El modelo SEIRV aplicado a la epidemia de coronavirus en Wuhan, China

Por Francisco R. Villatoro, el 14 marzo, 2020. Categoría(s): Ciencia • Informática • Matemáticas • Noticias • Recomendación • Science • Virología ✎ 35

No soy epidemiólogo, pero imparto clases de métodos matemáticos para ingenieros. En autocuarentena en casa, he decidido implementar en Matlab un modelo sencillo de la epidemia de coronavirus. En lugar de los conocidos modelos SIR y SEIR, me he decantado por el modelo SEIRV con tasas de transmisión variables, que es un poquito más realista. Por supuesto, estimar el valor de sus parámetros es difícil, así que he tomado los valores que se acaban de publicar para la epidemia en Wuhan, China. Quizás sea de interés para algunos de los lectores de este blog. Pero, cuidado, siendo un modelo matemático tan sencillo, que tiene en cuenta tan pocos factores, sus resultados no deben ser extrapolados sin ton ni son. La epidemiología rigurosa requiere usar modelos más complejos que incluyan toda la información disponible.

El modelo de juguete que voy a presentar es solo eso, un juguete que me servirá para ilustrar el uso de Matlab a la hora de resolver problemas de valores iniciales en ecuaciones diferenciales ordinarias. Por ello me centraré en lo fácil que es programar en este lenguaje este tipo de modelos matemáticos. He seleccionado el lenguaje Matlab porque es el que uso en mis clases para ingenieros (uso R en mis clases para bioquímicos); quienes prefieran una alternativa open source pueden usar Octave de GNU, que es un lenguaje casi idéntico. El código se puede adaptar de forma sencilla a otros lenguajes matemáticos, por ejemplo, a Mathematica usando NDSolve; pero en otros lenguajes hay que usar librerías o paquetes específicos, por ejemplo, deSolve en R, o diffeqpy en Python.

El artículo (open access) que me ha servido en bandeja el modelo y sus parámetros es Chayu Yang, Jin Wang, «A mathematical model for the novel coronavirus epidemic in Wuhan, China,» Mathematical Biosciences and Engineering 17: 2708-2724 (11 Mar 2020), doi: https://doi.org/10.3934/mbe.2020148.

% componentes del vector y = SEIRV
S=1;E=2;I=3;R=4;V=5;
dSEIRVdt = @(t,y) [
% dS/dt =
Lambda-betaE(y(E))*y(S)*y(E)-betaI(y(I))*y(S)*y(I)-betaV(y(V))*y(S)*y(V)-mu*y(S)
% dE/dt =
betaE(y(E))*y(S)*y(E)+betaI(y(I))*y(S)*y(I)+betaV(y(V))*y(S)*y(V)-(alfa+mu)*y(E)
% dI/dt =
alfa*y(E)-(w+gamma+mu)*y(I)
% dR/dt =
gamma*y(I)-mu*y(R)
% dV/dt =
xi1*y(E)+xi2*y(I)-sigma*y(V)
];

Introducir las ecuaciones diferenciales dY/dt = F(t,Y) en Matlab es muy fácil, basta definir la función F(t,Y). En este caso tenemos cinco ecuaciones acopladas, luego Y(t) será un vector de cinco componentes. He llamado a la función dSEIRVdt(t,Y) donde Y(1) es S, Y(2) es E, etc. En este código he usado una función anónima @(t,y) en Matlab. A mis estudiantes les recomiendo que no abusen de las funciones anónimas, porque el resultado es un código mucho más difícil de entender que cuando se usan funciones. Te muestro la diferencia.

