Lo confieso, antes de escribir mi entrada sobre el zitterbewegung, no recordaba haber leído nunca la palabra «zitterbewegung,» ni recordaba que nunca me mencionaran este efecto físico cuando estudié mecánica cuántica relativista, años há. Consultando el libro de Francisco J. Yndurain (1940-2008) «Mecánica cuántica relativista,» Alianza Universidad Textos, 1990 [in memoriam de Alberto Galindo], que estudié en detalle en 1992, aparece el zitterbewegung en el problema P.7.2. Yo creía que había realizado (o al menos intentado realizar) casi todos los problemas de este libro, debe ser éste uno de los que no realicé. Yndurain nos remite al libro de Bjorken y Drell (1964), famosísimo libro de mecánica cuántica relativista que no tengo el honor de haber estudiado. Ahora al ojearlo observo que presenta el zitterbewegung de manera muy similar a W. Greiner, «Relativistic Quantum Mechanics,» Springer-Verlag, 1990 (pp. 86-93). Yo tengo 7 de los libros del curso de física teórica de Greiner, pero nunca los he estudiado en detalle, los compré cuando ya me dedicaba a otros temas y los utilizo como libros de referencia que consulto de vez en cuando, quizás menos de lo que debería. Lo que cuenta Greiner parece suficiente para esta entrada (aunque quizás haya que buscar más a fondo).

Sin entrar en detalles matemáticos, la ecuación cuántica relativista para la función de onda de un electrón fue introducida por P.A.M. Dirac en 1928. Esta ecuación es lineal, como la ecuación cuántica de Schrödinger para una partícula no relativista. La invarianza Lorentz de la función de onda descrita por dicha ecuación requiere que la función de onda sea un «vector» con 4 componentes, que se denomina espinor (tetraespinor). Por ello, la ecuación de Dirac son 4 ecuaciones en derivadas parciales acopladas y sus coeficientes son matrices constantes de 4×4 (llamadas matrices de Dirac). Una transformación de Lorentz aplicada a la función de onda equivale a hacer un cambio de base en dichas matrices. La forma más simple de dichas matrices, introducida por el propio Dirac, las representa utilizando matrices de Pauli, matrices 2×2 que Pauli usó para describir el espín del electrón, es decir, como matrices  de 2×2 a bloques de 2×2. De esta forma se escribe la ecuación de Dirac como un sistema de 2 ecuaciones acopladas para 2 funciones de onda con 2 componentes (llamadas biespinores).

Fijado la masa en reposo (m) y el momento (p, masa por velocidad) del electrón, la ecuación de Dirac tiene dos soluciones, una con energía positiva y otra con energía negativa, ya que se cumple la ecuación relativista de la energía E² = (m c²)² + c²p². La ecuación de Dirac no se puede interpretar como la ecuación de la función de onda de una única partícula, como sí puede hacerse con la ecuación de Schrödinger, ya que si la energía (E) es suficientemente grande se producen pares electrón-positón (el positón es la antipartícula del electrón) y deja de haber una única partícula. Por ello, para estudiar los electrones a alta energía se utiliza la teoría cuántica de campos, la así llamada segunda cuantización, que considera que la función de onda solución de la ecuación de Dirac representa un conjunto de una o muchas partículas, describe un campo cuántico. En dicha teoría las soluciones de energía negativa para el electrón se interpretan como soluciones de energía positiva para el positón gracias a la operación de conjugación de carga y todo funciona a las mil maravillas.

El zitterbewegung es un efecto que se observa si insistimos en interpretar la ecuación de Dirac como una ecuación para la función de onda de una sola partícula. En dicho caso no podemos descartar las soluciones con energía negativa como si no existieran y utilizar sólo las soluciones con energía positiva. Hay que tener en cuenta ambos tipos de soluciones. Si definimos un operador de posición de un electrón como se hace en mecánica cuántica no relativista, el operador que corresponde para la velocidad (derivada con el tiempo de la posición) conduce a un resultado paradójico. Es un operador cuyos únicos autovalores son ±c (el signo depende del signo de la energía de la solución que escojamos), es decir, la velocidad del electrón sería siempre igual a la velocidad de la luz, aunque sabemos que una partícula masiva no puede alcanzar nunca dicha velocidad. Sería como si el electrón tuviera masa en reposo nula. Obviamente, una contradicción, un sinsentido físico. Para definir correctamente un operador velocidad del electrón debemos tener en cuenta ambas componentes de la función de onda, tanto las de energía positiva como negativa. No sólo el operador velocidad, cualquier otro operador físico correcto (o consistente) tiene que tener en cuenta ambas componentes. La manera estándar de hacerlo es simetrizando dicho operador. El operador, como una matriz,  se descompone en una suma de una parte simétrica y una parte antisimétrica y se elige la parte simétrica como la que representa de forma correcta la física. Dicha componente simétrica del operador equivale a aplicar el operador a cierta combinación lineal de las componentes de energía positiva y negativa, por ello se dice que dichas componentes interfieren entre sí incluso para un electrón interpretado como partícula libre.

