La gravedad cuántica no relativista de Horava es renormalizable

Dibujo20151209 representative spacetimes in horava gravity

En 2009 el físico Petr Hořava introdujo una gravedad cuántica no relativista en 4D y conjeturó que era renormalizable. El joven físico español Mario Herrero-Valea (IFT UAM/CSIC) y cuatro colegas publica hoy una demostración para la versión proyectable de la teoría en dimensión arbitraria. Su método no permite probar la renormalizabilidad en el caso no proyectable. Un trabajo muy interesante que nos recuerda que la gravedad de Hořava–Lifshitz sigue viva y coleando.

El artículo es Andrei O. Barvinsky, Diego Blas, Mario Herrero-Valea et al., “Renormalization of Horava Gravity,” arXiv:1512.02250 [hep-th]. Más información sobre la gravedad de Hořava–Lifshitz en “Nueva moda entre los físicos teóricos: la teoría cuántica renormalizable para la gravedad de Petr Hořava,” LCMF, 23 Jun 2009; “El primer año de vida de la teoría de la gravedad de Horava-Lifshitz,” LCMF, 29 Nov 2009; “Hacia una versión consistente de la teoría de la gravedad de Horava-Lifshitz,” LCMF, 18 May 2010.

Dibujo20151209 other representative spacetimes in horava gravity

Hace tiempo que no hablo de la teoría de Hořava en este blog, así que recordaré sus características más relevantes. Petr Horava, “Quantum Gravity at a Lifshitz Point,” Phys. Rev. D 79: 084008, 2009, doi: 10.1103/PhysRevD.79.084008, arXiv:0901.3775 [hep-th], propuso una teoría de la gravedad no relativista (que viola la simetría Lorentz a alta energía) con un escalado anisótropo en espacio y en tiempo para lograr que fuera renormalizable de forma naïve, mediante el método de contar potencias.

En la teoría de la relatividad la relación entre la energía y el momento lineal está dada por E2=(pc)2+(mc2)2, es decir, E∝p. Recuerda que para p=0 se tiene E=mc2 y para m=0 se tiene E=pc. En el límite no relativista se tiene E=p2/(2m), es decir, E∝p2. La idea de Horava es que E∝p3 en la escala de Planck (límite ultravioleta), donde el exponente z=3 se reduce a z=1 a escalas grandes (límite infrarrojo) para recuperar la teoría de la gravedad de Einstein.

¿Por qué z=3? Una teoría cuántica de campos para un campo escalar ψ en el espaciotiempo (t,x) con lagrangiano ∫dtdx3(∂tψ)2 es renormalizable por el método de contar potencias bajo el escalado (invariante Lorentz) dado por t’→bt, x’→bx, ψ’→bsψ, cuando 1+3-2+2s=0, es decir, s=−1 (en dicho caso ψ’→ψ/b igual que E’→E/b). El término potencial de autointeracción del campo en el lagrangiano ∫dtdx3(ψ)n será ∝E−(1+3+ns); la renormalizabilidad requiere que el exponente sea negativo, luego debe ser n≤4; la gravedad de Einstein es una teoría fuertemente no lineal con potencias a todos los órdenes (incluyendo n>4), luego no es una teoría renormalizable.

La propuesta de Horava es usar un escalado (no relativista) anisótropo t’→bzt, x’→bx, ψ’→bsψ, de tal forma que el término ∫dtdx3(∂tψ)2 sea renormalizable para z+3−2z+2s=0, es decir, cuando s=−(3−z)/2; Horava toma z=3 y s=0, luego ψ’→ψ, que difiere de E’→E/b3. El término potencial del lagrangiano ∫dtdx3(ψ)n será ∝E−(z+3+ns)/z=E−2, cuyo exponente es negativo independientemente de n; luego toda interacción es renormalizable (con este argumento naïve). Por tanto, una teoría de la gravedad invariante ante el escalado anisótropo de Horava será renormalizable (esto es una conjetura, pues este argumento naïve no es una demostración).

Dibujo20151209 another representative spacetimes in horava gravity

La teoría de Horava no es relativista, pero es renormalizable (conjetura de 2009 que ha sido demostrada ahora por el trabajo de Barvinsky et al.). La idea de Horava es construir una teoría de la gravedad tal que, aplicando el flujo del grupo de renormalización, evolucione de z=3 en el límite ultravioleta (alta energía) a z=1 en el límite infrarrojo (baja energía). Y que además, dicha teoría para z=1 sea la teoría de la gravedad de Einstein.