function dYdt = dSEIRVdt (t,SEIRV)
% function dYdt = dSEIRVdt (t,SEIRV) % modelo SEIRV que usa constantes globales
%%
global Lambda betaE betaI betaV mu alfa w gamma xi1 xi2 sigma;
S=SEIRV(1); E=SEIRV(2); I=SEIRV(3); R=SEIRV(4); V=SEIRV(5);
%%
dSdt = Lambda-betaE(E)*S*E-betaI(I)*S*I-betaV(V)*S*V-mu*S;
dEdt = betaE(E)*S*E+betaI(I)*S*I+betaV(V)*S*V-(alfa+mu)*E;
dIdt = alfa*E-(w+gamma+mu)*I;
dRdt = gamma*I-mu*R;
dVdt = xi1*E+xi2*I-sigma*V;
%%
dYdt = [dSdt ; dEdt; dIdt; dRdt; dVdt ]
end

En el modelo SEIRV se usan cuatro poblaciones de humanos: susceptibles (S) son las personas que pueden ser infectadas; expuestas (E) al virus son las personas que lo contagian, pero que no presentan síntomas durante el periodo de incubación, por lo que no requieren hospitalización y aislamiento riguroso; infectadas (I) son las personas que presentan síntomas y están hospitalizadas, sin contacto con las expuestas; y recuperadas (R) son las personas que se han inmunizado contra el virus tras superar la infección; además, se incluye la concentración de virus (V) en el entorno debida a las personas expuestas (pues las infectadas influyen poco al estar hospitalizadas, sin contacto directo con las susceptibles).

Un modelo tan sencillo tiene 12 parámetros (los 11 mostradosmás un parámetro adicional común a todas las funciones beta) cuyos valores deben ser ajustados con datos epidemiológicos. Un ajuste completo es inviable (explorar un espacio con 12 dimensiones con 5 muestras por dimensión requiere unos 250 mil puntos; pero aún no hay tantos infectados). En la práctica, se estiman algunos parámetros de forma razonable y razonada, y se ajustan unos poquitos parámetros.

El artículo en que me baso estima 9 parámetros a partir de la literatura previa y ajusta 3 parámetros usando los datos epidemiológicos de Wuhan entre el 23 de enero de 2020 y el 10 de febrero de 2020, es decir, en la fase de crecimiento exponencial. Por tanto, dicho ajuste debe ser tomado como un simple ejemplo; en ningún caso será realista si se extrapola a otros países o a toda la pandemia.

% parametros del modelo SEIRV http://doi.org/10.3934/mbe.2020148
Lambda = 271.23 ;% flujo de poblacion hacia Wuhan (por dia)
betaE0 = 3.11e-8;% tasa de transmision entre S y E (/personas/dia)
betaI0 = 0.62e-8;% tasa de transmision entre S e I (/personas/dia)
betaV0 = 1.03e-8;% tasa de transmision entre S y V (/personas/dia)
c = 1.01e-4;% coeficiente de ajuste de la transmision
mu = 3.01e-5;% tasa natural de fallecimientos (por día)
alfa = 1/7 ;% 1/alfa = periodo de incubacion (/dias)
w = 0.01 ;% tasa de fallceimientos por la infeccion (por dia)
gamma = 1/15 ;% tasa de recuperacion de la infeccion (por dia)
sigma = 1 ;% tasa de eliminacion del virus del ambiente (por dia)
xi1 = 2.30 ;% dispersion del virus por infectados asintomaticos
xi2 = 0 ;% y por infectados aislados (por persona por dia por ml)

El parámetro Λ representa el flujo de entrada de personas a Wuhan; μ es la mortalidad de la población sin relación con la infeccion; 1/α es el periodo de incubación en el que la infección es asintomática (7 días); w es la mortalidad debida a la infección; 1/γ es el número de días para la recuperación de un infectado (15 días); ξ1 y ξ2 es la contribución a la concentración ambiental del virus debida a las personas expuestas e infectadas, resp.; y σ es el ritmo de degradación del virus en el entorno (tanto por causas ambientales, como por desinfecciones programadas). Las funciones βE(E) y  βI(I) representan las tasas de contagio de persona a persona entre las expuestas y las susceptibles, y entre las infectadas y las susceptibles, resp.; la función βV(V) representa la tasa de contagio de una persona debida a la concentración de virus en el entorno. Estas tres funciones decrecen de forma monótona, pues a mayores valores de E, I y V se tomarán medidas de control más drásticas para reducir el contagio.

