La velocidad de la propagación del calor, entre la paradoja y la entropía

Por Francisco R. Villatoro, el 22 octubre, 2008. Categoría(s): Ciencia • Física • Matemáticas • Nanotecnología • Relatividad • Termodinámica ✎ 6

Cuando inicié este blog el 1 de enero de 2008, me prometí a mí mismo no insertar fórmulas matemáticas y creo que lo he cumplido «razonablemente». He de confesar que alguna se me ha colado. Tiendo a ver la realidad con fórmulas matemáticas y, desafortunadamente, la mayoría de la gente no la ve igual.

Las tres fórmulas de la izquierda están sacadas del artículo de los italianos V. Bertola y E. Cafaro, «On the speed of heatPhysics Letters A, 372: 1-4, 2007. Es un artículo fácil de leer que le da una nueva vuelta de tuerca a la discusión (paradoja) de la velocidad infinita de propagación del calor según la Ley de Fourier. Paradoja desde los tiempos de I. Stefan, 1863, y J.C. Maxwell, 1867. Otro italiano, C. Cattaneo, ya propuso en 1948 una manera de resolver esta paradoja, la Ley (o ecuación) de Cattaneo, una versión «mejorada» de la Ley de Fourier pero con la propagación del calor a velocidad finita. Otros investigadores han desarrollado otras leyes no lineales que también muestran dicha propiedad. Este tópico tiene cierto interés en nanotermología (un campo emergente con un prometedor futuro). Pero no nos vayamos a la bartola, ¿qué han aportado Bertola y Cafaro?

¿Qué significa que según la Ley de Fourier el calor se propaga a velocidad infinita? En una barra que conduzca el calor (metálica) semi-infinita (muy larga) un pulso de calor en el extremo finito produce instantáneamente un valor no nulo (pequeñísimo) en el otro extremo (infinitamente lejano). ¿Físicamente es posible? ¿Viola la teoría de la relatividad de Einstein? El calor es reflejo de la agitación térmica (energía cinética) de los constituyentes del medio (electrones y red cristalina en un metal). Tanto los electrones como los fonones (partículas que «modelan» la vibración cristalina) se propagan a una velocidad finita (inferior a la velocidad de la luz).

¿Cómo es posible que el calor se propague más rápido que la luz? La velocidad de fase de la onda de calor podría ser más rápida que los electrones y fonones. Imaginemos que iluminamos la Luna con un láser (partículas a la velocidad de la luz). Si mueves el láser, el punto iluminado en la Luna se mueve a una velocidad mayor que la velocidad de la luz (su velocidad de fase). Esto no sirve para enviar información más rápido que la luz en la Luna y no viola la relatividad de Einstein. Lo mismo lo tenemos en las olas humanas en un estadio de fútbol. La ola se mueve a unos 12 metros (20 asientos) por segundo, es decir, unos 43 km/hora (estimación de I. Farkas, D. Helbing, T. Vicsek, «Mexican waves in an excitable mediumNature, 419: 131-132, 2002). Obviamente, ningún aficionado se levanta y vuelve a sentar en su asiento a una velocidad de 40 km/h. La velocidad de la ola es velocidad de fase. Lo mismo le pasa a los electrones y a los fonones. La «onda» de calor podría propagarse más rápido que ellos. Quizás os interese P. Villaggio, «The apparent propagation velocity of a wave,» Rend. Mat. Acc. Lincei, 12: 191-197, 2001.

Me voy por las ramas, volvamos a Bertola y Cafaro. ¿Qué han hecho? Mira las fórmulas de la figura. La primera es la ecuación del calor (T es la temperatura). La segunda es la misma ecuación, pero escrita como una ecuación de transporte (ecuación de onda) cuya velocidad (finita para temperatura no nula) es la tercera fórmula. Ellos llaman velocidad del calor a esta última fórmula. ¿Qué significa físicamente? Según ellos es proporcional a la tasa de generación de entropía. Es decir, aunque «aparentemente» el calor se propaga a velocidad infinita, la entropía (mejor medida de la agitación térmica que el calor) se propaga a una velocidad finita. Para resolver la paradoja, no hay que cambiar la Ley de Fourier, sólo hay interpretarla «correctamente».

Los interesados en más información sobre las «ondas de calor» deberían leer el interesante artículo de D. D. Joseph y L. Preziosi, «Heat wavesReviews of Modern Physics, 61: 41-73, 1989 [preprint gratis], tan interesante que tiene segunda parte (más detalles históricos) en «Addendum to the paper «Heat waves»Rev. Mod. Phys. 62: 375-391, 1990 [preprint gratis].

¿Se porta bien la Ley de Fourier en sistemas nanométricos? Parece ser que sí, M. Michel, M. Hartmann, J. Gemmer, G. Mahler, «Fourier’s Law confirmed for a class of small quantum systemsThe European Physical Journal B, 34: 325-330, 2003.

¿Podemos escribir una ley del calor tipo Fourier pero invariante relativista? No te molestes en refrescar tus conocimientos de teoría de la relatividad, ya ha sido inventada por unos «chinitos» afincados en Australia, Y.M. Ali, L.C. Zhang, «Relativistic heat conduction,» International Journal of Heat and Mass Transfer, 48: 2397-2406, 2005.



