Los artículos de una persona con el Nobel de Física deben ser tratados con el mismo espíritu crítico que los de las demás. Anton Zeilinger es Premio Nobel de Física en 2022 por sus experimentos con fotones entrelazados que incumplen las desigualdades de Bell. Su último artículo en arXiv (enviado a Physical Review Letters) se titula «Violación de las desigualdades de Bell con fotones no entrelazados». Según dicho artículo, bastarían las correlaciones asociadas a la indistinguibilidad cuántica de las trayectorias de fotones en estados no entrelazados para incumplir con las desigualdades de Bell. En concreto, se usan los resultados de un experimento de interferencia frustrada entre cuatro fotones, publicado en Nature Communications en 2023, para construir una magnitud E(α,β) = cos(α+β), donde α y β son dos ángulos de fase. Se observa que dicha magnitud cumple una desigualdad de Bell tipo CHSH (Clauser–Horne–Shimony–Holt) con una cota superior de 2.275 ± 0.057, que es mayor de 2 con casi 5 desviaciones típicas (0.275/0.057 = 4.8); se concluye que se ha mostrado el incumplimiento de esta desigualdad de tipo Bell con estados separables (no entrelazados). Pero, como es obvio, todo esto es una simple paparrucha. Hay un conocido teorema matemático que demuestra que es imposible incumplir una desigualdad de Bell sin usar estados entrelazados (no separables).

Construir un experimento en física clásica, o en física cuántica, que conduzca a una magnitud E(α,β) = cos(α+β) es trivial. Un cálculo sencillo demuestra que dicha magnitud cumple que S = |E(α₀,β₀)+E(α₀,β₁)+E(α₁,β₀)−E(α₁,β₁)| ≤ 2 √2 (basta chequear la cota superior con α₀=π/2, α₁=0, β₀=3π/4, y β₁=π/4). También es trivial obtener en dicho experimento clásico, o cuántico, un valor S > 2 con una elección adecuada de los ángulos. Este trampantojo matemático no nos debe cegar por deslumbramiento inducido por las luces largas de un Premio Nobel. El teorema de Tsirelson afirma que para cuatro observables (operadores hermíticos) A₀, A₁, B₀ y B₁ con autovalores +1 o −1 (cúbits para los que A_i² = B_j² = I) tales que [A₀, A₁]≠0, [B₀, B₁]≠0, y [A_i, B_j]=0, para todo i y j, siempre se cumple que S = ⟨A₀B₀⟩+⟨A₀B₁⟩+⟨A₁B₀⟩−⟨A₁B₁⟩ ≤ 2 √2 (ya que || [A₀, A₁] || ≤ 2, y ||[B₀, B₁] || ≤ 2); mientras que si son tales que [A₀, A₁]=0 y [B₀, B₁]=0, se cumple que S = ⟨A₀B₀⟩+⟨A₀B₁⟩+⟨A₁B₀⟩−⟨A₁B₁⟩ ≤ 2. Suele ser habitual escribir E(a_i,b_j) = ⟨A_iB_j⟩ = ⟨ψ|A_i ⊗ B_j|ψ⟩, donde |ψ⟩ = Σ_ij c_ij |A_i⟩ ⊗ |B_j⟩ es un estado entrelazado (no separable) cuando [A₀, A₁]≠0 y [B₀, B₁]≠0, mientras que es un estado separable (no entrelazado) cuando [A₀, A₁]=0 y [B₀, B₁]=0 (este último es el caso clásico). Si la magnitud E(α,β) no está asociada a estados entrelazados, no tiene ningún sentido discutir si se cumple o se incumple la desigualdad de Bell tipo CHSH. Por ello, el nuevo artículo de Zeilinger y sus colegas presenta un argumento falaz y debería ser rechazado como tal por los revisores de la revista PRL donde ha sido enviado.

El espíritu crítico se educa poniéndolo en práctica de forma continua. Repito, nunca seas crédulo, ni siquiera con un artículo firmado por un Premio Nobel. El nuevo artículo es Kai Wang, …, Anton Zeilinger, …, Xiao-Song Ma, «Violation of Bell Inequality with Unentangled Photons,» arXiv:2507.07756 [quant-ph] (10 Jul 2025), doi: https://doi.org/10.48550/arXiv.2507.07756. El artículo usa el experimento publicado en Kaiyi Qian, Kai Wang, …, Xiao-song Ma, «Multiphoton non-local quantum interference controlled by an undetected photon,» Nature Communications 14: 1480 (17 Mar 2023), doi: https://doi.org/10.1038/s41467-023-37228-y. El artículo ha sido criticado por Mateus Araújo (Univ. Valladolid), «Separable states cannot violate a Bell inequality ,» More Quantum, 14 Jul 2025 (que sugiere que hay entrelazamiento oculto en el experimento, pero osa calificar el artículo como bullshit en BlueSky); Craig Gidney en BlueSky opina que el entrelazamiento está oculto en la ecuación (15) del artículo; ‪Jake Bulmer‬ en BlueSky opina que el entrelazamiento está en la postselección de los estados; otros como ‪Dan Schroeder opinan de forma similar. Sin embargo, muchos divulgadores incautos, como Philip Ball, están deslumbrados por las luces largas de Zeilinger.

