La función castor afanoso BB(n) es el número de pasos que ejecuta antes de parar una máquina de Turing con n estados que usa los símbolos {0, 1} a partir de una cinta rellena de 0. Esta función crece de forma muy rápida: BB(1) = 1, BB(2) = 6, BB(3) = 21, BB(4) = 107, y BB(5) = 47 176 870 (LCMF, 22 jul 2024). En 2010, Pavel Kropitz descubrió que BB(6) > ¹⁵10, es decir, diez tetrado a quince (siendo ²10 = 10^10, ³10 = 10^(10^10), ⁵10 = 10^(10^(10^(10^10))), …, siendo ¹⁵10 la potencia de 10 consigo mismo repetido 15 veces). Este número es enorme, casi inimaginable (tiene 1+¹⁴10 dígitos), pero es minúsculo comparado con la nueva cota inferior descubierta el 16 de junio de 2025 por mxdys, miembro del BB Challenge (fuente), la impresionante BB(6) > ¹⁰ ⁰⁰⁰ ⁰⁰⁰10 (diez  tetrado a diez millones, es decir, diez elevado a sí mismo diez millones de veces). La corrección de la demostración de dicha cota inferior ha sido verificada en Coq (GitHub).

Pero aún hay más, mxdys ha logrado mejorar su cota de junio, logrando BB(6) > , es decir, 2 tetrado a 2 tetrado a 2 tetrado a 9 (fuente). Si se define la pentación como la tetración reiterada, en analogía con la tetración como la exponenciación reiterada, la nueva cota es mayor de 2 pentado a 5 (que es ). Números espeluznantes muy difíciles de imaginar. Por desgracia, todavía no se ha publicado la verificación de la demostración en Coq (que supongo que no tardará en llegar después del verano). Unos resultados inimaginables que nos ha contado Scott Aaronson, «BusyBeaver(6) is really quite large,» Shtetl-Optimized, 28 Jun 2025.

También es noticia que Pavel Kropitz, en mayo de 2025, obtuvo una nueva cota para BB(7) > 2↑¹¹(2↑¹¹3), donde se usa el hiperoperador de Knuth (↑¹ es la exponenciación, ↑² es la tetración, ↑³ es la pentación, etc.). En los comentarios del blog de Aaronson, Bo-gyu Jeong conjetura que B(7) podría ser mayor que el número de Graham, el mayor número usado jamás en una demostración matemática (wikipedia), en la línea de los comentarios de Michael Dickens y Shawn Ligocki. Ahora mismo solo se sabe que BB(14) > número de Graham. Sin lugar a dudas, los próximos años nos van a ofrecer resultados muy interesantes en esta línea.

El crecimiento de las cotas inferiores de BB(6) y BB(7) es tan rápido que Aaronson nos propone como conjetura que BB(n) > Ackerman(n) para n = 7 (o quizás incluso para n = 6). Recuerda que la función de Ackerman crece muy rápido, siendo el ejemplo más conocido de función μ-recursiva que no es recursiva primitiva.

Aaronson nos propone otra conjetura, aún más radical, que el valor de BB(9) o incluso BB(8) podría ser independiente de los axiomas de Zermelo–Fraenkel completados con el axioma de elección (axiomas ZFC). Se sabe que BB(643) es independiente de los axiomas ZFC, es decir, su valor no se puede demostrar dentro dicho sistema axiomático. Además, el valor de BB(643) no se puede calcular en dicha axiomática, lo que implica que será un «entero no estándar», en el sentido de que es un entero en un modelo no estándar de la aritmética. Por cierto, los avances recientes han sido rápidos y el número 643 se ha reducido a 636 estados, a 588 estados, e incluso a 549 estados, gracias al trabajo de Andrew Wade. Así que BB(549) es independiente de ZFC, pero aún muy lejos de la conjetura de Aaranson.