Atención, pregunta: ¿Qué es una integral?

La respuesta depende del contexto. El término «integral» se usa como sustantivo (p. ej. integral de Lebesgue o integral de caminos) y como adjetivo (p. ej. curva integral o ecuación integral). Y en español los adjetivos se pueden sustantivar y los sustantivos se pueden adjetivar. No es lo mismo la integral como cuadratura, un simple número resultado de calcular el área bajo una curva, que la integral como primitiva (antiderivada), una familia de funciones que se diferencian en una constante (o una función que las representa sin ella). Y no es lo mismo la integral de Riemann, que la integral de Lebesgue, que la integral de Itô, que… En matemáticas se usa y abusa del término «integral» y su definición depende del contexto. Por tanto, toda discusión entre matemáticos sobre su significado debe iniciarse con una definición por ambas partes, pues quizás dichas definiciones no coincidan.

Esta entrada participa en la Edición 1 del Año X del Carnaval de Matemáticas () cuyo anfitrión es Tito Eliatron Dixit (). Me gusta participar en el Carnaval de Matemáticas, pero en la última ocasión ni me enteré de la fecha tope y en esta ocasión me acabo de enterar de que hoy mismo es la fecha tope (aún puedes participar, hasta las 24:00 (Madrid) de hoy 28 de febrero de 2019). ¿Te animas a participar?

Esta entrada viene a cuento de este tuit que se hizo viral el pasado 25 de febrero de 2019. Una discusión entre un tal «Don Carlos» (matemático ponente en una mesa redonda) y un «caballero» del público (profesor de matemáticas o de cálculo). ¿Una integral es un número? ¿Una integral es una función? En la discusión se debate sobre si el sustantivo «integral» se refiere a una integral definida (un número) o a una integral indefinida (una «función»), y se omite toda referencia a cualquier otra posibilidad. Don Carlos afirma (sin rigor) que

\displaystyle\int x\,dx = \frac{x^2}{2},

y se queda tan pancho (por lo que el «caballero» del público decide cortar la discusión). Hay que tener mucho cuidado con esta definición (popular pero incorrecta) de integral (indefinida). ¿Por qué? Porque es fácil demostrar que 0=1 si se usa esta definición y la integración por partes (mis tuits). En matemáticas, toda «verdad» que conduce a una «mentira» es mentira, por razones obvias (por reducción al absurdo).

[PS 12 Mar 2019] Por cierto, se ha publicado una respuesta de Carlos Madrid Casado al vídeo que se hizo viral. Me parece que se hace la picha un lío. Pero, bueno, quizás alguien quede contento con su falsa erudición sobre la historia de las matemáticas (que no viene a cuento en este contexto). Podría haber sido mucho más conciso y claro. [/PS]

La «demostración» es muy conocida (pero quizás haya algún lector que aún la ignore). La integración por partes con esta definición reza

\displaystyle\int{u}\,dv=u\,v-\int{v}\,du,

que aplicada a la siguiente integral

\displaystyle\int\frac{1}{f(x)}\,\frac{df(x)}{dx}\,dx,

con u = {1}/{f(x)}, y con v=f(x), de tal forma que

\displaystyle{dv}=\frac{df(x)}{dx}\,dx,

\displaystyle{du}=-\frac{1}{f^2(x)}\,\frac{df(x)}{dx}\,dx,

nos permite obtener

\displaystyle\int\frac{1}{f(x)}\,\frac{df(x)}{dx}\,dx=\frac{1}{f(x)}\,f(x)-\int{f(x)}\,\left(-\frac{1}{f^2(x)}\,\frac{df(x)}{dx}\right)\,dx,

que simplificando de forma trivial nos ofrece

\displaystyle\int \frac{1}{f}\,\frac{df}{dx}\,dx = 1 + \int \frac{1}{f}\,\frac{df}{dx} dx,

es decir, que 0 = 1, lo que es obviamente falso.

Supongo que ya te habrás dado cuenta que el problema es que la igualdad entre dos funciones de una familia de funciones módulo constantes requiere instanciar dichas constantes. Todo matemático sabe que la expresión correcta es

\displaystyle\int \frac{1}{f}\,\frac{df}{dx}\,dx + c_1 = 1 + \int \frac{1}{f}\,\frac{df}{dx} dx + c_2,

donde debe cumplirse que c_1=1+c_2. Por cierto, normalmente solo se pone una constante de integración c=c_2-c_1, pero he puesto dos para destacar que ambas primitivas pertenecen a la familia de funciones primitiva resultado de la integral indefinida y que, en rigor, cada primitiva tiene su propia constante de integración.

