Carnaval Matemáticas: El producto vectorial en un espacio euclidiano de 7 dimensiones

Dibujo20121222 cross product in dimension seven

El producto vectorial, que a partir de dos vectores nos da un tercer vector, es bien conocido en un espacio de tres dimensiones. ¿Se puede definir un producto vectorial en más de tres dimensiones? Beno Eckmann demostró en 1943 usando topología algebraica que el producto vectorial en dicho caso solo existe en siete dimensiones. De hecho, la relación entre el producto vectorial en siete dimensiones y los octoniones es la misma que entre el tridimensional y los cuaterniones; hay una relación íntima entre las propiedades del producto vectorial y el teorema 1,2,4,8 de Adolf Hurwitz (1898). Se han publicado varias demostraciones más sencillas que la de Eckmann, pero destaca la más reciente, Peter F. McLoughlin, “When does a cross product on R^{n} exist?,” arXiv:1212.3515 (que agradece los comentarios y revisión del experto español Alberto Elduque). La nueva demostración se puede calificar de “elemental” y por tanto se puede incorporar en un primer curso de álgebra lineal y geometría.

Sean u, v, \widetilde{v}, y \widetilde{w} vectores en \textbf{R}^{3}, y sean a, b, c, y d números reales. Las propiedades del producto vectorial que caracterizan cómo se relaciona con el producto escalar son las siguientes:

(i) \displaystyle\frac{(u\cdot v)}{(u\cdot u)(v\cdot v)}=cos \theta (donde \theta es el ángulo formado por los vectores).

(ii) \displaystyle\frac{\left|(u\times v)\right|}{(u\cdot u)(v\cdot v)}=sin \theta.

(iii) u\cdot(u\times v)=0 y v\cdot(u\times v)=0 (propiedad de perpendicularidad).

(iv) (u\times v)\cdot (u\times v)+(u\cdot v)^{2}=(u\cdot u)(v\cdot v) (propiedad pitagórica).

(v) ((au+b\widetilde{u})\times (cv+d\widetilde{v}))=ac(u\times v)+ad(u\times \widetilde{v})+bc(\widetilde{u}\times v)+bd(\widetilde{u}\times \widetilde{v}).

(vi) ((au+b\widetilde{u})\cdot (cv+d\widetilde{v}))=ac(u\cdot v)+ad(u\cdot \widetilde{v})+bc(\widetilde{u}\cdot v)+bd(\widetilde{u}\cdot \widetilde{v}).

En tres dimensiones, la definición del producto vectorial es muy bien conocida. Si A es una matriz cuadrada y \left|A\right| es su determinante, tomando en componentes u=(x_{1},x_{2},x_{3}) y v=(y_{1},y_{2},y_{3}) se puede escribir

u\cdot v=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3},

\displaystyle(u\times v)=\begin{vmatrix}e_{1} & e_{2} & e_{3}\\x_{1} & x_{2} & x_{3}\\y_{1} &y_{2} &y_{3}\end{vmatrix}.

¿Se puede extender el producto vectorial a \textbf{R}^{n} con n>3. Hay muchas maneras de hacerlo si solo exigimos las propiedades (iii), (v) y (vi). Sin embargo, si exigimos también la propiedad pitagórica (iv), entonces solo se puede lograr en dimensión 7. Un producto vectorial que cumpla las propiedades (i)-(vi) solo existe en las dimensiones 1, 3 y 7. La tabla que abre esta entrada define el único producto vectorial en dimensión 7.

La demostración que aparece en el artículo de McLoughlin es breve y sencilla de entender para cualquiera que haya superado un curso de álgebra lineal y geometría. La clave de la demostración es que si un producto vectorial existe en \textbf{R}^{n}, entonces siempre se puede encontrar una base ortonormal {e_{1},e_{2}\ldots e_{n}} tal que para todo i\neq j existe un k tal que e_{i}\times e_{j}=ae_{k}, con a=1, o -1.

La demostración parte del siguiente lema. Si un producto vectorial existe en \textbf{R}^{n} entonces debe cumplir que:

(1.1) w\cdot(u\times v)=-u\cdot(w\times v).

(1.2) u\times v=-v\times u lo que implica que u\times u=0.

(1.3) v\times(v\times u)=(v\cdot u)v-(v\cdot v)u.

(1.4) w\times(v\times u)=-((w\times v)\times u)+(u\cdot v)w+(w\cdot v)u-2(w\cdot u)v.

(1.5) u\times(u\times v)=-v.

(1.6) w\times(v\times u)=-((w\times v)\times u).

La demostración es sencilla y se puede encontrar en muchos libros de texto (se incluye en el fichero tex del artículo de McLoughlin, pero ha sido comentada (%) y no aparece en la versión en pdf).