% funciones de contagio (positivas y decrecientes con su argumento)
betaE = @(E) betaE0/(1+c*E); % para expuestos
betaI = @(I) betaI0/(1+c*I); % para infectados
betaV = @(V) betaV0/(1+c*V); % para el ambiente

En el artículo se usa la misma expresión matemática para las tres funciones que describen el contagio; para no introducir tres nuevos parámetros, solo se usa un único parámetro c común a las tres, que depende de las medidas de control que tratan de evitar los contagios. Para c=0 se obtiene el modelo SEIRV con parámetros constantes.

Esta figura del artículo muestra que para c=0 los resultados no describen la evolución de la epidemia en Wuhan desde el 23 de enero de 2020 (día 0 en la figura). El modelo SEIRV con parámetros constantes predice casi tres millones de contagiados y todos sabemos que en Wuhan ni siquiera se han alcanzado los cien mil. Esto nos recuerda que ajustar el modelo con parámetros estimados en fecha muy temprana (antes del 10 de febrero) conlleva una predicción muy exagerada del pico máximo de infectados. En redes sociales mucha gente usa una simple función exponencial con el número de reproducción y obtienen valores anuméricos sin ningún sentido. Ten mucho cuidado cuando alguien te muestre ese tipo de cálculos; son simplemente basura anumérica.

Esta figura muestra la predicción del modelo para c estimado usando los datos entre 23 de enero y 10 de febrero. Predice un pico de personas infectadas de unas 50 mil, lo que es mucho más realista. Sin embargo, predice una caída del número de personas infectadas mucho más lenta de la observada en la epidemia en Wuhan (300 días es casi un año). Además, predice un número de personas expuestas (infectadas asintomáticas) inferior a las que acaban siendo infectadas. Habrás leído en redes sociales a mucha gente estimar que tiene que haber entre 10 y 30 veces más personas expuestas que infectadas; este modelo no da cuenta de ese hecho (incluso aunque inicialmente haya más personas expuestas que infectadas).

El modelo SEIRV del artículo es muy sencillo. Sus conclusiones deben ser tomadas con mucha cautela. El artículo me ha gustado porque incluye un cálculo de los puntos de equilibrio y demuestra que para una número de reproducción R0>1 siempre existe un punto de equilibrio no trivial. Esta figura te muestra el plano de fases para las personas expuestas (E) e infectadas (I). El punto fijo calculado para R0 = 4.25 es E* = 1353, e I* = 2735, con S* = 2 583 683, R* = 6 528 015, y V* = 3111. Este punto fijo implica que la infección se vuelve endémica; siempre habrá un reservorio de virus entre la población. Aunque el objetivo de las medidas de la OMS y de muchos Gobiernos ha sido impedir este hecho, cada día parece más difícil evitar que así ocurra con la pandemia de COVID-19. Pero, repito de nuevo, el modelo SEIRV es muy sencillo y sus conclusiones debe ser puestas en cuarentena. Una vez pase la pandemia, gracias a modelos mucho más complicados, se podrá saber si el nuevo coronavirus se ha convertido en un nuevo coronavirus humano estacional.

% condicion inicial
S0 = 8998505 ;% susceptibles de infectar
E0 = 1000 ;% expuestos (infectados asintomaticos)
I0 = 475 ;% infectados (con sintomas y aislados)
R0 = 10 ;% recuperados
V0 = 10000 ;% concentracion de virus en el ambiente

Volvamos a mi código en Matlab. La condición inicial que se usa en el artículo está basada en información oficial de Wuhan (fuente). Se considera una población de susceptibles de casi 9 millones de habitantes en Wuhan, 475 personas infectadas, 10 recuperadas y 1000 personas expuestas, todo ello a fecha de 23 de enero de 2020. La carga viral inicial en el entorno es muy difícil de estimar, pero los autores proponen un valor de 10 mil partículas virales por mililitro; no hay ningún razonamiento en el artículo que justifique este número, que me parece que a sido elegido más a ojo que otra cosa.

