La teoría de juegos es famosa por el dilema del prisionero y la película Una mente maravillosa (2001) sobre la vida de John Nash; este matemático obtuvo el premio Nobel de Economía en 1994 por su teoría de la cooperación y los llamados equilibrios de Nash. La teoría cuántica de juegos es mucho menos conocida, pero ganó muchos adeptos gracias a la pseudotelepatía cuántica de Brassard, Broadbent y Tapp (2005). Se acaba de publicar en Physical Review Letters la primera demostración experimental de este juego cuántico, usando el cuadrado mágico de Mermin (1990) y Peres (1990). Como en el dilema del prisionero la clave es la cooperación; pero en este juego Alicia y Berto deben cooperar para rellenar un cuadrado mágico de $3\times \mathrm{3\; sin\; mediar\; palabra}$. Si fuera un juego clásico, la única forma de cooperar sin hablar para ganar siempre sería mediante telepatía; por ello se bautizó este juego cuántico como pseudotelepatía cuántica. Como es habitual, solo es un nombre y no tiene nada que ver con lo piensas que es la telepatía al oír dicho nombre (a pesar de lo que puedas leer en los noticieros sensacionalistas).

Alicia y Berto tienen sendos cuadrado mágicos de Mermin–Peres, que en cada casilla tienen valores en {+1, –1} cumpliendo una curiosa condición: en todas las filas del tablero de Alicia la multiplicación de los valores rellenados debe ser igual a +1 y en todas las columnas del tablero de Berto la multiplicación de los valores rellenados por Berto debe ser igual a –1. Un juez selecciona de forma aleatoria una fila del tablero de Alicia, sea x ∈ {0,1,2}, y una columna del tablero de Berto, sea y ∈ {0,1,2}; Alicia y Berto le envía al juez los valores de dicha fila y columna, quien comprueba si el cuadrado en la intersección de ambas tiene el mismo número; en dicho caso Alicia y Berto ganan en el juego. En la versión clásica del juego hay una estrategia que garantiza que ambos ganan un 88.89 % de las veces. Pero en la versión cuántica se puede hacer mucho mejor, existe una estrategia ganadora, en la que ganan siempre gracias a que comparten dos parejas de fotones entrelazados. Por supuesto, compartir fotones entrelazados es casi lo mismo que hablar, por eso se llama pseudotelepatía cuántica en lugar de telepatía cuántica. La ventaja cuántica es que se puede superar el resultado clásico y ganar siempre; aunque en la implementación experimental solo se ha logrado ganar un 93.84 % de las veces (se jugaron 1 075 930 turnos).

El artículo es Jia-Min Xu, Yi-Zheng Zhen, …, Hui-Tian Wang, «Experimental Demonstration of Quantum Pseudotelepathy,» Physical Review Letters 129: 050402 (26 Jul 2022), doi: https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.129.050402, arXiv:2206.12042 [quant-ph] (24 Jun 2022); a nivel divulgativo recomiendo Adrian Cho, «Reality doesn’t exist until you measure it, quantum parlor trick confirms. Two players leverage quantum rules to achieve a seemingly telepathic connection,» Science News, 20 Jul 2022, doi: https://doi.org/10.1126/science.ade0429.

No es mi intención explicar en detalle el dispositivo experimental ni la estrategia cuántica ganadora. La verdad, bastaría que copiar y traducir lo que viene en la información suplementaria del artículo, pero como solo será comprendido por quienes con seguridad lo pueden leer allí, solo realizaré algunos breves comentarios. En la implementación experimental se usan parejas de fotones hiperentrelazados, es decir, entrelazados en dos propiedades diferentes; en concreto, en polarización (H/V, horizontal/vertical) y en momento angular orbital, OAM (r/l, derecha/izquierda). Se realizan tres tipos de medidas (de los autoestados Z, de estados en superposición a pares X_±, en estados de superposición a cuartetos α_±±, y en estados de tipo Bell β_±, cuyas definiciones omito).

Esta tabla muestra la estrategia cuántica óptima, las medidas que Alicia y Berto deben realizar en función de la fila (x) y la columna (y) seleccionada por el juez. Los resultados de las medidas que obtengan determinan los valores de la fila y columna, respectivamente, que enviarán al juez. Haciéndolo así el juez siempre recibirá el mismo valor para la posición (x, y) de ambos jugadores, con lo que dictaminará que siempre ganan. Obviamente, la demostración de que así es requiere un análisis sistemático de todos estos resultados cuánticos, algo que omito aquí (y que los interesados pueden encontrar en el artículo).

Solo me gustaría destacar que, como siempre, en los experimentos cuánticos la fidelidad nunca es del 100 %, con lo que las probabilidades observadas son inferiores; pero como muestra esta figura, siempre están por encima de la predicción clásica a muchas sigmas (en este caso, la probabilidad media de ganar es 93.84(2) %, que está a 247 desviaciones estándar de 8/9 ≈ 88.89 %). Ha costado muchos lustros realizar con éxito un experimento de pseudotelepatía cuántica y, sin lugar a dudas, se trata de un gran hito. Pero aquí solo quiero destacar que no tiene nada que con la telepatía, a pesar del nombre.