Utilizando estas propiedades se demuestra que si el producto vectorial tiene que portarse bien al ser aplicado a una base ortonormal, entonces la dimensión de esta base debe ser n=2^{k+1}-1. Sin embargo, la propiedad pitagórica no se cumple para k\geq 3, con lo que los únicos espacios euclidianos \textbf{R}^{n} en los que existe un producto vectorial tienen n=1, 3, o 7.

Obviamente, los interesados en la demostración detallada (5 páginas) pueden consultar el artículo técnico.

Esta entrada participa en la Edición 3,141592653 del Carnaval de Matemáticas que acoge el blog de Elisa Benítez “Que no te aburran las M@TES.”


12 Comentarios

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hicsuntdraconis

Francis, ahora siento arrepentimiento por mi osadía. En mi defensa alego:

a) Con la edad se concede uno licencias, al amparo de las canas supongo, pero es así. Y yo, muy probablemente, debo tener más años que tu padre.

b) El hecho de vivir en Barcelona desde hace mucho (pero mucho, mucho) no ha disminuído un ápice mi sensibilidad en relación con el cuidado del castellano.

c) Ya sé que es frecuente leerlo en libros de matemática o de física, pero el término euclídeo no pertenece al léxico castellano. Sí, también creo que la página en español de Wikipedia está escrita con errores del tipo que señalo.

d) Los ingleses, que son más respetuosos que nosotros con el latín (el $latex 70 %$ o más de las palabras del inglés culto son de raíz latina, aunque el habla ordinaria invierta los términos), escriben “euclidean”. Y los franceses emplean el “euclidian” o el “euclidienne”. En catalán es “euclidià”, lo que equivale a euclidiano.

Bueno, a medida que escribo voy pensando que quizá sea mi espíritu decimonónico el que me fuerza a respetar tanto el idioma y los dictados académicos, y que después de todo lo que importa es que las cosas se entiendan, y que el idioma también tiene derecho a seguir su curso espontáneo, como el agua de la lluvia sobre el suelo. Es una pena que este blog no tenga un apartado para decir las cosas por una puerta trasera, algo así como apuntes al oído, para evitar que queden expuestas en este tablero.

Perdona nuevamente. Ahora saco a la perra a pasear y luego me fustigo por mi irreverencia.

amarashiki

Yo tengo un trabajo y una charla precisamente sobre este tema (producto vectorial) de tiempos de mi curso de profesorado (me gustan este tipo de cosas avanzadas). Si queremos ser más finos y flexibles con la generalización del producto vectorial, Lounesto dió la respuesta más completa posible. Una generalización del producto vectorial n-aria de dos vectores sólo es posible en los siguientes casos:

1) (n-1) factores o vectores en $latex mathbb{R}^n$, vía grosso modo el determinante. Nótese que si bien coincide en el caso 3d, no es igual en los otros casos por lo general, es un “producto vectorial” diferente.

2) La solución que tú indicas de un producto binario en n=1, 3, 7 ( aunque deberíamos también incluir el caso trivial de producto vectorial 0 en n=0 dimensiones n=0,1,3,7; nótese que es una dimensión menos que las álgebras de división existentes).

3) En $latex mathbb{R}^8$ existe un producto vectorial ternario con 3 factores.

El teorema de Lounesto para productos vectoriales “con valores vectoriales” está en su libro Clifford algebras and spinors (página 98), y dice así:

Sea un producto vectorial con k-factores de vectores en $latex mathbb{R}^n$. Si satisface las condiciones:

A) Ortogonalidad: $latex (a_1times a_2times cdots times a_k)cdot a_i=0$ $latex forall i=1,2,…,k$
B) Regla del determinante de Gram: $latex vert a_1times a_2times cdots times a_kvert^2=det (a_icdot a_j)$ $latex forall i,j$

y donde B) significa que la longitud del producto vectorial con k-factores es igual al volumen del paralelepípedo generado por los k-factores en n-dimensiones, entonces la única solución posible está dada por

i) 3 dimensiones con 2 factores (el caso generalmente conocido por estudiantes de preuniversitario).
ii) 7 dimensiones con 2 factores (el caso que comentas, Francis).
ii) 8 dimensiones con 3 factores (un caso muy chulo de producto vectorial ternario).
iv) n dimensiones con (n-1) factores, esencialmente aplicando la regla del determinante.

De hecho Lounesto menciona en dicho libro esta lista y señala “(…)no hay otros excepto soluciones degeneradas que involucran dimensiones pares donde hay un producto vectorial con un factor(y producto vectorial nulo) y dimensión uno con un producto vectorial de dos factores que se anula también(…)”. La demostración de que un producto vectorial euclídeo es sólo posible en 0,1,3,7 la da Sigaladze en su paper http://arxiv.org/abs/math.RA/0204357 ,aunque se deja el caso n-ario de más de dos factores en un producto vectorial fuera de la demostración.