% resolucion numerica
SEIRV0 = [S0; E0; I0; R0; V0];
[t,SEIRV] = ode23t(dSEIRVdt,[0,3000],SEIRV0);

La ventaja de usar Matlab (o lenguajes matemáticos como Mathematica, R, Python, etc.) es que la resolución del sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias solo requiere una única línea. En este código uso la función ode23t, que se suele usar en problemas moderadamente rígidos (moderate stiffness). ¿Por qué la uso? Porque he probado con todas…

% probar toda la odesuite
odesuite = {«ode23″,»ode45″,»ode15s»,»ode23s»,»ode23t»,»ode23tb»};
for ii=1:length(odesuite)
time = cputime;
eval(strcat(‘[t,SEIRV]=’,odesuite{ii},'(dSEIRVdt,[0,30000],SEIRV0);’));
cost(ii) = cputime-time,
end

He probado con todos los métodos de la odesuite de Matlab. El coste en tiempo de CPU ha sido de 0.58, 1.0, 0.047, 0.016, 0.016, y 0.016 segundos. Así que los métodos ode23s, ode23t, y ode23tb tardan unas 66 veces menos que ode45; por ello he elegido ode23t.

clf;
SEIRV0 = [S0; E0; I0; R0; V0];
[t,SEIRV] = ode23t(dSEIRVdt,[0,300],SEIRV0);
subplot(2,2,1); plot(t,SEIRV(:,E),t,SEIRV(:,I)); title(‘E,I’); xlabel(‘dias’);
[t,SEIRV] = ode23t(dSEIRVdt,[0,3000],SEIRV0);
subplot(2,2,2); plot(t,SEIRV(:,E),t,SEIRV(:,I)); title(‘E,I’); xlabel(‘dias’);

Este código y esta figura muestra los resultados de Matlab para el modelo SEIRV. El pico de la curva es razonable pero la caída del número de personas infectadas ha sido mucho más rápida (300 días es casi un año). Sin lugar a dudas, el método requiere una nueva estimación de sus parámetros.

% dibuja el plano de fase
I0v = [ 5 10 15 15 15 15 15 10 6 3 0 0 0 0 ]*1e4;
E0v = [ 0 0 0 1 2 3 4 4 4 4 3.5 2.5 1.5 0.5 ]*1e4;
clf; box on;
for iv=1:length(I0v)
SEIRV0 = [S0; E0v(iv); I0v(iv); R0; V0];
[t,SEIRV] = ode23t(dSEIRVdt,[0,50000],SEIRV0);
subplot(2,2,1); plot(SEIRV(:,E),SEIRV(:,I),’-‘); hold on;
subplot(2,2,2); semilogx(t,SEIRV(:,E),t,SEIRV(:,I)); hold on;
end;
subplot(2,2,1); xlabel(‘E’); ylabel(‘I’); title(‘phase portrait’);
subplot(2,2,2); xlabel(‘t’); title(‘E, I’); axis([0.1 5e4 0 1.5e5]);

Este código y esta figura muestran el plano de fases (E, I) a la derecha, así como las soluciones E(t) e I(t) en función del tiempo (en días). Se observa que las soluciones tienden a un punto intermedio alrededor de t = 100 días con E(100) ≈ 21 000, e I(100) = 39 000; tras este punto, todas las soluciones en el pano de fase evolucionan hacia el mismo punto de equilibrio E* = 1347, e I* = 2509. Este punto no coincide con el que aparece en el artículo, pero se puede calcular directamente en Matlab.

% calcula punto de equilibrio
SEIRVstar = fsolve(@(y) dSEIRVdt(0,y), SEIRV0)
SEIRVstar([E, I])

Recuerda que un punto de equilibrio del sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias dY/dt = F(Y) es un punto Y* tal que F(Y*)=0; por tanto dicho punto es estacionario (usado como condición inicial el sistema se mantiene en ese punto como solución constante). El cálculo de Matlab ofrece el mismo resultado que se ha determinado con ode23t, que no coincide con el artículo. Supongo que la razón es el error introducido por el método numérico usado por los autores (que no aclaran cuál es en su artículo).