[PS 30 ago 2025] El artículo se ha publicado en Science Advances (revista open access tipo pay per publish con una APC de 5450 dólares) como Kai Wang, …, Anton Zeilinger, …, Xiao-Song, «Violation of Bell inequality with unentangled photons,» Science Advances 11: eadr1794 (01 Aug 2025), doi: https://doi.org/10.1126/sciadv.adr1794. Parece ser que en la revisión por pares no se han tenido en cuenta las críticas publicadas en Ken Wharton, Huw Price, «Bell Inequality Violations Without Entanglement? It’s Just Postselection,» arXiv:2508.13431 [quant-ph] (19 Aug 2025), doi: https://doi.org/10.48550/arXiv.2508.13431, y en Paweł Cieśliński, Marcin Markiewicz, …, Marek Żukowski, «Unquestionable Bell theorem for interwoven frustrated down conversion processes,» arXiv:2508.19207 [quant-ph] (26 Aug 2025), doi: https://doi.org/10.48550/arXiv.2508.19207. [/PS]

El esquema conceptual del experimento de interferencia frustrada entre cuatro fotones se ilustra en la figura de la izquierda. Se usan cuatro cristales no lineales que actúan como fuentes de parejas de fotones entrelazados en polarización de tipo SPDC (conversión paramétrica descendente espontánea), llamadas I, II, III y IV. En cada pareja tenemos un fotón señal (S_j) polarizado en horizontal (H) y otro auxiliar o idler (I_j) polarizado en vertical (V), ambos en un estado producto en polarización |HV ⟩. La clave del experimento es alinear las trayectorias de los fotones para que sean indistinguibles en los detectores. Para los fotones señal se introduce un ángulo de desfase; en concreto, los fotones S₁ desfasado en α y S₃ se alinean para incidir en el detector a₁ de Alicia, mientras que S₂ desfasado en β y S₄ se alinean para incidir en el detector b₂ de Berto. Para los fotones auxiliares el alineamiento no incluye ningún desfase, pero se aplica un intercambio entre Alicia y Berto; en concreto, los fotones I₁ e I₄ inciden en el detector b₁ de Berto, mientras que I₂ e I₃ inciden en el detector a₂ de Alicia. Este intercambio requiere usar espejos y trayectorias oblicuas, además de usar un único cristal SPDC que haga el papel de los cuatro SPDC (I, II, III y IV), como se ilustra en la figura de la derecha. El esquema completo, con elementos ópticos, aparece en la primera figura de esta pieza (te recomiendo mirarlo ahora). El estado cuántico de los cuatro fotones es |ψ_f ⟩ = g² (e^i(α+β)|1111⟩ + |1111⟩), donde g es el acoplamiento del SPDC, resultando un contaje de coincidencias para la detección de los cuatro fotones dado por N(α,β) = g⁴ N₀ (2 + 2 cos(α+β)). Observa la semejanza con E(α,β) = cos(α+β).

La clave del experimento es destruir el entrelazamiento en polarización (momento) y en fase de las parejas de fotones que observa Alicia (detectores a₁ y a₂) y Berto (detectores b₁ y b₂). Para ello se propagan los fotones en fibras monomodo que logran destruir el entrelazamiento en polarización (al proyectar el momento en la dirección de la fibra). Además, se usan filtros pasa-banda muy estrechos que destruyen el entrelazamiento en frecuencia. Este tipo de destrucción del entrelazamiento, que se usa en experimentos que estudian la indistinguibilidad cuántica, fue introducida en 1991 en el artículo de X. Y. Zou, L. J. Wang, L. Mandel, «Induced coherence and indistinguishability in optical interference,» Physical Review Letters 67: 318-321 (1991), doi: https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.67.318; los describe en un lenguaje muy divulgativo nuestro premio Nobel en Daniel M. Greenberger, Michael A. Horne, Anton Zeilinger, «Multiparticle Interferometry and the Superposition Principle,» Physics Today 46: 22-29 (1993), doi: https://doi.org/10.1063/1.881360 [PDF, PDF]. En el contexto de la interferencia frustada multifotón los usó nuestro Nobel en T. J. Herzog, J. G. Rarity, …, A. Zeilinger, «Frustrated two-photon creation via interference,» Physical Review Letters 72: 629-634 (1994), doi: https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.72.629. Tras 24 años de uso continuado de estas técnicas de destrucción de entrelazamiento no se deberían tener dudas sobre la ausencia de entrelazamiento en los estados finales de los cuatro fotones. Las dudas en BlueSky al respecto no están bien fundamentadas.

La clave del artículo es construir la magnitud E(α,β) = cos(α+β) a partir de las coincidencias de los cuatro fotones N(α,β). Para ello se tortura esta función, combinando las cuatro posibilidades N(α,β), N(α+π, β), N(α,β+π) y N(α+π, β+π); cada uno de estos valores dividido entre la suma de los cuatro conduce a las probabilidades p(+1,+1|α,β), p(−1,+1|α,β), p(+1,−1|α,β) y p(−1,−1|α,β). ¿Qué relación tienen estas probabilidades con ⟨A_iB_j⟩ = ⟨ψ|A_i ⊗ B_j|ψ⟩ en el teorema de Tsirelson? Como es obvio, ninguna. Sin embargo, permiten escribir E(α,β) = p(+1,+1|α,β) − p(−1,+1|α,β) − p(+1,−1|α,β) + p(−1,−1|α,β) = cos (α + β). Así se logra la magia matemática, el retruque técnico que conduce a la desigualdad S = |E(α₀,β₀)+E(α₀,β₁)+E(α₁,β₀)−E(α₁,β₁)| ≤ 2 √2. Esta expresión es un trampantojo matemático que no tiene nada que ver con una desigualdad de Bell tipo CHSH.

En resumen, por razones que prefiero ignorar, en el artículo de Zeilinger y sus colegas se afirma sin rubor que se ha logrado incumplir una desigualdad de tipo Bell usando estados de fotones no entrelazadas, en los que la única propiedad cuántica relevante es su indistinguibilidad. Me apena que este nuevo artículo afee el currículum de Zeilinger, que como todo premio Nobel está por encima del bien y del mal. Sin embargo, me alegra que nos sirva de ejemplo para cultivar el espíritu crítico, siempre imprescindible.