1/89, las sucesiones tipo Fibonacci y 1/69

Por Francisco R. Villatoro, el 27 junio, 2009. Categoría(s): Ciencia • Matemáticas • Mathematics • Science ✎ 1

Lo he visto en Menéame y me he quedado sorprendido. Me sorprenden que se sorprendan sobre 1/89 y la sucesión de Fibonacci. La suma (trivial) de la serie

\displaystyle{}S=\frac{F_0}{10}+\frac{F_1}{10^2}+\frac{F_2}{10^3}+\cdots = \frac{1}{10} \sum_{n=0}^\infty \frac{F_n}{10^{n}} = \frac{1}{89},

 

donde F_n son los números de Fibonacci, 0,1,1,2,3,5,8,13,\ldots, es un problema que puedo pedirle en un examen a un alumno. ¡Y hay gente que se sorprende! No sé, me encanta. Es el encanto de la matemática. ¡Imaginad que el resultado fuera 1/69 en lugar de 1/89! Sería como más «comercial,» digo yo, no sé. Es curioso.

La sucesión de Fibonacci cumple

F_n=a\,F_{n-1}+b\,F_{n-2},

 

con a=1, b=1, y F_0=0, F_1=1. El polinomio característico de esta relación de recurrencia (o ecuación en diferencias finitas homogénea) es

p(r)=r^2-a\,r-b,

 

cuyas raíces nos dan directamente la solución general

\displaystyle{}r_{\pm} = \frac{ a \pm \sqrt{ a^2+4\,b}}{2},

 

\displaystyle{}F_n=\frac{1}{\sqrt{a^2+4\,b}}\,\left( r_+^n + r_-^n\right),

 

con lo que la suma que queremos calcular es una simple suma de series de potencias

\displaystyle{}S=\frac{1}{10\,\sqrt{a^2+4\,b}}\,\left( \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{r_+}{10}\right)^n + \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{r_-}{10}\right)^n\right),

que cuando converge nos da trivialmente

\displaystyle{}S=\frac{1}{10\,\sqrt{a^2+4\,b}}\,\left( \frac{1}{1-{r_+}/10} - \frac{1}{1-{r_-}/10} \right)

\displaystyle{}S =\frac{1}{\sqrt{a^2+4\,b}}\,\left(\frac{r_{+}-r_{-}}{(10-r_{+})\,(10-r_{-})}\right)=\frac{1}{(10-r_{+})\,(10-r_{-})}.

En el caso de la sucesión de Fibonacci, con a=1, b=1,, obtenemos r_{\pm}=(1\pm \sqrt{5})/2, y S=1/89.

¿Cómo podemos obtener 1/69? Hay muchas maneras, por ejemplo, con a=1, b=21, o con a=3, b=1. Pero lo más curioso es que la sucesión tipo Fibonacci

F_n=10\,F_{n-1}-69\,F_{n-2},

 

da S=1/69. ¿Curioso o no? Así es la matemática. Te preguntan la demostración en un examen y te acojonas… pero el resultado llega a portada en Menéame.

Pregunta para aficionados a la matemática: ¿converge la serie en el caso a=10, b=-69? Tranquilo, es fácil.



1 Comentario

  1. Muy interesante el articulo que he leido sobre Fibonacci.
    Me podrias indicar mas articulos, libros,…donde haga hincapie en la aplicabilidad de la Teoria de Fibonacci en los mercados bursatiles?.

    Gracias,
    Zarco

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