En resumen, sirva esta pieza como ejemplo del uso de Matlab para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias. Los resultados epidemiológicos mostrados son poco rigurosos, pues el modelo SEIRV es muy sencillo (y yo creo que habría que reestimar sus parámetros a partir de los resultados actuales de la epidemia en Wuhan para obtener un mejor ajuste). Sin embargo, es un modelo mucho mejor que usar una ley exponencial, aunque la hayamos visto tantas veces en redes sociales que duele a los ojos tanto anumerismo. Si conoces Matlab (u Octave) , te recomiendo ejecutar el código con diferentes parámetros; usa los comentarios si logras resultados que merezca la pena remarcar.



35 Comentarios

  1. Bueno, pero es que si las betas son constantes y lo fuera también el suministro de susceptibles, la solucion del sistema es un conjunto de exponenciales acopladas ¿no? Asi que en la aproximacion de S muy grande tambien deberia ser valido resolver con exponenciales.

    1. No, Alejandro, si las betas son constantes los términos no lineales prohíben que la solución sea un conjunto de exponenciales acopladas. Las exponenciales solo aproximan la evolución temprana (donde aplica el famoso número de reproducción R0); y conforme el crecimiento exponencial se relaja las exponenciales han de ser revisadas (el número de reproducción R0 efectivo cambia con el tiempo).

      Mi crítica es a quienes usan las exponenciales sin ton ni son, a modo de fake news. Sin saber nada de epidemiología, solo crean pánico y confusión entre la población (porque son matemáticos, físicos y personal con bata blanca que genera confianza en la población, cuando solo son simples anuméricos buscando clickbait en las redes sociales). La epidemiología es una ciencia; el uso de exponenciales para entender epidemias es una pseudociencia. Así opino y de ahí mi crítica.

      1. También periodistas diciendo en la tele «la expansión empieza a ser exponencial».

        Aun en el caso de reducirlo a una función exponencial, lo sería desde el principio. Otra cosa es que la pendiente sea ahora mucho mayor…

      2. SI, bueno, a eso me refería con S constante, a que no haya entrado aún en acción la no linealidad, porque todos los términos no lineales lo son vía el producto con el número de susceptibles.

        Es interesante que con c distinto de cero ya tienes otro componente, la función de contagio, que da mucho juego y no es tan fácil de ignorar durante la evolución temprana. Supongo que eso es lo que verdaderamente quita relevancia a la aproximación exponencial.

      3. Está claro que con el tiempo, la solución exponencial no será válida cuando la expansión del virus note los efectos del tamaño finito del sistema, en este caso el número finito de población susceptible (que además decrece con el tiempo). Tampoco era válida en los primeros días, cuando la transmisión estaba dominada por casos importados y no por transmisiones.

        Entre esos dos límites, la solución exponencial no solo no es fake news sino perfectamente válida. El problema es no tener en cuenta que en algún momento no será válida, y el desafío es saber cuando no lo será. En el mejor de los casos, será debido a que la población susceptible efectiva es ínfima debido a la cuarentena. En el peor, a que hay 40 millones de infectados.

        1. Cuidado, David, si es cierto lo que dices, entonces todo es exponencial, hasta que deja de serlo. No es verdad, lo siento, todo se puede aproximar por un comportamiento exponencial en cierto límite (pues todo crece o decrece en cierto rango), pero no eso no significa que sea exponencial. No confundas a los lectores que ignoran las matemáticas suficientes para no entender el error en tu razonamiento anumérico.

          1. Entiendo que entonces no existe ninguna ley exponencial en la naturaleza, puesto que esta es la solución de modelos sencillos tales que si incluimos el suficiente número de variables, la exponencial es siempre una mera aproximación asintomática. Y que por el mismo razonamiento tampoco existe lo lineal, ni lo cuadrático etc.