¿Es un grave problema que la teoría de Horava no sea relativista en la escala de Planck? La opinión de los físicos teóricos está dividida. Hay quienes opinan que no hay ningún problema (pues la escala de Planck está muy alejada de las escalas que podemos explorar). Por el contrario, muchos otros opinan que mientras no haya indicios de la violación de la invariancia Lorentz a la escala de Planck debemos mantenerla a toda costa (como se hace en la teoría de cuerdas/teoría M). Como nos recuerda Nicolás Yunes, “Einstein ¿sigue teniendo razón?” Revista Española de Física 29-4: 9-13 (Oct-Dic 2015), arXiv:1510.03845 [gr-qc], no hay ningún indicio gravitacional que apunte a violaciones de la simetría de Lorentz.

¿Tiene algún problema grave la teoría de Horava? Su mayor problema es que el límite infrarrojo con z=1 no conduce a la teoría de la gravedad de Einstein, aunque conduce a una teoría parecida, llamada gravedad cronométrica (D. Blas, O. Pujolas, S. Sibiryakov, “A healthy extension of Horava gravity,” Phys. Rev. Lett. 104: 181302, 2010, doi: 10.1103/PhysRevLett.104.181302, arXiv:0909.3525 [hep-th]). Ambas teorías coinciden hasta donde llegan los experimentos y las observaciones cosmológicas actuales. Sin embargo, hay importantes diferencias conceptuales.

Dibujo20151209 a representative spacetimes in horava gravity

No quiero entrar en más detalles, pues no quiero olvidarme del nuevo artículo de Mario Herrero-Valea y sus colegas. En la teoría de Horava la métrica del espaciotiempo en (d+1) dimensiones se fija usando la descomposición de Arnowitt–Deser–Misner (ADM) dada por ds2=N2dt2−γij(dxi+Nidt)(dxj+Njdt), con i,j=1,…,d. El llamado lapso N es una función del espaciotiempo en la gravedad de Horava no proyectable, N(x,t), y una función sólo del tiempo en la gravedad de Horava proyectable, N(t). El nuevo artículo demuestra que en este último caso la teoría es renormalizable. Por cierto, Ni(x,t) se denomina desplazamiento y γij(x,t) es el tensor métrico en el espacio 3D. La relatividad general es invariante ante difeomorfismos generales, es decir, cambios de sistema de coordenadas del tipo t→t'(t,x) y x→x'(t,x). La teoría de Horava solo es invariante ante los que preservan el espaciotiempo ADM, es decir, del tipo t→t'(t) y x→x'(t,x).

La demostración de la renormalizabilidad se presenta en (2+1) dimensiones y luego se extiende a (3+1) dimensiones; la extensión a cualquier dimensión parece directa. El potencial más general en el lagrangiano de la teoría de Horava proyectable tiene 11 parámetros de acoplamiento (uno de ellos es la constante cosmológica). El método de demostración consiste en descubrir un gauge adecuado de tal forma que los contratérminos cuánticos que hay que introducir durante la renormalización toman la misma forma que alguno de los términos del potencial en el lagrangiano. Gracias a ello, el efecto de los contratérminos se puede asimilar como un cambio en alguno de los 11 parámetros de acoplamiento y la teoría es renormalizable.

En resumen, un gran trabajo que vuelve a poner en el candelero a la teoría de la gravedad de Horava–Lifshitz. Sin lugar a dudas será un trabajo bastante citado, tanto por quienes critiquen la fenomenología de dicha teoría, como por quienes estudien en detalle la posible renormalizabilidad de la versión no proyectable de la teoría.

Por cierto, las figuras que ilustran el texto están extraídas de Christian Anderson et al., “Quantizing Horava-Lifshitz Gravity via Causal Dynamical Triangulations,” Phys. Rev. D 85: 044027 (2012), doi: 10.1103/PhysRevD.85.044027, arXiv:1111.6634 [hep-th]. Uno de los grandes atractivos de la teoría de Horava es su relación con la teoría de las triangulaciones dinámicas causales, una propuesta para la naturaleza cuántica del espaciotiempo que resulta muy atractiva a muchos físicos.

5 comentarios

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Fooly_Cooly Fooly_Cooly

Hola Francis,

Gracias por la propaganda. Sólo dos apuntes:

– No quiero que se exagere mi contribución a un paper con cinco autores. Me suena muy raro lo de Herrero-Valea et. al. …

– No hemos dado un argumento en contra de la renormalizabilidad del caso no proyectable. Lo que decimos es que el gauge fixing que hemos introducido no elimina del todo los términos problemáticos en el caso de tener un lapse dinámico. Esto es debido a que aún fijando los diffeos espaciales, la teoría todavía tiene una invariancia bajo reparametrizaciones del tiempo que necesita ser fijada de alguna forma, probablemente no local y yendo más allá de Faddeev-Poppov. De hecho, si me preguntas mi opinión personal, estoy convencido de que el caso no proyectable también es renormalizable, pero nuestro trabajo no es suficiente para probarlo, requiere ir más allá.

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