Sobre la posible solución de Per Enflo del problema del subespacio invariante para espacios de Hilbert

Por Francisco R. Villatoro, el 29 mayo, 2023. Categoría(s): Ciencia • Matemáticas • Mathematics • Noticias • Science ✎ 4

El problema del subespacio invariante se formuló c. 1930 en espacios de Banach (espacios vectoriales con norma completos). Afirma que todo operador lineal acotado T en un espacio de Banach 𝓑 separable tiene un subespacio invariante 𝓢 no trivial (T 𝓢 ⊂ 𝓢). En 1975 el matemático sueco Per Enflo probó que esta conjetura es falsa (encontró un contraejemplo), que anunció en 1976. Desde entonces se llama problema del subespacio invariante a la versión de esta conjetura en espacios de Hilbert (espacios vectoriales con producto interior completos). Enflo (79 años) acaba de publicar en arXiv una posible demostración: para todo operador T sobre un espacio de Hilbert ℋ separable, se podría construir un sucesión de vectores que converge a un vector no cíclico para T; el espacio vectorial cerrado generado por su órbita sería el subespacio invariante para T. La demostración de solo 13 páginas es engorrosa y difícil de entender. La idea clave parece ser que la sucesión construida no converge siempre, pero se puede superar esta obstrucción «pegando un salto» para reiniciarla y continuar. No soy experto en análisis funcional, pero no me queda claro si la idea de «pegar un salto» funciona siempre, ni tampoco si se puede garantizar la convergencia tras un número finito de reinicios. Habrá que esperar al veredicto de los expertos. Pero, en mi opinión, la demostración tiene toda la pinta de ser incorrecta.

La noción de espacio de Hilbert generaliza la noción de espacio euclídeo a dimensión infinita. El espacio de Hilbert ℋ  es un espacio vectorial dotado de un producto interior de vectores 〈 x, y 〉, ∀ x, y ∈ ℋ , que determina un tamaño (norma) para cada vector ‖ x ‖² = 〈 x, x 〉, ∀ x ∈ ℋ , y un ángulo θ entre cada par de vectores 〈 x, y 〉 = ‖ x ‖ ‖ y ‖ cos θ, ∀ x, y ∈ ℋ . Además, ℋ  debe ser completo, es decir, toda sucesión de Cauchy {xn} tal que ‖ xnxm ‖ < ε debe ser convergente. Todo espacio de Hilbert es un espacio de Banach, pero no al revés. Los espacios de Hilbert son los espacios vectoriales más usados en física y en ingeniería gracias a la noción de ortogonalidad (dos vectores son ortogonales cuando 〈 x, y 〉 = 0). Estos espacios se llaman separables si contienen un subconjunto numerable de vectores que es denso; es decir, tal que permite aproximar cualquier vector de dicho espacio.

Los operadores lineales cumplen que T (α x + β y) = α T (x) + β T (y); se puede extender la noción de norma a estos operadores, ‖ T ‖ = sup ‖ T x ‖, ∀ ‖ x ‖ = 1. Un operador lineal acotado (con norma finita) es continuo y viceversa (recuerda que todo espacio vectorial es un espacio topológico con una noción de continuidad). Un subespacio 𝓢 ⊂ ℋ es invariante para un operador T si T 𝓢 ⊂ 𝓢 (ejemplos triviales son el conjunto vacío y el propio ℋ). Un operador acotado T en un espacio de Hilbert ℋ  tiene un vector cíclico x si su órbita, el conjunto de vectores {Tnx: n≥0}, es denso en ℋ ; se llama operador cíclico al que tiene un vector cíclico. El supuesto vector no cíclico límite de la construcción principal de Enflo tendría asociada una órbita que no es densa en ℋ y por construcción sería un espacio invariante no trivial para ℋ.

El problema del subespacio invariante original cuestiona si todo operador lineal acotado en un espacio de Banach 𝓑 separable (general) tiene un subespacio invariante (no trivial); el contraejemplo de Enflo fue el primero de muchos otros que prueban que esto no es cierto, en general. Hay que destacar que existen espacios de Banach concretos en los que todos sus operadores lineales acotados tienen subespacios invariantes no triviales. Por ello se ha conjetura que en todo espacio de Hilbert ℋ  separable, todos los operadores lineales acotados tengan subespacios invariantes. Desde el punto de vista de las aplicaciones, una demostración constructiva de esta conjetura sería de capital importancia; quizás por ello Enflo nos propone una (supuesta) demostración constructiva. Por desgracia, su «construcción principal» del subespacio invariante no está del todo clara. Sus «saltos al vacío» tienen muy mala pinta. Pero si algún analista funcional pudiera inspirarse en su línea argumental y lograr una demostración sería uno de los resultados matemáticos más relevantes del análisis funcional en este siglo. Además, sería un resultado con gran número de aplicaciones en física y en ingeniería. Me encantaría que estuviéramos cerca de obtener dicha demostración constructiva.