            El crecimiento exponencial es consecuencia de la segunda ecuación, cuando E>>I y E<<1/c ~ 10^4. Las desviaciones respecto al comportamiento exponencial después de la etapa más inicial no solo son pequeñas si no que dependerán del modelo matemático que uses. Por otra parte, el valor de saturación y cuando éste se alcanza también dependerán del modelo, sin embargo estos dos serán de grandísimo interés práctico y teórico.

            No creo que el problema con la información de los medios sea que asuman un crecimiento exponencial, sino que la mayoría de la población lo asocia a un crecimiento divergente e imparable. Creo que en los últimos días los medios están haciendo un mejor trabajo, para poder explicar el funcionamiento de la cuarentena.

    2. No os parece que es imposible comparar nada? La mayoría de los datos de partida están mal. No sabemos el número real de infectados, en cada país se hacen las pruebas con unos criterios. Es imposible sacar ninguna conclusión. En cuanto a los modelos ni idea, solo me ha parecido curioso que se basen en cifras oficiales.

  2. Acabo de escuchar un podcast donde un epidemiólogo de Harvard estimaba que entre un 40 y un 70% de la población adulta mundial se infectaria este virus.

  3. En mi manifiesta ignorancia y siendo que este modelo recoge de 20 de enero a 10 de febrero, me preocupa si en algo puede modificar en un sentido o en otro su alcance predictivo, si se introduce el pico que experimenta la zona de 13 a 14 de febrero a instancia de la OMS y que parece justificarse ante los medios por el añadido de los casos contagiados sin contabilizar.

  4. Fascinante. Cabe mencionar que las curvas para Wuhan ya son distintas que para Italia. Hay muchos factores y tratar de modelarlos puede ser de ayuda. Por ejemplo pudiera hablarse de al menos dos tipos de virus con efectos muy diferentes. Según recuerdo en Wuhan varios doctores jóvenes murieron y reportaban un virus muy agresivo. De hecho una amiga me confirmó que la narrativa de dos virus en acción en Wuhan es ya muy conocida en China. Pero el único artículo que salió al respecto (origin and evolution of Covid-19) ha sido muy criticado. Has podido echarle un vistazo?

      1. Gracias. Ayer pude leer esa entrada de tu blog. Justo a ese me refería. Dejé un comentario en el hilo iniciado por Isalar. A ver si le puedes echar un vistazo y responder a él. Gracias

  5. «El modelo SEIRV con parámetros constantes predice casi tres millones de contagiados y todos sabemos que en Wuhan ni siquiera se han alcanzado los cien mil.»

    … Siempre que demos por buenas las estadísticas dadas por el gobierno Chino.

    Considero bastante probable que las estadísticas, y no sólo las chinas sino las de todos, están siendo imperfectas y hay más contagiados que los recogidos en ellas.

  6. No es por abrir una polémica más, pero seguimos la tradición científica española de nombrar MAL las letras griegas. No existe ninguna letra griega llamada mu se llama mi(sólo hay que preocuparse de leer cualquier diccionario griego)
    También ocurre con la nu que es ni.

  7. Creo que llamas basura anumérica a lo que es basura numérica. (Números que pretenden reflejar la realidad y la falsean.) De todas formas me encantaría saber qué modelos han empleado nuestros epidemiólogos del ministerio para poder entender las medidas que han adoptado. (Luego habría que tirar a la basura esos modelos, como se ha visto en el cambio de fase en las medidas adoptadas). Porque no puede haber mayor diferencia entre las pautas de actuación de los países de asia oriental (China, Corea, Taiwan, etc.) y los europeos.