La expresión correcta para el operador velocidad de un electrón (la parte simétrica de la derivada respecto al tiempo del operador posición) tiene los autovalores correctos ±c²p/E. El signo depende del signo de la energía de la solución que se tome. Para la función de onda con energía positiva este es el resultado que todo el mundo esperaría para que la mecánica relativista clásica se obtenga como límite de la versión cuántica. Sin embargo, para la función de onda con energía negativa obtenemos un resultado extraño (paradójico), la velocidad tiene el signo opuesto al momento, como si esta función describiera una partícula con masa negativa. ¿Podemos descartar las soluciones negativas por ser no físicas y quitárnoslas de un plumazo? No, no podemos. En mecánica cuántica no relativista una partícula libre se representa por un paquete de ondas y la posición (trayectoria) clásica de dicha partícula corresponde a la trayectoria del valor esperado para el operador de posición cuántico. Si hacemos lo mismo con el electrón en mecánica cuántica relativista se obtiene que las soluciones con energía negativa influyen en el valor esperado para el operador de posición cuántico, añadiendo un término oscilatorio (de muy alta frecuencia) que se interpreta como resultado de la interferencia entre las funciones de onda con energía positiva y las que la tienen negativa. Este movimiento zigzagueante o tembloroso de la partícula libre alrededor de la posición media esperada es el zitterbewegung descubierto por Schrödinger en 1930 al estudiar la ecuación de Dirac.

¿Se puede observar experimentalmente el zitterbewegung del electrón? No, porque la amplitud máxima de la oscilación de la posición de la partícula libre es menor que la mitad de la longitud de onda de Compton (h/(m c))  de dicha partícula (en concreto, es h/(2 p c) < h/(2 m c)). Distancias cortas es equivalente a momentos grandes, debido al principio de incertidumbre, y momentos grandes a energías grandes. Para distancias menores que la longitud de onda de Compton, la energía supera la necesaria para generar un par electrón-positón. Por tanto, a distancias tan cortas no tiene ningún sentido interpretar la ecuación de Dirac como una ecuación para la función de onda de una sola partícula. Hay que utilizar la teoría de campos. Por ello, el zitterbewegung del electrón es un fenómeno no observable experimentalmente. Un fenómeno que nos indica que, aunque un electrón sea una partícula puntual, no puede ser localizada en una región del espacio cuyo diámetro sea menor que la longitud de onda de Compton.

Espero que esta explicación divulgativa de este interesante fenómeno satisfaga la curiosidad de los lectores de este blog. Sin utilizar fórmulas matemáticas es muy difícil describir estos fenómenos.

Buceando en Google he encontrado que el zitterbewegung se menciona en el segundo libro de Albert Messiah, «Mecánica cuántica,» Ed. Tecnos, 1965. Sin embargo, yo sólo pude comprar hace años el primer Tomo I, que estudié en detalle, y todavía no he comprado el Tomo II. Algún día,… Recurriendo al American Journal of Physics aparecen 7 artículos sobre este efecto físico. El más antiguo es muy interesante: Kerson Huang, «On the Zitterbewegung of the Dirac Electron,» American Journal of Physics 20: 479-484, November 1952. Basta leer en el resumen «The intrinsic spin of the electron may be looked upon as the «orbital angular momentum» of the circular motion about the direction of the electron spin described by the well-known zitterbewegung. The current produced by this effect is seen to give rise to the intrinsic magnetic moment of the electron«. La propuesta de Huang es estudiar el operador del momento cinético (o angular) del electrón teniendo en cuenta el efecto a zitterbewegung. Dicha oscilación se interpreta entonces como un movimiento circular alrededor de la dirección del espín del electrón con un radio igual a la mitad de la longitud de onda de Compton. Huang interpreta dicho movimiento de forma «clásica» como el origen del «espín» del electrón. Más aún, cuando se calcula la corriente eléctrica producida por dicho movimiento circular resulta un momento magnético cuyo valor coincide con el momento magnético intrínseco del electrón. Un trabajo realmente curioso que ofrece una imagen «clásica» de estas propiedades cuánticas relativistas del electrón. Sin embargo, dicha interpretación tiene algunos problemas, como discute bien B. G. Sidharth, «Revisiting Zitterbewegung,» International Journal of Theoretical Physics 48: 497-506, febrero de 2009.

Los físicos con acceso al American Journal of Physics seguramente disfrutarán del artículo de Michael G. Fuda, Edward Furlani, «Zitterbewegung and the Klein paradox for spin-zero particles,» American Journal of Physics 50: 545-549, June 1982, que estudia el zitterbewegung para partículas escalares (como los piones) modeladas por la ecuación de Klein-Gordon (que también tiene soluciones con energía positiva y negativa que pueden interferir entre sí). También es curioso el artículo de James A. Lock, «Relativistic invariance and Zitterbewegung,» American Journal of Physics 52: 223-227, March 1984, que nos explica este fenómeno como causado por el hecho de que ante una transformación de Lorentz, el operador de posición de la partícula y las coordenadas espaciales no se transforman de la misma manera, aunque en mecánica cuántica no relativista el operador de posición de la partícula y las coordenadas espaciales sí se transforman de la misma manera ante una transformación de Galileo.

PS (10 ene. 2009): Me he encontrado con un libro curioso del español Martín Rivas Pérez de la Universidad del País Vasco, que explota ideas similares a las de Kerson Huang hasta su extremo, interpretando el espín de las partículas elementales utilizando modelos cuasiclásicos. El libro es «Kinematical Theory of Spinning Particles Classical and Quantum Mechanical Formalism of Elementary Particles,» Kluwer, 2002. Aunque el libro no sigue las ideas del mainstream de la física teórica contemporánea, lo he estado ojeando y me ha resultado muy curioso. Sobre todo porque ya le dediqué una breve entrada en este blog «A vueltas con el espín del electrón y los modelos de bolas de Martín Rivas,» 1 Febrero 2009. Un libro que menciona el zitterbewegung por doquier. ¡Qué mala memoria tengo!