El artículo es Per H. Enflo, «On the invariant subspace problem in Hilbert spaces,» arXiv:2305.15442 [math.FA] (24 May 2023), doi: https://doi.org/10.48550/arXiv.2305.15442. Por cierto, el artículo con el contraejemplo de Enflo de 1975 se envío a publicación en 1981; su revisión por pares fue toda una pesadilla, dada su complejidad y los múltiples pequeños errores de la demostración; se publicó en 1987 tras cinco años de «eterna» revisión por pares: Per Enflo, «On the invariant subspace problem for Banach spaces,» Acta Mathematica 158: 213-313 (1987), doi: https://doi.org/10.1007/BF02392260.

En 2013 dos matemáticos españoles afirmaron haber demostrado esta conjetura, Miguel Ángel Morales (^DiAmOnD^), «Eva Gallardo y Carl Cowen resuelven el problema del subespacio invariante», Gaussianos, 26 ene 2013; pero en realidad habían demostrado otra cosa, «Encontrado un error en el trabajo de Carl Cowen y Eva Gallardo sobre el problema del subespacio invariante», Gaussianos, 05 feb 2013; que publicaron en Carl C. Cowen, Eva A. Gallardo-Gutiérrez, «Rota’s universal operators and invariant subspaces in Hilbert spaces,» Journal of Functional Analysis 271: 1130-1149 (01 Sep 2016), doi: https://doi.org/10.1016/j.jfa.2016.05.018.

[PS 08 jul 2023] Un buen resumen de las aplicaciones del problema del subespacio invariante en Mostafa Behtouei, “Invariant Subspace Problem in Hilbert Spaces: Exploring Applications in Quantum Mechanics, Control Theory, Operator Algebras, Functional Analysis and Accelerator Physics,” arXiv:2306.17023 [quant-ph] (29 Jun 2023), doi: https://doi.org/10.48550/arXiv.2306.17023https://doi.org/10.48550/arXiv.2306.17023. [/PS]

Enflo es famoso en la divulgación de la matemática por esta foto de 1972. En ella Stanislaw Mazur (izquierda) le otorga a Per Enflo (derecha) el ganso vivo prometido por resolver un problema del libro escocés planteado en 1936, el problema 153 sobre representaciones de funciones continuas, también llamado problema del ganso de Mazur. Este problema está relacionado con la existencia de las llamadas bases de Schauder en espacios de Banach separables. En 1955, Alexander Grothendieck introdujo la llamada propiedad de aproximación en espacios de Banach: si todo espacio de Banach tuviera la propiedad de aproximación, entonces todo espacio de Banach tendría una base de Schauder. En 1972, Enflo construyó un espacio de Banach separable que carece de la propiedad de aproximación y, por tanto, de una base de Schauder. El problema 153 había sido resuelto. Si te interesa esta anécdota, te recomiendo disfrutar de la estupenda charla de José A. Prado Bassas (Tito @Eliatron), «The Scottish Book», en Naukas Bilbao 2016 (vídeo EiTB).

Los aguerridos que quieran adentrarse en el problema del subespacio invariante pueden disfrutar de muchas fuentes en español (en especial trabajos fin de grado y máster). Recomiendo Marcos López García, «El problema del subespacio invariante», Miscelanea Matemática 58: 111-124 (2014) [PDF]; Nadia Chinea Chinea, «El Problema del Subespacio Invariante», Universidad de La Laguna (2017) [PDF]; Carlos Domingo, «Problema del subespacio invariante», Universitat de Barcelona (2011) [PDF]; Gloria Buriticá Borda, «El problema del subespacio invariante», Universidad de los Andes (2011) [PDF]; entre otros.



4 Comentarios

    1. Rocker, una demostración no constructiva sería poco útil en la práctica, pero una demostración constructiva tendría aplicaciones donde sea necesario aproximar el espacio de soluciones de una ecuación que incluya dicho operador lineal acotado.

      En mi campo, las ecuaciones en derivadas parciales no lineales, tendría utilidad en las ecuaciones cuasi-lineales que tienen un término lineal y otro no lineal. Las soluciones más estudiadas de estas ecuaciones se encuentran en espacios de Sobolev W^{k,p}, que para p=2 son espacios de Hilbert, pero para otros valores de p son espacios de Banach.

      Para las ecuaciones con soluciones en espacios W^{k,2}, la construcción del subespacio invariante para el operador lineal de la ecuación permite desarrollar técnicas de aproximación a la solución que serán muy útiles para estudiar sus propiedades.

      Como este tipo de ecuaciones surgen por doquier en física y en ingeniería es de esperar que dicha construcción tenga múltiples usos en análisis matemático aplicado.

      Por supuesto, si por aplicaciones entiendes «aplicaciones tecnológicas», lo siento pero este tipo de resultados matemáticos de análisis funcional no tiene ninguna aplicación práctica. En aplicaciones tecnológicas solo se usan espacios vectoriales de dimensión finita, así que siempre se puede construir el subespacio invariante si fuese necesario. Recuerda que la palabra «aplicación» y las palabras «aplicación tecnológica» no son sinónimos.

  1. Al igual que en el contraejemplo de los 70s-80s, lo publicado es un “outline” que se está desarrollando en este momento. Por lo que tildar de “mala pinta” una construcción que (sin ser experto) no se puede interiorizar ni entender, es muy “osado”. En estos momentos hay expertos revisándolo.

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