La solución a un meme matemático con trampa

Por Francisco R. Villatoro, el 26 agosto, 2019. Categoría(s): Ciencia • Matemáticas • Mathematics • Science ✎ 4

Muchos problemas matemáticos se transforman en memes en las redes sociales. Resolver estos memes es un reto que atrae a mucha gente. En ocasiones un matemático obtiene la solución tras minutos de trabajo, pero en otras necesita varias horas. Por supuesto, muchos memes ocultan trampas que hacen que la solución sea muy difícil; pero pocos rayan lo imposible. Si te gustan estos retos, puedes intentar resolver el que aparece en la figura. Tienes que obtener la solución de la  ecuación diofántica a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b) = 4, para a, b, c ∈ ℕ, números enteros positivos. Quizás te ayude saber que esta ecuación tiene infinitas soluciones positivas, pues siendo homogénea, si (a,b,c) es una solución, también lo es (t a, t b, t c), con t ∈ ℕ. 

¿Has logrado resolver esta ecuación? Enhorabuena. La solución requiere saber mucho de teoría de números. Obtener soluciones enteras (como a=4, b=−1, c=11) es fácil, pero las soluciones enteras positivas requieren conocer la teoría de curvas elípticas. Y, por cierto, una búsqueda sistemática mediante ordenador no te servirá de nada. Como comprobarás más abajo, absolutamente de nada. 

Quienes conocen la teoría de números saben que las soluciones racionales de las ecuaciones diofánticas polinómicas pueden ser muy difíciles de obtener, según su grado. Una ecuación diofántica en dos variables f(x,y)=0 es un polinomio con coeficientes racionales de grado d, es decir, una suma de términos apq xyq que cumplen que 0 ≤ p+q ≤ d. ¿Qué sabemos sobre la existencia de soluciones? Para d ≤ 2, hay un algoritmo que permite decidir si existe alguna solución racional en un número finito de pasos. Para d ≥ 3, hay un algoritmo que permite decidir si existe alguna solución racional, pero aún sigue siendo un conjetura que siempre requiera un número finito de pasos. ¿Qué sabemos sobre la cantidad de soluciones? Para d ≤ 2 hay infinitas soluciones racionales. Para d = 3 o bien hay un número finito, o bien hay un número infinito de soluciones racionales. Para d ≥ 4, solo puede haber un número finito de soluciones racionales.

La ecuación diofántica de este meme matemático es de grado 3, pues basta tomar denominadores comunes para obtener a(a+b)(a+c) + b(b+a)(b+c) + c(c+a)(c+b) = 4(a+b)(a+c)(b+c). Siendo cúbica es una curva elíptica que se puede escribir en forma de Weierstrass. En  concreto, como y² = x³ + 109 x² + 224 x, donde x = −28(a+b+2c)/(6a+6b−c), e y = 364(a−b)/(6a+6b−c); la figura muestra esta curva elíptica (en horizontal el eje x y en vertical el eje y). La transformación inversa es a = (56−x+y)/(56−14x), b = (56−x−y)/(56−14x), y c = −(28+6x)/(28−7x). Por cierto, para obtener esta forma de Weierstrass de la curva elíptica hay que aplicar un algoritmo sistemático, siendo lo mejor recurrir a un software matemático para curvas elípticas.

La teoría de curvas elípticas nos dice que dadas dos soluciones (racionales) P y Q se puede construir una tercera solución (racional) R = P+Q por el método de la secante y la cuerda. La intersección entre la recta secante P+t(Q−P) con la curva elíptica, que requiere calcular las raíces de un polinomio cúbico en t, nos da la solución R, tal que P+Q+R=0. Por ello se suele escribir dicho punto como R = −(P+Q); su reflexión respecto a y=0 nos ofrece el punto −R = P+Q. Esta operación se llama suma y se suele escribir el resultado como P+Q (a veces como P⊕Q).

Cuando solo se conoce una única solución P, se puede aplicar el método de la tangente y la cuerda. Se define la recta tangente P+t f ‘(P), donde f ‘(P) es el vector tangente a la función f(x,y) en el punto P. Su intersección con la curva elíptica y reflexión posterior nos ofrece una nueva solución llamada P+P (a veces escrita como 2P). Repitiendo este proceso se puede obtener una tercera P+2P=3P, una cuarta 4P, etc. El número de soluciones racionales será finito si esta secuencia es periódica, es decir, si existe un m tal que P=mP; en caso contrario el número de soluciones racionales es infinito (por supuesto, para una ecuación diofántica homogénea ya se sabe que será infinito).

La solución (a, b, c) = (4, −1, 11) corresponde al punto P = (x, y) = (−100, 260), que conduce a la nueva solución 2P = P+P = (8836/25, −950716/125), que corresponde a (a, b, c) = (9499, −8784, 5165). Repitiendo el procedimiento para buscar una solución positiva debemos obtener 3P, 4P, 5P, …, hasta llegar a

9P = (−66202368404229585264842409883878874707453676645038225 / 13514400292716288512070907945002943352692578000406921,
58800835157308083307376751727347181330085672850296730351871748713307988700611210 / 1571068668597978434556364707291896268838086945430031322196754390420280407346469),

que corresponde a la ansiada solución

a = 154476802108746166441951315019919837485664325669565431700026634898253202035277999,

b = 36875131794129999827197811565225474825492979968971970996283137471637224634055579,

c = 4373612677928697257861252602371390152816537558161613618621437993378423467772036.

Estos números con 80 dígitos son imposibles de alcanzar con un algoritmo de búsqueda sistemática a la fuerza bruta. Parece casi imposible que la expresíon a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) para estos números tan enormes sea exactamente 4. Pero esa es la belleza de las matemáticas. Y esa es la trampa de este meme matemático.

Me enteré gracias a Mateus Araújo, “Nerd sniping,” More Quantum, 17 Aug 2019; todos los detalles en Alon Amit, “How do you find the positive integer solutions to x/(y+z)+y/(z+x)+z/(x+y)=4?” Quora, 08 Nov 2018. Por cierto, a los interesados en curvas elípticas y ecuaciones diofánticas les recomiendo leer a Víctor Rotger, “La conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer”, Jornadas sobre los problemas del milenio, Barcelona, 1-3 jun 2011 (PDF gratis).

[PS 27 ago 2019] El problema se puede generalizar sustituyendo el 4 por un número N par (se puede demostrar que para números impares no hay soluciones positivas). Se puede calcular el número máximo de dígitos de las soluciones, como se ha hecho en esta tabla; para N=178 el número de dígitos es 398 605 460. Más información y demostraciones en Andrew Bremner, Allan Macleod, “An unusual cubic representation problem,” Annales Mathematicae et Informaticae 43: 29-41 (2014) [PDF]. [/PS]



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