Un error matemático (cambiar un 3 por un 2) sobrevive cuatro décadas sin ser detectado

Por Francisco R. Villatoro, el 31 marzo, 2021. Categoría(s): Ciencia • Dinámica no lineal • Historia • Matemáticas • Mathematics • Noticias • Recomendación • Science ✎ 1

El sesgo de confirmación también existe en matemáticas. Un buen ejemplo es un error matemático que sobrevive durante décadas sin ser detectado. Para ello es necesario que conduzca a una expresión aproximada que ajuste bien los resultados numéricos. Nadie duda de una expresión que parece correcta hasta que alguien se atreve a repetir su derivación. Un buen ejemplo es el error en un artículo de ‪Tadao Sugiyama‬ (1979) que fue desvelado en 2016 por Herbert Weigel (Stellenbosch University, South Africa) y su estudiante Ishmael Takyi (Kwame Nkrumah University of Science and Technology, Ghana). Weigel detectó el error en simulaciones numéricas y le pidió a Takyi que rehiciera el cálculo completo de Sugiyama para su tesis de maestría. Para su sorpresa, el resultado correcto ajusta peor ciertos resultados numéricos que el incorrecto. ¡Cáspitas!

Has leído bien, el buen acuerdo cualitativo y semicuantitativo de las soluciones numéricas se venía abajo al corregir el error. Más aún, aparecían ciertas dificultades técnicas (singularidades) que muestran que el método de Sugiyama (cierto tipo de analogía onda-partícula) falla garrafalmente. Nadie se había cuestionado el método hasta entonces. Así, un problema que se consideraba resuelto ha resultado estar abierto. Weigel y su grupo han extendido el método (introduciendo un parámetro empírico que hay que ajustar a mano) para recuperar la bondad de la descripción incorrecta. Por desgracia, han aparecido dudas sobre la interpretación original del proceso implicado; se sigue trabajando en desarrollar una nueva formulación que tenga una interpretación más adecuada. Un campo apasionante que nos deparará muchas sorpresas en el futuro próximo.

Nos lo cuentan Panayotis G. Kevrekidis y Roy H. Goodman, «Four Decades of Kink Interactions in Nonlinear Klein-Gordon Models: A Crucial Typo, Recent Developments and the Challenges Ahead,» arXiv:1909.03128 [nlin.PS] (06 Sep 2019). El artículo con el grave error tipográfico es Tadao Sugiyama, «Kink-antikink collisions in the two-dimensional φ⁴ model,» Progress of Theoretical Physics 61: 1550-1563 (1979), doi: https://doi.org/10.1143/PTP.61.1550. El error fue descubierto numéricamente por Herbert Weigel, «Kink-antikink scattering in φ⁴ and φ⁶ models,» Journal of Physics: Conference Series 482: 012045 (2014), doi: https://doi.org/10.1088/1742-6596/482/1/012045; y confirmado analíticamente en Ishmael Takyi, «Collective coordinate description of kink-antikink interaction,» Master’s Thesis, Stellenbosch University (2016) [web,PDF], y en el artículo de Ishmael Takyi y Herbert Weigel, «Collective coordinates in one-dimensional soliton models revisited,» Physical Review D 94: 085008 (2016), doi: https://doi.org/10.1103/PhysRevD.94.085008.

Esta pieza participa en la Edición 12.1 del Carnaval de Matemáticas (@CarnaMat) #CarnaMat12_1, cuya anfitriona es Moni Alus (@MoniAlus) en su blog El Mundo en un Chip («Carnaval de Matemáticas 12.1,» 21 mar 2021).  

Hay errores matemáticos famosos que han impulsado áreas de investigación. El más famoso es la solución al problema de los tres cuerpos de Henri Poincaré; una serie (supuestamente) convergente que resolvía dicho problema y que le permitió ganar el premio que concedía el rey Óscar II de Suecia y Noruega. Tras descubrir el error, Poincaré introdujo la sensibilidad a las condiciones iniciales y la estocasticidad hamiltoniana, ambas precursoras de la teoría del caos y de la teoría de sistemas dinámicos.

