Karen K. Uhlenbeck, Premio Abel 2019

El Premio Abel nació en 2003 y, por primera vez, se otorga en 2019 a una matemática, la genial Karen K. Uhlenbeck: por sus contribuciones al análisis geométrico, a las teorías gauge y a la teoría de sistemas integrables. Muchas ecuaciones en derivadas parciales corresponden a la ecuación de Euler–Lagrange asociada a cierto funcional de energía que se evalúa en una variedad diferenciable (los físicos usamos el funcional llamado acción, que es la integral del llamado lagrangiano del campo en todo el espaciotiempo). Uhlenbeck ha aplicado con gran éxito ideas del cálculo de variaciones a dicho funcional que permiten estudiar la existencia y regularidad (diferenciabilidad) de las soluciones de la ecuación. Hoy en día, sus logros se estudian en las monografías (los libros de  texto avanzados) de estas materias.

Karen Keskulla Uhlenbeck, a sus 76 años, ha pasado a la historia de las matemáticas, como ya lo hizo Maryam Mirzajani. Te recomiendo leer la entrevista que le hizo Allyn Jackson para Celebratio Mathematica (Interview to Karen K. Uhlenbeck), la pieza de Erica Klarreich, “Karen Uhlenbeck, Uniter of Geometry and Analysis, Wins Abel Prize,” Quanta Magazine, 19 Mar 2019, y Karen Uhlenbeck, “Coming to Grips With Success. A Profile of Karen Uhlenbeck. In her own words,” Math Horizons, Apr 1996: 14-17, doi: 10.1080/10724117.1996.11974973. También te recomiendo Simon Donaldson, “Karen Uhlenbeck and the Calculus of Variations,” Notices AMS 66: 303–313 (Mar 2019) [PDF]; Jim Al-Khalili, “A biography of Karen Uhlenbeck,” Abel Prize Info. [PDF]; Arne B. Sletsjøe, “Gauge Theory” [PDF], “Calculus of Variations” [PDF], y “I’m Forever Blowing Bubbles” [PDF]; y más.

Esta entrada participa en el Carnaval de Matemáticas, que en esta octagésima segunda edición, también denominada X.2, está organizado por Rafael Martínez González a través de su blog El mundo de Rafalillo. Anímate a participar desde el 22 hasta el 29 de marzo de 2019. Recuerda avisarle, por ejemplo vía Twitter en @Rafalillo86 con la etiqueta . ¡Contamos contigo!

Uhlenbeck nació en 1942, se doctoró en 1966 bajo la tutoría de Richard Palais, fue profesora en la Universidad de Illinois en Urbana-Champaign (1971–1976), Universidad de Illinois en Chicago (1976–1983), Universidad de Chicago (1983-1988), y desde 1988 en la Universidad de Texas en Austin (donde se jubiló). Por cierto, Karen Keskulla (apellido de soltera) es conocida como Karen K. Uhlenbeck, tras tomar el apellido de su primer esposo, que era bioquímico e hijo del famoso físico George E. Uhlenbeck, padre conceptual del espín del electrón junto a Samuel A. Goudsmit; se divorciaron 1976, pero nunca usó en matemáticas el apellido de su segundo y último esposo (Robert Williams).

Justo el año en el que Steve Smale recibió su Medalla Fields (1966), Uhlenbeck defendió su tesis doctoral bajo la dirección de Dick Palais; en ella estudió cómo extender la condición de Palais–Smale de una dimensión a varias. Un resultado que hoy forma parte de los libros de texto, aunque no se menciona en el anuncio oficial del Premio Abel. Sus trabajos destacados en la mención del galardón aparecieron una década más tarde.

Uhlenbeck está considerada la “madre” del análisis geométrico, cuyo “padre” es Shing-Tung Yau (que demostró la conjetura de Calabi y recibió la Medalla Fields en 1982 por ello). Yau ahora es famoso por las variedades de Calabi–Yau que se usan en la compactificación de las dimensiones extra en teoría de supercuerdas en 9+1 dimensiones; pero a finales de los 1970 era un matemático conocido solo en ciertos círculos académicos. Yau descubrió a Uhlenbeck gracias a su trabajo (entonces poco conocido) sobre la regularidad de las soluciones de ecuaciones elípticas no lineales, como K. Uhlenbeck, “Regularity for a class of non-linear elliptic systems,” Acta Mathematica 138: 219–240 (1977), doi: 10.1007/BF02392316.

