1/89, las sucesiones tipo Fibonacci y 1/69

Lo he visto en Menéame y me he quedado sorprendido. Me sorprenden que se sorprendan sobre 1/89 y la sucesión de Fibonacci. La suma (trivial) de la serie

$\displaystyle{}S=\frac{F_0}{10}+\frac{F_1}{10^2}+\frac{F_2}{10^3}+\cdots = \frac{1}{10} \sum_{n=0}^\infty \frac{F_n}{10^{n}} = \frac{1}{89},$

donde $F_n$ son los números de Fibonacci, $0,1,1,2,3,5,8,13,\ldots$ , es un problema que puedo pedirle en un examen a un alumno. ¡Y hay gente que se sorprende! No sé, me encanta. Es el encanto de la matemática. ¡Imaginad que el resultado fuera 1/69 en lugar de 1/89! Sería como más «comercial,» digo yo, no sé. Es curioso.

La sucesión de Fibonacci cumple

$F_n=a\,F_{n-1}+b\,F_{n-2}$ ,

con $a=1, b=1,$ y $F_0=0, F_1=1.$ El polinomio característico de esta relación de recurrencia (o ecuación en diferencias finitas homogénea) es

$p(r)=r^2-a\,r-b,$

cuyas raíces nos dan directamente la solución general

$\displaystyle{}r_{\pm} = \frac{ a \pm \sqrt{ a^2+4\,b}}{2},$

$\displaystyle{}F_n=\frac{1}{\sqrt{a^2+4\,b}}\,\left( r_+^n + r_-^n\right),$

con lo que la suma que queremos calcular es una simple suma de series de potencias

$\displaystyle{}S=\frac{1}{10\,\sqrt{a^2+4\,b}}\,\left( \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{r_+}{10}\right)^n + \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{r_-}{10}\right)^n\right),$

que cuando converge nos da trivialmente

$\displaystyle{}S=\frac{1}{10\,\sqrt{a^2+4\,b}}\,\left( \frac{1}{1-{r_+}/10} - \frac{1}{1-{r_-}/10} \right)$

$\displaystyle{}S =\frac{1}{\sqrt{a^2+4\,b}}\,\left(\frac{r_{+}-r_{-}}{(10-r_{+})\,(10-r_{-})}\right)=\frac{1}{(10-r_{+})\,(10-r_{-})}.$

En el caso de la sucesión de Fibonacci, con $a=1, b=1,$ , obtenemos $r_{\pm}=(1\pm \sqrt{5})/2,$ y $S=1/89$ .

¿Cómo podemos obtener 1/69? Hay muchas maneras, por ejemplo, con $a=1, b=21$ , o con $a=3, b=1$ . Pero lo más curioso es que la sucesión tipo Fibonacci

$F_n=10\,F_{n-1}-69\,F_{n-2}$ ,

da $S=1/69$ . ¿Curioso o no? Así es la matemática. Te preguntan la demostración en un examen y te acojonas… pero el resultado llega a portada en Menéame.

Pregunta para aficionados a la matemática: ¿converge la serie en el caso $a=10, b=-69$ ? Tranquilo, es fácil.

1 Comentario

Muy interesante el articulo que he leido sobre Fibonacci.
Me podrias indicar mas articulos, libros,…donde haga hincapie en la aplicabilidad de la Teoria de Fibonacci en los mercados bursatiles?.

Gracias,
Zarco

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