La ecuación de Klein–Gordon (originalmente propuesta por Schrödinger como una versión relativista de su famosa ecuación) describe un campo cuántico escalar (de espín cero). Esta ecuación describe el campo de Higgs cuando se incluye un potencial no lineal cuártico. La ecuación de Klein–Gordon no lineal unidimensional (1+1), utt − uxx + Vu(u) = 0, donde los subíndices indican derivadas, es integrable cuando Vu(u) = sin(u), ecuación sine-Gordon, Vu(u) = sinh(u), ecuación sinh-Gordon, o Vu(u) = exp(u) – exp(−2u), ecuación de Mikhailov. Durante la década de los 1970s se realizó un estudio exhaustivo de esta ecuación para otros potenciales no lineales, como Vu(u) = u (u2−1), de la llamada ecuación ø4 (phi-4), porque el potencial V(u) = ∫ Vu(u) du = ½ (u2−1)2 es un polinomio de cuarto grado.

En el caso integrable, esta ecuación tiene soluciones de tipo solitón, los llamados kink (y antikink), así como soluciones de tipo multisolitón, como las soluciones kink-kink, kink-antikink y breather. En el caso no integrable siguen existiendo las soluciones de tipo kink, aunque son ondas solitarias cuyas colisiones no son completamente elásticas, por ello no son solitones (en sentido estricto); sin embargo, no existen las soluciones de tipo multisolitón, aunque existen ondas solitarias metaestables que se asemejan a ellas (como los llamados pseudo-breathers, oscillons o bions).

Para ecuaciones integrables la colisión entre un kink y un antikink es elástica y tras la colisión emergen el antikink y el kink originales. Sin embargo, para las ecuaciones no integrables la colisión es inelástica. Por ejemplo, para la ecuación phi-4, consideremos la colisión simétrica entre un kink con velocidad vin, que conecta 0 en −∞ con 1 en +∞, contra un antikink con velocidad −vin, que conecta 1 en −∞ con 0 en +∞; tras la colisión emergen el kink y el antikink cuando la velocidad inicial está por encima de una velocidad crítica, vin > vcr. Por debajo, vin < vcr, la colisión da lugar a la formación de un pseudo-breather que decae lentamente; salvo en una serie de ventanas donde se produce una especie de resonancia tras la cual reemergen el kink y el antikink sobre un fondo de radiación de pequeña amplitud (estas ventanas se suelen llamar ventanas de escape). Como ilustra la figura, la velocidad crítica para la phi-4 es vcr ≈ 0.2598.

La resonancia se caracteriza por cierto número de rebotes (indicado con diferentes colores en esta figura); las ventanas con dos rebotes decrecen en anchura conforme la velocidad crece con la velocidad crítica como punto de acumulación; los bordes de las ventanas con dos rebotes actúan como velocidades críticas para las ventanas con tres rebotes, que se acumulan en ellos; a su vez están rodeadas de ventanas con cuatro rebotes y así ad infinitum. Esta estructura fractal para la dispersión kink-antikink es genérica para todas las ecuaciones de Klein–Gordon no integrables.

Para entender este comportamiento se puede usar una analogía onda-partícula; que se puede aplicar a cualquier ecuación, sea integrable o no integrable, que tenga una formulación hamiltoniana (para la ecuación de Klein–Gordon no lineal el hamiltoniano es H = ∫ (½ ut2 +½ ux2 + V(u) ) du). La idea es aplicar las leyes de Newton a la posición (X) y velocidad (dX/dt) de los centros de los kinks y antikinks, aproximando la fuerza F(X) entre ellos por un potencial efectivo. El cálculo es sencillo, pero pesado, conduciendo a un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias. En el cálculo realizado por Sugiyama‬ (1979) hay un error en uno de los coeficientes; por un error tipográfico resulta un coeficiente que es una función par (simétrico ante el cambio X → −X), lo que simplifica los cálculos posteriores. A pesar del error, la expresión final permita estimar la velocidad crítica con un error pequeño de solo un 11 %. Y, además, describe de forma cualitativa y semicuantitiva los resultados numéricos.