  8. La propagación sigue un curso de entropía de afectar a cuántas más células humanas lo que a la larga llegaría a un punto crítico en detrimento en su avance. Y considero que aunque concurren muchas variables, pocas veces se ha dispuesto de tantos datos de la cronología SARS-Cov-2. Al ver que en los medios de comunicación asaltan cifras en términos absolutos sin referencia a indices de mortalidad/letalidad, a expuestos/infectados y de estos últimos los que requieren ser hospitalizados y, a su vez, fallecidos/recuperados, me siento perdida y sin criterio tal y como dice aquí otro contertulio.
    Por lo que concluyo de un modo más preciso. Sería posible aplicar dicho modelo a España, con los datos imperfectos pero que empezaron a contabilizarse como infectados creo recordar el primero en la Península a 25 ó 26 de febrero en adelante para establecer ese antes y después de confinamiento por declaración de la OMS como pandemia.
    Es para tener un criterio de que se está haciendo bien o mal, y establecer comparaciones con otros países al menos de Europa.

  9. Hola francis cual es el mejor modelo epidemiologico MSEIRS ? cuale son esos modelos que tienen en cuenta toda la informacion disponible en el caso de este coronavirus? me gustaria leer algun paper sobre predicciones suando essos modelos lo mas realista y complejos posibles

    1. Benjamin, un modelo tiene que tener en cuenta la geografía del problema, desde la capacidad hospitalaria, hasta la movilidad de las personas, medidas de contención, etc. (un ejemplo sencillo es http://deim.urv.cat/~alephsys/COVID-19/spain/es/index.html). Si te interesa la epidemiología, te recomiendo estudiar un libro de texto sencillo como Bouter, Zielhuis, Zeegers, «Textbook of Epidemiology» Bohn Stafleu (2018), y luego a pasar a uno específico de modelos matemáticos como Brauer, Castillo-Chavez, Feng, «Mathematical Models in Epidemiology» Springer (2019). Así tendrás el conocimiento previo suficiente para empezar a entender cuál es el mejor modelo epidemiológico para la pandemia de COVID-19, qué información relevante hay que tener en cuenta, cómo estimarla a partir de la información disponible, y así podrás empezar a realizar predicciones y postdicciones con modelos realistas.

  10. ¿Podrían ayudar en algo las investigaciones de los últimos premio Abel de matemáticas sobre el orden dentro del caos en el caso de la epidemia del Coronavirus?¿Tendrían que ver con las variables aleatorias complejas y las funciones características? Es un problema que planteé hace tiempo y no supieron resolvermelo.Siento si es una insensatez. Attm.julio francisco.

  11. Hola Francis.

    Me intereso mucho que el modelo toma en cuenta tasas variables. Yo quería hacer algo similar, pero que mostrara visualmente el efecto. Es así que hice un modelo básicamente con Monte Carlo, toma en cuenta tasas variables, pero también la distribución geográfica de la población, y aunque es computacionalmente más costoso, permite incluir otros efectos, como simular personas que se mueven grandes distancias con cierta probabilidad. Al final lo aplique a la distribución geográfica de México tratando de ajustar los parámetros para reproducir lo que ha sucedido hasta ahora.

    Algunas de las simulaciones las presento aquí:

    https://minnova-consulting.com/blog/9-efecto-del-distanciamiento-social-y-la-densidad-de-poblacion-en-el-combate-contra-el-covid-19

    Saludos.

  12. El artículo (open access) que me ha servido en bandeja el modelo y sus parámetros es Chayu Yang, Jin Wang, «A mathematical model for the novel coronavirus epidemic in Wuhan, China,» Mathematical Biosciences and Engineering 17: 2708-2724 (11 Mar 2020), doi: https://doi.org/10.3934/mbe.2020148.

    ¿Puedo conseguir ése artículo?

  13. Estimado, tengo varias consultas (soy fisico).

    1. Entonces no hay modelo matematico que valide lo de Wuhan, y si fuera el caso de que sirve hacer modelos
    2. Una de las conclusiones que saco es que la curva no va a durar menos de 300 dias, lo sabran los gobiernos?-
    3. En ista de los anteriores puntos, no habra modelos matematicos para evaluar la mortalidad del virus, si enviamos a la poblacion vulnerable a una zona despejada.

    1. (0) No soy epidemiólogo (soy físico y doctor en matemáticas); solo he usado modelos de epidemias en mis clases y solo he leído (no he estudiado en detalle) varios libros sobre epidemiología matemática (así que mi conocimiento del state of the art es limitado).

