El número 5040 y la hipótesis de Riemann

Por Francisco R. Villatoro, el 30 julio, 2019. Categoría(s): Ciencia • Matemáticas • Mathematics • Noticias • Science ✎ 7

Hay muchos resultados matemáticos que son equivalentes a la hipótesis de Riemann. El teorema de Guy Robin (1984) afirma que la hipótesis de Riemann es verdadera si y solo si  σ(n)/(n ln(ln n)) < eγ, para todo n > 5040, donde σ(n) es la suma de los divisores de n (por ejemplo, σ(12) = 1+2+3+4+6+12 = 28, y σ(5040) =19344), ln(n) es su logaritmo neperiano, γ es la constante de Euler, y su exponencial es eγ ≈ 1 .7810724. Se sabe que hay infinitos números para los que el cociente de Gronwall σ(n)/(n ln(ln n)) > 1.781; bastaría encontrar uno solo que fuera mayor que eγ para refutar la hipótesis de Riemann. Por supuesto, si existe, que lo dudo, sería un número enorme (imposible de descubrir con una búsqueda sistemática).

Por cierto, el valor más grande alcanzado hasta ahora para el cociente σ(n)/(n ln(ln n)) ≈ 1.7810074 para un número n ≈ 1.42678 x 101519637; este número ha sido descubierto por un usuario de Stack Overflow llamado Jeroen Noels. Este número tiene demasiados dígitos para poder ser escrito. Para los curiosos, su factorización en números es el producto de los primeros 250 000 primos (en orden creciente) elevados a los exponentes 24, 14, 12, 10, 10, rep(9,4), rep(8,3), rep(7,3), rep(6,6), rep(5,9), rep(4,12), rep(3,45), rep(2,300), rep(1,249613), donde rep(m,p) significa repetir p veces el exponente m. Más información en John Baez, “The Riemann Hypothesis Says 5040 is the Last,” The n-Category Café, 06 Jul 2019. Los interesados en la demostración del teorema de Robin pueden recurrir a Guy Robin, “Grandes valeurs de la fonction somme des diviseurs et hypothèse de Riemann,” Journal de Mathématiques Pures et Appliquées 63: 187-213 (1984) [PDF]; Baez también recomienda Jeffrey Lagarias, “Euler’s constant: Euler’s work and modern developments,” Bulletin of the American Mathematical Society 50: 527-628 (2013), doi: 10.1090/S0273-0979-2013-01423-X, arXiv:1303.1856 [math.NT]. En español recomiendo Juan Arias de Reyna, Jan van de Lune, “Un primer encuentro con la Hipótesis de Riemann y su comprobación numérica”, La Gaceta de la RSME 13: 109-133 (2010) [PDF].

Este código de Mathematica de Greg Egan‏ @gregegan calcula el número de Jeroen Noels, evalúa el cociente de Gronwall y comprueba de forma independiente su afirmación.



7 Comentarios

  1. Hola Francis,
    No entiendo una cosa, si según la gráfica n=5040 es el último número natural que cumple σ(n)/(n ln(ln n)) > 1.781, ¿por qué más adelante afirmas que “Se sabe que hay infinitos números para los que el cociente de Gronwall σ(n)/(n ln(ln n)) > 1.781; bastaría encontrar uno solo que fuera mayor que eγ para refutar la hipótesis de Riemann”? ¿No sería al contrario?

    Aprovecho para felicitarte por los interesantes artículos que nos regalas a los aficionados.
    Saludos cordiales.

    1. Morci, el teorema de Gronwall afirma que el supremo de σ(n)/(n ln(ln n)) es e^γ para n tendiendo a infinito, luego existen infinitos naturales tales que el cociente de Gronwall está entre 1.7781 y e^γ ≈ 1 .78107. También existen infinitos cuyo cociente está entre el número de Noels ≈ 1.781007 y e^γ ≈ 1 .78107. El número n = 7! = 5040 es el último (si la hipótesis de Riemann es cierta) para el que el cociente de Gronwall es mayor que e^γ; si existiera uno mayor de 5040 con tal propiedad entonces la hipótesis de Riemann sería falsa.

  2. El Prof. cabezón de derivando ya lo había dicho, es un sin-sentido aplicar fuerza bruta (métodos numéricos con computación clásica) para encontrar un contra ejemplo en la hipótesis de Riemann.
    Pero, por lo que veo , hay un montón de grupos trabajando con eso.

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