6 Comentarios

  1. Muy interesante!

    Por cierto, me interesaria que le dedicaras una entrada( si sabes algo del tema ) a lo que se llama:

    «An Exceptionally Simple Theory of Everything» de Antony Garrett Lisi.

    http://es.wikipedia.org/wiki/Una_teor%C3%ADa_del_todo_excepcionalmente_simple

    ( casi ya hace un año de esto, y yo acabo de descubrirlo)

    Me gustaria que a un nivel medio divulgativo puedieras explicarlo, porque entiendo bien poco, y parece interesante, lo mismo ya lo expusistes en algun post, si asi fue por favor cuelgue aqui el link.

    Por cierto, aqui hay un video bastante reciente de una conferencia que dio ( mi ingles no es bueno, asi que tampoco he podido enterarme)

    http://es.youtube.com/watch?v=y-Gk_Ddhr0M

  2. Kondor, al grano, muy interesante, escribiré una entrada sobre el tema en los próximos días.

    Kondor, acabo de ver el vídeo. Muy bonito. La charla estaba muy bien preparada, aunque la pregunta final, Lisi no sabe contestarla bien. El uso de teoría de grupos para entender las simetrías exactas de las partículas fue por lo que Murray Gell-Mann recibió el premio Nobel en 1969. Hoy en día sabemos que estas simetrías exactas están rotas (partículas que deberían ser iguales son «ligeramente» diferentes) y ciertas partículas que deberían existir, no existen. Nadie entiende bien por qué la simetría se rompe como lo hace. Conocemos la teoría con simetría rota y proponemos una teoría con simetría sin romper y un mecanismo de ruptura. Así se ha construido el modelo estándar.

    El grupo E8 (el grupo excepcional más grande) es el más grande que los grupos de simetrías (exactas) en los que meter todas las partículas que conocemos. Es tan grande que predice muchas partículas que no conocemos. Sin embargo, E6, el siguiente más pequeño, no permite modelar bien el Modelo Estándar como lo conocemos. El grupo E8 fue propuesto por físicos teóricos de cuerdas (heteróticas), tan importantes como Witten, como grupo de simetría exacta cuya ruptura genera las partículas del Modelo Estándar. Nadie sabe muy bien cómo hacerlo (como romper esta simetría) y E8 predice muchas (muchísimas) partículas que no han sido encontradas. ¿Por qué? Nadie lo sabe.

    A partir del video, no he leído sus artículos técnicos, deduzco que Lisi propone usar el grupo E8 como grupo de simetría exacta, lo que le permite predecir nuevas partículas. Espera que el LHC encuentre dichas partículas (Gell-Mann recibió el Nobel por predecir exactamente una sola partícula nueva, nada más, hoy en día sabemos que la simetría de la vía óctuple, para los sabores de los quarks, es una simetría efectiva, no es fundamental, es como un accidente, una casualidad). El modelo E8 predice muchas nuevas partículas. Por ejemplo, he creído entender que predice 4 bosones (escalares) de (tipo) Higgs. Sólo el experimento (LHC o similar) le dará la razón o se la quitará.

    La escuela de los «imitadores» de Gell-Mann, que tuvo muchos adeptos entre los matemáticos geometras y algebraicistas, hoy no es la dominante en física teórica. Hoy se prefieren teorías que expliquen el zoo de partículas con simetría rota partiendo de una simetría exacta dinámica (la clave, una teoría gauge, que prediga ciertas partículas portadoras de fuerza).

    El trabajo de Lisi es de gran belleza matemática. El diagrama de raíces de E8 es un grafo tan complicado que visualizándolo en diferentes dimensiones ofrece una gran belleza geométrica, como muestra el video, pero recuerda, cuando habla de 8 dimensiones, no son dimensiones del espaciotiempo como las 3+1 de la relatividad o las 9+1 de la teoría de cuerdas, son sólo una inmersión del grafo para visualizarlo más «simétricamente».

    Ed Witten, el físico teórico más importante en la actualidad, predijo el uso de E8 en el Modelo Estándar, pero hoy en día ha abandonado la fé en él (entre las partículas predichas hay algunas «anomalías»). Lisi lo reivindica. En mi opinión, el trabajo de Lisi es bello pero flojo. ¿Quién sabe qué pasará con el LHC? Escribiré una entrada tras leer la parte técnica del trabajo de Lisi.

  3. Hola, me intereso bastante el tema, el otro dia me encontre con una pagina que me llamo bastante la atencion, hablaba sobre nanotermologia, nunca la había oido hablar, solo como referencia rapida acudi a wikipedia y en verdad si existe, esta como una de las quince aplicaciones de la nanotecnologia

    http://es.wikipedia.org/wiki/Nanotecnolog%C3%ADa#Futuras_aplicaciones tambien en ingles enccontre http://en.wikipedia.org/wiki/Energy_applications_of_nanotechnology#Consumer_products

    la paigina de la que hablo es de un grupo español investigadores en nanotermologia, la verdad se me hizo bastante interesante la pagina es http://www.siempre23grados.tk

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