Es interesante la lista completa y su significado y conexión profunda con diversas áreas de la Física y las matemáticas: esferas paralelizables, álgebras de Clifford, relatividad, electromagnetismo, variable compleja, geometría multisimpléctica, clasificación y existencia de solitones magnéticos en ciertas soluciones duales en teorías YM, el teorema de los 4 colores, y muchas otras conexiones inesperadas de este producto. Me gustaría destacar que si bien el teorema de Lounesto aplica sobre un espacio euclídeo en particular, incluye dada la generalidad de las hipótesis usadas también el caso de un producto vectorial en un espacio pseudoeuclídeo también (ya que sólo modifica algunos signos menos en la tabla básica de multiplicación de los vectores base).

PabloPablo

Y haciendo un poco de numerología barata, resulta cuando menos curioso que las cuerdas sean de dimensión 1, las dimensiones que percibimos sean 3, y las dimensiones ocultas en teoría de cuerdas sean 7… Y la dimensión total es 7+3+1 = 11 !!!

amarashiki

No es numerología barata. De hecho como saben Baez, Huerta, y otros…La existencia del producto vectorial en 0,1,3,7 está asociada a las álgebras de división en 1,2,4, y 8, y ligada por espinores, a la posibilidad de la existencia de una teoría de campos gauge Yang-Mills supersimétrica en 3,4,6 y 10 dimensiones ( dos unidades mayor que podemos pensar asociadas a la eliminación de los grados de polarización espúreos de un null-vector en minkovski spaces en dichas dimensiones de espacio-tiempo). Hay mucha tela…Quizás hable de eso en mi blog algún día…

amarashiki

0,1,3,7—-> 1,2,4,8 Dimensiones de las únicas posibles álgebras de división sobre R,C,H y O respectivamente, Y, secretamente, si sumas dos más (como saben Baez, Huerta, y muchos otros) 3,4,6,10 dimensiones en el espaciotiempo donde está bien definida la teoría de campos de tipo supersimétrico y Yang-Mills que generalmente son muy importantes y relavantes tanto en teorías de supercuerdas y dualidades. La reducción de dos unidades está relacionada con la invariancia gauge de dichas teorías supersimétricas y a la existencia de ciertas identidades entre matrices gamma en esas dimensiones de espacio-tiempo. Numerología profunda, diseño, accidente, significante importancia,…Tales números tienen…

Alejandro Rivero

No es tan secreto… lo que marca el ritmo es la signatura de la metrica, la diferencia entre auto valores positivos y negativos, que es lo que queremos dejar claro cuando distinguimos entre 4+0 y 3+1; asi el primero tiene signatura 4, el segundo tiente signatura 2. Y claro, 9+1, que es cuerdas, tiene signatura 9-1=8. Es mejor pensarlo asi que con cuerdas y teorias gauge sobre branas, aunque al final acabe saliendo lo mismo. De hecho para algunos resultados concretos lo que se mira ni siquiera es la signatura sino la signatura modulo 8, por un asunto que se llama periodicidad de Bott.

amarashiki

Sé lo de la periodicidad de Bott, pero no quería comentarlo por todas las ramificaciones que tiene, también hoy día en especial a la hora de clasificar los aislantes topológicos, por ejemplo. Fíjate que a mi me da de hecho algo de alergia “privilegiar” ciertos objetos extensos como las cuerdas sobre otros. Por eso no quería en principio comentarlo, pero me salió en piloto automático el comentario. Mea culpa.

amarashiki

El tema es que generalmente, salvo excepciones, no suelo bajarme los tex aunque sé que en ocasiones, cuando el autor los sube, tienen cosas ocultas muy interesantes que no se ven en el pdf output. Y sin embargo espero que no hagan cosas raras en el arxiv respecto a eso. Aunque también trae cola. A Sean Carroll le plagiaron de sus notes de general relativity and cosmology notes secciones para tesis doctorales en más de una ocasión, lo ha comentado varias veces de hecho. Supongo que por eso muchos autores actúan con celo a la hora de dejar el código fuente. Se presta al copy-paste demasiado bien…

hicsuntdraconis

Hace unos años traduje a palo seco (del pdf original, creando el .tex por mi parte) un simpático resumen de Sean Carroll sobre la relatividad general. Le escribí para pedirle permiso para colocar los artículos original y traducido (que le envié, claro) en una página web que tenía yo por aquel entonces, y no tuvo inconveniente. De haber sabido que era tan amable le hubiera pedido el .tex y me hubiera ahorrado un montón de trabajo.

Por si a alguien le pudiera interesar, lo dejo por aquí un tiempo:

https://dl.dropbox.com/u/241424/nononsense.pdf

Hay algunos errores, como llamar impulso a lo que más propiamente es la cantidad de movimiento, pero espero que no haya traicionado al original (que he buscado, por cierto, para acompañar al artículo traducido, pero no hubo éxito).

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