X Carnaval de Matemáticas: Un matemático español y los polinomios ortogonales excepcionales

Por Francisco R. Villatoro, el 17 enero, 2011. Categoría(s): Ciencia • Matemáticas • Mathematics • Noticias • Science ✎ 6

Te recuerdo que organizo la X Edición del Carnaval de Matemáticas. Te animo a contribuir con tu granito de arena (no hace falta tener un blog, puedes darte de alta en la web del Carnaval de Matemáticas y publicar tu entrada allí). Por supuesto, si tienes un blog lo más fácil es publicar la entrada en tu propio blog. El formato de la entrada es libre: desde un elaborado artículo científico a una simple imagen, pasando por el comentario de una película, un podcast o un vídeo. La única condición es que trate sobre las matemáticas en cualquiera de sus aspectos.

Mi primera contribución al carnaval está relacionada con la entrada de Sergio Pérez Acebrón, “¿En qué ha cambiado tu opinión este año gracias a la ciencia?,” Amazings.es, 30 Dic. 2010. Yo he cambiado de opinión muchas veces este año gracias a la ciencia, pero seleccioné para Amazings.es una de ellas, relacionada con la física. Para esta entrada voy a seleccionar un cambio de opinión relacionado con las matemáticas.

Yo pensaba que la teoría de polinomios ortogonales estaba muerta y que no había nuevas ideas felices en este campo hasta que descubrí en 2010 el trabajo de David Gómez-Ullate, de la Universidad Complutense de Madrid, y sus colegas (el trabajo original es de 2008). La idea de los polinomios ortogonales excepcionales es tan simple, que cuando uno la lee se pregunta ¿cómo no se me ocurrió a mí? Pero así son las sorpresas en matemáticas. En 2010 yo cambié de idea respecto a los polinomios ortogonales y la teoría de Sturm-Liouville al descubrir que están tan vivas como si se acabaran de descubrir.

Los polinomios ortogonales y sus propiedades aparecen en gran número de problemas aplicaciones en física, en química y en matemáticas. La teoría tuvo sus inicios a principios del s. XIX con los trabajos de Legendre y Laplace en mecánica celeste, y con la teoría de Sturm y Liouville en los 1830, alcanzando toda su generalidad gracias a Chebyshev en los 1850. El teorema de Bochner (1929) clasificó todas las familias de polinomios ortogonales que eran solución de un problema de Sturm-Liouville. Durante el resto del s. XX poco más quedaba por hacer, más allá de estudiar su evaluación numérica y estudiar generalizaciones más exóticas. Pero el s. XXI nos ha traído una gran sorpresa de la mano del matemático español David Gómez-Ullate y sus colegas. Una generalización trivial de una familia de polinomios ortogonales cuyo primer polinomio es una constante es considerar que el primer polinomio tenga un grado mayor de cero. ¿Una idea trivial? Quizás, pero han sido necesarios 80 años para que se le ocurriera a alguien. Los polinomios ortogonales excepcionales son un tema muy candente y van a dar mucho que hablar en los próximos años por su gran número de aplicaciones en química teórica, en física teórica y en la matemática de los sistemas integrables. Por ello, el artículo que presentó esta idea es uno de los más citados en matemáticas durante el año 2010. Al segundo coautor le entrevistan en “Niky Kamran Discusses Orthogonal Polynomials,” New Hot Paper Commentary, November 2010. Para los interesados en los artículos técnicos: David Gomez-Ullate, Niky Kamran, Robert Milson, “Exceptional orthogonal polynomials and the Darboux transformation,” J. Phys. A 43: 434016, 2010 [ArXiv, 13 Feb 2010], y David Gomez-Ullate, Niky Kamran, Robert Milson, “An extended class of orthogonal polynomials defined by a Sturm-Liouville problem,” J. Math. Anal. Appl. 359: 352-367, 2009 [ArXiv, 24 Jul 2008].