Herbert Weigel calculó en 2014 todos los coeficientes de F(X) usando un método numérico, pero se encontró con una sorpresa, su estimación de la velocidad crítica difería de la Sugiyama. Repasó sus cálculos numéricos para desvelar dónde estaba su error. No lo había. Comparó la evaluación numérica de todos sus coeficientes con las expresiones teóricas de Sugiyama y encontró el coeficiente en discordia; en su cálculo dicho coeficiente era asimétrico (no era invariante ante el cambio X → −X). La figura muestra la comparación de ambas funciones. Un razonamiento matemático sencillo convenció a Weigel de que su cálculo era correcto y quien estaba equivocado era Sugiyama. La expresión correcta, sin el error, permite una estimación de la velocidad crítica con un error de solo un 5 %. Sin embargo, no describe de forma cualitativa y mucho menos semicuantitiva los resultados numéricos; para lograrlo hay que incorporar más términos en el desarrollo de Sugiyama (algo muy engorroso solo al alcance de los métodos numéricos).

Weigel encargó a su estudiante Ishmael Takyi repetir todos los cálculos analíticos de Sugiyama para tu tesis de maestría. La comparación con el artículo original desveló el origen del error: Sugiyama escribió tanh2(X) donde tendría que haber escrito tanh³(X), un simple cambio de un número 3 por un 2; dicho cambio permite una simplificación dramática en el resultado final (la chispa de belleza que eclipsó a Sugiyama). Weigel y Takyi publicaron un artículo conjunto con sus resultados. Y hasta aquí la historia del error… Aunque debo confesar que cuando leí por primera vez el artículo de Sugiyama, como muchos otros, pasé por encima de las fórmulas, creyéndome el resultado obtenido sin derivarlas por mi cuenta.

La manera estándar de interpretar los rebotes en las colisiones kink-antikink es aludir a una resonancia con un modo lineal de baja amplitud. Dicha idea está sugerida por el cálculo de Sugiyama y las simulaciones numéricas realizadas a principios de los 1980. Por desgracia, una de las consecuencias inesperadas del cálculo correcto es que aparece un singularidad: en el centro de la colisión, el punto X=0, los términos que representan el kink y el antikink se anulan; luego ya no se puede interpretar el proceso como una resonancia del kink y del antikink con un modo lineal, pues los primeros han desaparecido del cálculo. La singularidad no existe en la ecuación de Klein–Gordon, siendo un producto de la aproximación mediante un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias. La interpretación que satisfacía a todo el mundo resultó ser resultado del error de Sugiyama.

Por fortuna el grupo de Weigel ha propuesto una modificación del método de Sugiyama que permite evitar la singularidad, aunque a costa de introducir un parámetro artificial que ha de ser ajustado de forma empírica. Su valor depende de si se ajusta la velocidad crítica, o el número de rebotes, o se minimiza la distancia entre el centro del kink estimado y observado, o incluso otros criterios diferentes. Por tanto, a pesar del enorme esfuerzo empleado durante 40 años para entender las colisiones kink-antikink de la ecuación de Klein–Gordon no integrable más sencilla, el modelo phi-4, todavía no entendemos bien cuál es el secreto de la aparición de la estructura fractal en las ventanas de escape. Creíamos conocer la respuesta, pero ahora sabemos que tenemos que seguir investigando.

Si he logrado llamar tu atención sobre este tema y quieres disfrutar de los detalles matemáticos, te recomiendo leer el delicioso manuscrito de Panayotis G. Kevrekidis y Roy H. Goodman en arXiv. ¡Qué lo disfrutes!



1 Comentario

  1. Es muy difícil de explicar que en ciencia el método científico da un resultado objetivo para t -> infinito, o un to que está en esta escala temporal.

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