Nueva ecuación para la propagación de ondas en el Mar de Alborán

Por Francisco R. Villatoro, el 15 diciembre, 2009. Categoría(s): Ciencia • Física • Matemáticas • Mathematics • Mecánica • Physics • Science

En el Mar de Alborán, entre la costa andaluza y la norteafricana, las aguas del mar están divididas en capas según la profundidad ya que penetra agua del Atlántico a través del Estrecho de Gibraltar, formando una capa encima del agua, más salada, del Mediterráneo. En el interfaz entre ambas capas se observa un cambio rápido en salinidad (haloclina), en temperatura (termoclina) y en densidad (picnoclina) que permite la formación de ondas (solitones), llamadas ondas de aguas profundas, que son visibles en fotografías espaciales (desde satélites y transbordadores espaciales). En este blog podréis leer también «Solitones en el Estrecho de Gibraltar (o cómo se ven las ondas internas en el Estrecho desde el espacio),» 8 Mayo 2008, y «Demostración en laboratorio para estudiantes de la existencia de ondas solitarias internas en el Estrecho de Gibraltar,» 9 Enero 2009.

Un modelo del Mar de Alborán requiere considerar varias capas simultáneas en profundidad, la topografía del fondo marino y la geometría de la costa. Incluso despreciando estas dos últimas, el modelado matemático de las ondas en este sistema multicapas presenta ciertas dificultades. Las ecuaciones más utilizadas son la versión multicapa de las ecuación de aguas someras (shallow water), pero se han introducido ciertas simplificaciones de las mismas, como las basadas en la ecuación Green-Naghdi (1976) y su extensión multicapa (1999) (Multilayer Green-Naghdi o MGN). Sin embargo, estas últimas tienen problemas de estabilidad y están mal puestas (ill-posed) para ciertas condiciones de contorno. Este es un gran problema desde el punto de vista numérico ya que el método numérico hereda estas inestabilidades y las amplifica, resultando muy difícil obtener soluciones correctas en integraciones durante mucho tiempo. Una nueva ecuación que resuelve estos problemas ha sido introducida en el reciente artículo de Cotter, Holm y Percival, la llamada ecuación de aguas profundas de la raíz cuadrada (Square Root Depth Wave Equation o SRDWE). Los autores le llaman ecuación √D, donde D alude a la profundidad. El artículo técnico es Colin C. Cotter, Darryl D. Holm, James R. Percival, «The Square Root Depth Wave Equations,» ArXiv, 11 Dec 2009.

La nueva ecuación (o sistema de ecuaciones en el caso multicapa) resuelve los problemas de la ecuación MGN y preserva todas sus ventajas. La ecuación puede parecer compleja en el caso multicapa (ver el artículo técnico) así que os mostraré la versión monocapa:

\displaystyle{}\frac{\partial\mathbf{u}}{\partial t}+\mathbf{u}\cdot\nabla\mathbf{u}=-g\nabla\left(D-b\right)-\frac{d^{2}}{6}\nabla\left(\frac{1}{\sqrt{D}}\frac{\partial^{2}\sqrt{D}}{\partial t^{2}}\right).

 

\displaystyle{}\frac{\partial D}{\partial t}+\nabla\cdot D\mathbf{u}=0,

 

donde \mathbf{u} y D son el campo de velocidad en la capa y la profundidad. Esta ecuación tiene estructura hamiltoniana y es linealmente estable (como demuestra el análisis de dispersión presentado en el artículo). Desafortunadamente, aunque era de esperar, la expresión analítica exacta de sus ondas solitarias no se ha obtenido aún y parece difícil que logre obtenerse (aunque numéricamente es fácil de obtener). A los que como yo estamos interesados en los métodos numéricos aplicados a la propagación de ondas no lineales en problemas fluidodinámicos nos parece una contribución muy interesante. Una ecuación más para analizar numéricamente. Otra más de Darryl D. Holm. A los demás, no sé, …



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