El teorema de Bochner (1929) afirma que si una sucesión infinita de polinomios \{P_n(z)\}_{n=0}^\infty es solución del problema de autovalores de segundo orden

\displaystyle{}p(x)P_n''(x) + q(x) P_n'(x) + r(x) P_n(x)=\lambda_n P_n(x),\qquad n=0,1,2,\dots

 

entonces p(x), q(x) y r(x) deben ser polinomios de grados 2, 1 y 0, respectivamente. Más aún, si la sucesión \{P_n(x)\}_{n=0}^\infty es un sistema de polinomio ortogonales, entonces tiene que ser (salvo por una transformación afín en z) uno de los sistemas clásicos de polinomios ortogonales, es decir, los de Jacobi, Laguerre o Hermite. Gómez-Ullate et al. han demostrado que existen sistemas de polinomios ortogonales, definidos por problemas de Sturm-Liouville, más allá de estas familias clásicas si se permite que el primer polinomio de la suceción tenga un grado mayor de cero, es decir, familias de polinomios ortogonales con la forma \{P_n(z)\}_{n=m}^\infty, donde m\geq 1. Esta clase de polinomios siempre se puede extender hasta el grado cero, pero los primeros polinomios \{P_n(z)\}_{n=0}^{m-1} no son de cuadrado integrable y por tanto son solo soluciones formales a la ecuación diferencial.

Pongamos un ejemplo de familia de polinomios excepcionales, los polinomios de Laguerre X_1, denotados por \hat{L}^{(k)}_n(x), n=0,1,2,\ldots, cuyos primeros miembros son

\displaystyle{}\hat{L}^{(k)}_1(x) = -x-(1+k), \qquad \hat{L}^{(k)}_2(x) = x^2-k(k+2),

 

\displaystyle{}\hat{L}^{(k)}_3(x) = -\frac{1}{2} x^3 + \frac{k+3}{2} x^2 + \frac{k(k+3)}{2} x - \frac{k}{2} (3 + 4 k + k^2).

 

para \mathcal{R}\ni k>0. Estos polinomios son ortogonales respecto a un producto interior cuya función peso es

\displaystyle{}W_k(x) dx = \frac{\displaystyle e^{-x} x^k}{\displaystyle (x+k)^2}\,dx,

 

por lo que estos polinomios son ortogonales respecto al productor interior dado por

\displaystyle{}\langle f, g\rangle_k := \int^\infty_{0} f(x) g(x)\,W_k(x) dx.

 

Como se puede observar, la sucesión de polinomios de Laguerre X_1 empieza con un polinomio de grado 1. Otra familia de polinomios ortogonales excepcionales es la familia de polinomios de Jacobi X_1 (remito para su definición exacta a los artículos técnicos).

Gómez-Ullate et al. demuestran en su artículo que la sucesión \{P_n\}_{n=m}^\infty, con m\geq 1, corresponde a las autofunciones que son solución de ecuaciones diferenciales de la forma

\displaystyle{}p(x)P_n''(x) + q(x) P_n'(x) + r(x) P_n(x)=\lambda_n P_n(x),\qquad n=0,1,2,\dots

 

donde p,q y r son polinomios de grados m+2, m+1 y m, respectivamente.

Más aún, han demostrado que todos los polinomios ortogonales excepcionales con m=1 son o polinomios de Laguerre X_1 o polinomios de Jacobi X_1. La caracterización completa de los polinomios ortogonales excepcionales para m>1, hasta donde yo sé, sigue siendo un problema abierto.

Aunque esta generalización de los polinomios ortogonales parece muy sencilla, tan sencilla, las aplicaciones de los polinomios ortogonales excepcionales están empezando a surgir en muchísimos campos, como los sistemas cuánticos integrables, que se pueden resolver de forma exacta. Sin lugar a dudas, estas nuevas familias de polinomios ortogonales tendrán una larga y próspera vida durante el s. XXI. ¿Qué más ideas felices nos deparará este siglo?



6 Comentarios

    1. Tito, habrá que dedicarle una entrada a los polinomios matriciales ortogonales y con ellos a las contribuciones de Durán. Me apunto la tarea.

