La dimensión fractal, el papel arrugado y los poros de una esponja

Por Francisco R. Villatoro, el 20 enero, 2009. Categoría(s): Ciencia • Docencia • Física • Matemáticas • Mathematics • Mecánica • Physics • Science ✎ 1

¿Para qué sirven los fractales? Mandelbrot diría que para modelar «toda» la Naturaleza. En la práctica su utilidad es muy discutible. Estimar la dimensión fractal de un objeto (que será un prefractal) es siempre difícil. Una vez estimada ¿para qué sirve? Si hemos de ser sinceros, normalmente, para poco. Pero, y lo bien que suena ¡he calculado la dimensión fractal! A muchos les gusta. Pongamos algunos ejemplos.

La dimensión fractal de una bola de papel arrugado es fácil de calcular experimentalmente, como nos mostró M.A.F. Gomes, «Fractal geometry in crumpled paper balls,» American Journal of Physics 55: 649-650, 1987 , del que podéis encontrar una versión en español en J. Güémez, «Talleres de Matemáticas 2005-2006. Dimensiones Fractales,» Dpto. Física Aplicada, Universidad de Cantabria, Diciembre 12, 2005 (de la que he extraído la foto).

 dibujo20090120crumpedpaperballs

Se toman dos folios A4 y se recorta una de ellos como se indica en la figura de la derecha. Luego, los rectángulos de papel se arrugan hasta formar bolas (procurando hacerlo siempre de la misma manera) y se mide el diámetro de cada una de ellas. Uno esperaría que el diámetro de la bola D fuera proporcional a la raíz cúbica de su área A, sin embargo, en lugar de 1/3=0.33 se obtiene un valor experimental de 0.40, lo que indica que las bolas tienen dimensión fractal, igual a su inverso, es decir, 2.5. Ni son esferas sólidas (dimensión 3) ni son hojas planas (dimensión 2). «Debido a que las esferas no son homogéneas, son superficies autoevitantes, el diámetro de las bolas arrugadas crece más deprisa de lo que aumentaría si fuesen esferas homogéneas.» El valor experimental de la dimensión fractal se puede estimar fácilmente de forma teórica. Os dejo que lo miréis en los artículos anteriores.

La dimensión fractal de los poros de una esponja de baño también se puede calcular fácil experimentalmente, como nos han mostrado recientemente L.H.F. Silva and M.T. Yamashita, «The dimension of the pore space in sponges,» European Journal of Physics 30: 135-137, 2009 . Por ser un artículo tan reciente no hay versión en español, pero la idea es exactamente la misma que el artículo anterior. Por cierto, los geólogos suelen utilizar este tipo de idea para caracterizar la porosidad de rocas y su permeabilidad (Alexis Mojica, Leomar Acosta, «La porosidad de las rocas y su naturaleza fractal,» Invet. pens. crit. 4: 88-93, 2006 ).

Se recortan muchos cubitos de esponja de lado progresivamente mayor, por ejemplo, desde 1 cm de lado, 2 cm, 3 cm, hasta donde podamos. Pesamos las esponjas con una balanza, luego las sumergimos en agua y las volvemos a pesar. La diferencia de masa entre la esponja seca y la mojada. Dibujando esta diferencia en función del lado en escala doblemente logarítmica se observará que la dimensión fractal de la esponja es D = 2.95, menor que 3, resultado de la existencia de los poros.

dibujo20090120cubesofspongeincreasingside

Este tipo de experimentos son fáciles de realizar y los alumnos de cursos de física estarán encantados de realizarlos (especialmente el primero, si el profesor es capaz de evitar una «batalla de bolas de papel»).



1 Comentario

  1. bena a mi me parece q eso no tiene que ver ni pio con lo que pregunto si no para q lo ponen a apareser en todas la preguntas q uno hace haaaaa¡ asi que no sean ridiculos mi pregunta fue sobre los poros de la esponja ya bobos jajajjajajaja

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