En resumen, he escrito una entrada rápida sobre una anécdota propia de redes sociales que espero que no te haya aburrido. Mi único objetivo es animarte a contribuir al Carnaval de Matemáticas. ¡Te animas!



17 Comentarios

  1. Estimado Francis,
    Lo que Carlos Madrid (matemático, profesor en la UCM) estaba intentando señalar es que la integral en general no es un número, y por eso menciona la regla de Barrow. El vídeo es un corte de una discusión más amplia, y oral, lo que hace que se pierda como es natural el rigor.

    1. Y Carlos NO lleva razón. María; llamar al cálculo de primitivas, integral, es no entender qué es una integral; es una vieja pereza de estudiante que se ha arrastrado ya como algo sólido a nuestros días con aquello de integral definida e integral indefinida, pero “integral indefinida” no tiene sentido, es como “sumatorio de diferenciales indefinido” ¿? Eso no tiene ni pies ni cabeza.

      El tener que calcular la primitiva de la función suele ser un primer paso para obtener una integral, pero no es el único.

      Es como si llamáramos un té indefinido a tener una tetera con agua hirviendo delante de mí…pues no, aunque haya tenido que hervir agua y haya usado la tetera para contenerla, eso no es un té, es una preparación previa para hacer el té.

      1. Lo que llamas, quizá por desconocimiento, “vieja pereza de estudiante” es una distinción clásica debida a los grandes matemáticos franceses de principios del XIX. La distinción entre integrales definidas e indefinidas la acuña explícitamente Lacroix, pero aparece parcialmente ya en una memoria de Laplace y en el curso de Cauchy.

  2. A mi se me daban mejor entender la integral de la cuadratura esas que son para saber las áreas.. El lio siempre lo tendre entre derivadas y su antiderivada o integral. ¿ Para que sirven ? Ya no te digo cuando me toco estudiar las ecuaciónes diferenciales hay deje de estudiar

  3. Depende del contexto, como siempre en matemáticas. Si estás en el espacio cociente de las funciones bajo la relación de equivalencia que dos funciones son equivalentes si su derivada es la misma, entonces 0 = 1 = c, donde c es cualquier número, es cierto.Entendiendolas como funciones claro.

  4. Por o poco que sé, el error es que al simplificar f(x)/f(x) y decir que es igual a 1 no es verdad siempre, solo si f(x) es distinto de 0. Al menos ese es el error que en este y otros contextos se usa para llegar al clásico 1=0.

  5. Estimado Francis,
    ¿por qué dices que la erudición de Carlos Madrid sobre la historia de las matemáticas es falsa? ¿Qué datos de los que aporta no son correctos?
    Gracias!

    1. Porque afirma cosas que son mentira. Aparenta que sabe historia de las matemáticas, cuando demuestra con sus afirmaciones que no se ha estudiado ningún libro de historia de las matemáticas para preparar su discurso de respuesta. Quizás le ha fallado la memoria. Pero está claro que su erudición es falsa.

      1. Estimado Francis , llevo siguiendo su blog con asiduidad durante tiempo , y siempre me pareció muy acertado en sus habituales planteamientos . Dicho esto , en el caso de su conflicto con Carlos Madrid , por vez primera me dispongo a salir del anonimato como lector y decirle , que sin lugar a dudas y conociendo su obra como admirador también suyo que soy , que es un profesional intachable , una persona de orden , oro de ley y me atrevo a decir que jamás argumenta con falsos planteamientos o de forma farisea con el único fin tan mediocre de tener razón respecto a usted .

        Cómo aficionado incondicional a la matemática le recomiendo que no se meta con grandes prohombres de esta materia .

        1. No me meto con un gran prohombre de las matemáticas. Solo he afirmado que alguien ha dicho algo falso en un vídeo de youtube y que mucha gente como usted parece ignorarlo. Lo siento. Le pido perdón si le molesta oírlo. ¿Por qué no se estudia un libro de historia de las matemáticas y verifica las falsedades que ha afirmado dicho prohombre? Le puedo asegurar que disfrutará mucho, porque la historia de las matemáticas es apasionante.

          1. ¿Pero cuál es exactamente la falsedad de la historia de las matemáticas que comete? Dices que afirma cosas que son mentira, ¿pero cuáles?, ¿qué cosas?

          2. Pere, me niego a contestar porque no quiero quitarte el placer de la lectura de un libro de historia de las matemáticas (o del cálculo). ¿Has leído alguno? ¿Te interesa la historia del cálculo? ¿De verdad te interesa conocer la respuesta a tu pregunta?

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Por Francisco R. Villatoro
Publicado el ⌚ 28 febrero, 2019
Categoría(s): ✓ Ciencia • Matemáticas • Mathematics • Science
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