)}{\frac{t}{201}} \, d t = \frac{\pi}{2} },$

$\displaystyle{ \int_0^\infty \frac{\sin t}{t} \, \frac{\sin \left(\frac{t}{101}\right)}{\frac{t}{101}} \, \frac{\sin \left(\frac{t}{201}\right)}{\frac{t}{201}} \, \frac{\sin \left(\frac{t}{301}\right)}{\frac{t}{301}} \, d t = \frac{\pi}{2} },$

Y así sucesivamente, hasta el hartazgo. Sin embargo, no se puede comprobar eternamente, pues resulta que

$\displaystyle{ \int_0^\infty \frac{\sin t}{t} \, \frac{\sin \left(\frac{t}{101}\right)}{\frac{t}{101}} \, \frac{\sin \left(\frac{t}{201}\right)}{\frac{t}{201}} \cdots \, \frac{\sin \left(\frac{t}{100\,n +1}\right)}{\frac{t}{100\,n + 1}} \, d t = \frac{\pi}{2} },$

es verdad solo para

$n<15\,341\,178\,777\,673\,149\,429\,167\,740\,440\,969\,249\,338\,310\,889,$

pero falla para

$n=15\,341\,178\,777\,673\,149\,429\,167\,740\,440\,969\,249\,338\,310\,889.$

Parece increíble, pero así son las matemáticas en acción.

La razón es que la suma

$\displaystyle{\sum_{k = 1}^n \frac{1}{100\,k + 1}} > 1,$

para $n{\ge}15\,341\,178\,777\,673\,149\,429\,167\,740\,440\,969\,249\,338\,310\,889,$

luego resulta que

$\displaystyle{ \int_0^\infty \frac{\sin t}{t} \, \frac{\sin \left(\frac{t}{101}\right)}{\frac{t}{101}} \, \frac{\sin \left(\frac{t}{201}\right)}{\frac{t}{201}} \cdots \, \frac{\sin \left(\frac{t}{100\,n +1}\right)}{\frac{t}{100\,n + 1}} \, d t < \frac{\pi}{2} }$

en dicho caso.

Este tipo de integrales se llaman integrales de Borwein y se calculan usando la transformada de Fourier (que transforma productos en convoluciones). Para convencerse de este asombroso resultado basta recordar que la transformada de Fourier de la función $\sin(c\,x)/(c\,x)$ es una función escalón de Heaviside con valor $\sqrt{\pi/8}/c$ en el intervalo $(-c,c)$ . Y que la convolución de funciones de Heaviside suaviza el perfil, pero mantiene constante el valor central en cero mientras $c<1$ .