      (1) La epidemia en Wuhan ya casi ha pasado (al menos el pico principal, ahora les queda controlar la epidemia por casos importados). Por supuesto, a posteriori hay modelos que explican muy bien lo que ha pasado en Wuhan (hay varios publicados). Repito, a posteriori, es decir, post-explican.

      (2) 300 días es una barbaridad para una infección como la COVID-19, pero si así lo concluyes porque eres físico, maravilloso; hablemos dentro de 200 días. Los epidemiólogos que asesoran a los Gobiernos tienen modelos muy precisos de lo que está pasando (que incluyen la información relevante; no sé si tú la has tenido en cuenta en tus conclusiones). Ninguno de ellos se atreve a predecir a 300 días vista.

      (3) No sé lo que es la «mortalidad del virus», supongo que te refieres a la «letalidad de la infección COVID-19». Y no, no podemos enviar millones de personas a una zona despejada. ¿Has pensado esta frase antes de escribirla? Relee tu frase de nuevo, por favor.

  14. Hola

    Quiero opinar sin saber mucho de las curvas y verificar con su opinion lo siguiente. Siempre se ha supuesto como hipotesis que el contagio es por contacto con personas infectads, sin embargo, yo creo que la cantidad de personas con conavirus es un numero fijo que se distribuye en un tiempo de 2 a 3 meses siguiendo tal vez una distribucion normal. Ahora bien, los casos van apareciendo segun una ley natural invisible como por ejemplo una secuencia de fibonnaci u otra. Es posible con el modelo plantedo arriba se pueda demostrar esta segunda hipotesis.

  15. Ok Gracias por leeer. Solo como una reflexion. La dificultad de poder predecir o modelar una pandemia se debe tal vez a la hipotesis (no confirmada) de suponer que se multiplica por contagio por contacto.Esta hipotesis viene desde hace mas de 2000 años y siempre se da por verdad. Hoy dia vivimos una pandemia donde no hay un regla clara y vemos casos como Japon donde no han tomados medidas de cuarentenas donde el contagio es menor, donde la gente se reune en grupos y otros como italia con cuarentena donde el contagio y gravedad es extremo. Creo que la hipotesis está errada.

  16. Hola Francis,

    Ya con esto más avanzado, especialmente en Italia y España, creo que habría que replantearse modelos de ecuaciones diferenciales como el que propones. Bellos en su planteamiento pero inutilizables el la realidad por la falta de rigor en los datos así como la escasez de los mismos. Esos sistemas suelen depender enormemente de las condiciones iniciales y las variaciones en las mismas. Las ecuaciones diferenciales y el caos están muy relacionados.

    Junto con un matemático (yo físico) hemos planteado una solución al problema basándonos en otros modelos existentes en la literatura científica, alternativos a los SIR, SEIR y semejantes. En concreto hemos ajustado una función Gompertz (que está basada a su vez en una ecuación diferencial mucho más sencilla y, por ende, utilizable) a los datos existentes y diariamente publicados. Utilizando las series temporales de contagiados y fallecidos de forma independiente se puede concluir que la epidemia en ambas series sigue de forma muy fidedigna dicha curva Gompertz y dependiendo del momento epidémico una modificación hecha para dotar al parámetro r de dependiencia con t.

    Entre otras predicciones que hicimos estuvo la fecha en la que se llegó al pico del brote, previsto de forma magnífica por el máximo de la curva derivada de la Gompertz. Hemos estado colaborando con el CEMat (Comité Español de Matemáticas) en el envío de predicciones a una semana vista pero el pasado miércoles les escribimos diciéndoles que dejábamos de hacerlo debido precisamente al cambio de métricas y protocolos que se hizo desde el gobierno sin ni siquiera re-expresar la serie temporal con los mismos criterios. Posteriomente bastantes otros grupos que colaboraban tomaron la misma decisión. En fin, un despropósito de información y de gestión de la epidemia.

    Saludos

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