Uhlenbeck y Yau trabajaron en problemas relacionados con las ecuaciones de Yang–Mills (que son ecuaciones elípticas no lineales bajo ciertos gauge); ella las descubrió tras asistir a una charla de Michael Atiyah sobre el teorema del índice de Atiyah–Singer (Premios Abel 2004) en el contexto de las teorías gauge y las ecuaciones de Yang–Mills. Uhlenbeck inició una colaboración muy fructífera con Yau en el estudio de las ecuaciones de Yang–Mills, en especial, en sus soluciones de tipo instantón (recomiendo su libro Daniel S. Freed, Karen K. Uhlenbeck, “Instantons and Four-Manifolds,” MSRI, 1984). Los instantones son soluciones clásicas exactas cuya cuantización describe el efecto túnel entre dos vacíos de la teoría; a finales de los 1970 se pusieron de moda porque parecían capaces de explicar el problema del confinamiento en la cromodinámica cuántica (que la interacción fuerte es una fuerza de corto alcance aunque los gluones son bosones sin masa, como los fotones).

La aplicación de las técnicas de cálculo variacional al estudio de las ecuaciones de Yang–Mills condujo a los teoremas de compacidad (débil y fuerte) de Uhlenbeck (recomiendo a los interesados el libro de Katrin Wehrheim, “Uhlenbeck compactness,” EMS, 2003). Estos teoremas permiten estudiar en detalle el entorno de las singularidades en estas ecuaciones (Karen K. Uhlenbeck, “Removable singularities in Yang-Mills fields,” Communications in Mathematical Physics 83: 11–29 (1982), PE 1103920742). Recuerda que en las ecuaciones de Yang–Mills la curvatura Fμν representa los campos y la conexión Aμ los potenciales. Para potencial pequeño, es obvio que la curvatura también lo será. Pero fue Uhlenbeck quien demostró con estos teoremas que la curvatura pequeña también implica potenciales pequeños. Para demostrar estos teoremas hay que elegir un gauge adecuado (tipo Coulomb) y probar que todas las secuencias de soluciones tienen subsecuencias convergentes débilmente.

Uhlenbeck ha publicado gran número de trabajos revolucionarios, de ahí que haya merecido con creces el Premio Abel. Destaca su famoso artículo con Jonathan Sacks, Karen Uhlenbeck, “The Existence of Minimal Immersions of 2-Spheres,” Annals of Mathematics 113: 1-24 (1981), JSTOR: 1971131, donde se introduce el concepto de “bubbling”, que hoy también forma parte de todos los libros de texto. A principios de los 1970 conoció Uhlenbeck a Lesley Sibner, y junto con su esposo Robert Sibner, publicaron un década después un artículo sobre singularidades de las ecuaciones de Yang–Mills que ya es un clásico (L. M. Sibner, R. J. Sibner, K. Uhlenbeck, “Solutions to Yang–Mills equations that are not self-dual,” PNAS 86: 8610–8613 (1989), doi: 10.1073/pnas.86.22.8610).

Finalmente, Uhlenbeck centró su carrera en las ecuaciones integrables (campo que nació con la ecuación de Korteweg–de Vries) y su estudio mediante problemas de Riemann–Hilbert, trabajo realizado junto a la matemática Chuu-Lian Terng (Google Scholar). De hecho, Uhlenbeck ha colaborado con muchas matemáticas, lo que en muchos medios se interpreta como un apoyo explícito al rol de la mujer en matemáticas (incluso se ha llegado a afirmar que una «feminista» gana el Premio Abel). Como muchas mujeres en matemáticas ha tenido que sobrevivir en un campo de la ciencia dominado por hombres, pero se ha sabido rodear de jóvenes matemáticas muy prometedoras con las que ha realizado aportes muy relevantes. Sin lugar a dudas, Karen Keskulla es todo un referente para las jóvenes interesadas en estudiar matemáticas.



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Por Francisco R. Villatoro
Publicado el ⌚ 22 marzo, 2019
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