  1. Hola Francis,

    Soy lector de tu blog desde hace tiempo y te agradezco (sorprendido) que te hagas eco de este resultado. Sin embargo, hay algunas correcciones que hacer en tu artículo, que seguramente leera muchísima más gente que el original.
    Sin entrar en muchos tecnicismos, sólo quería precisar que la familia de polinomios que das como ejemplo no son excepcionales. De hecho, esta particularidad para polinomios de Laguerre con valores de $alpha$ enteros negativos ya se conocía desde hace tiempo (W.N. Everitt, L.L. Littlejohn, R. Wellman, J. Comput. Appl. Math. 171 (2004) 199–234.). La razón por la cual no son excepcionales es que para ese peso no todos los momentos de la distribución están bien definidos.
    Los polinomios de Laguerre excepcionales de co-dimension uno se pueden escribir como combinación lineal de tres polinomios de Laguerre, o bien a través de una transformación de Darboux aplicada sobre los polinomios de Laguerre.
    Soy consciente de que debe de ser muy dificil escribir de manera divulgativa sobre temas tán áridos, y te agradezco de nuevo el esfuerzo. Te ruego que hagas alguna pequeña edición al artículo para que nadie se lleve una idea equivocada.

    Felicidades por el blog !
    David Gómez-Ullate

    1. Gracias, David, realizaré algunos cambios en la entrada; ya nos dices qué te parecen.

      Para que se entienda tu comentario pongo el ejemplo que había en la versión previa de esta entrada aquí:

      “Pongamos un ejemplo, la familia de polinomios de Laguerre excepcionales $latex P_n(x) =L^{-1}_n(x)$, $latex n=0,1,2,ldots$, cuyos miembros son

      $latex P_0(x) = 1, qquad P_1(x) = frac{1}{2} x(x-2), qquad P_2(x) =-frac{1}{6} x(x^2-6x+6),ldots ,$

      $latex P_n(x) = -frac{1}{n} x L^{(1)}_{n-1}(x),quad ngeq 1.$

      Estos polinomios son ortogonales respecto a un producto interior cuya función peso es $latex W(x) dx = (1/x) e^{-x} dx$, lo que implica que $latex P_0(x)$ no es una función de cuadrado integrable. Pero los polinomios $latex P_1, P_2, P_3,ldots$ sí son autofunciones del problema de Sturm-Liouville correspondiente, y por tanto está familia de polinomios ortogonales excepcionales es completa en el espacio $latex L^2(W(x) dx,(0,infty))$.”

  2. Muchas gracias por hacer los cambios en el artículo.
    Aprovecho para comentar algunas cosas que comentas con las que no estoy del todo
    de acuerdo.

    Yo la verdad es que no soy ningún experto en el campo y llevo poco tiempo trabajando en él pero no diría que la teoría de polinomios ortogonales está muerta ó que en el s.XX poco más quedaba por hacer . Aparte de que más de uno se podría ofender, en realidad no creo que sea así.
    Todas las contribuciones de Gabor Szego, hoy consideradas clásicas, son del
    s.XX. Pero desde entonces ha habido muchos desarrollos en la teoría de
    polinomios ortogonales en relación con campos diferentes, entre los que se
    encuentran la teoría de la aproximación, problemas espectrales, problemas de
    Riemann-Hilbert, teoría de matrices aleatorias, sistemas integrables, teoría del potencial, teoría de números, etc.

    Existe una activa comunidad matemática que trabaja en polinomios ortogonales y
    temas relacionados, una revista dedicada casi exclusivamente al campo, una serie de conferencias bienales .
    Se trata además de un campo de investigación donde estamos especialmente bien representados, con una contribución muy importante de grupos españoles como los
    de Marcellán y López-Lagomasino (UC3M), Durán (U. Sevilla),
    Sanchez-Dehesa (U. Granada), Martínez-Finkelshtein (U. Almería), ó Cantero,
    Moral y Velázquez (U. Zaragoza).

    Es cierto que los polinomios ortogonales que aparecen con más frecuencia en las aplicaciones son los polinomios clásicos que se encuentran en todos los libros de texto. Uno puede tener la impresión de que el tema está más que cerrado, pero se sorprendería de ver la inmensa actividad que se desarrolla en polinomios ortogonales, entre los que los polinomios clásicos son sólo una pequeña muestra.

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