Se demuestra la conjetura del primo de Sheldon

Por Francisco R. Villatoro, el 1 octubre, 2019. Categoría(s): Ciencia • Matemáticas • Mathematics • Noticias • Science

La conjetura de Sheldon (1974) es falsa; en 1978 se encontró un contraejemplo; por ello, nadie la recuerda. Hoy se llama conjetura de Sheldon a la conjetura del primo de Sheldon propuesta en 2015, e inspirada en 2007 por los guionistas de The Big Bang Theory, la popular sitcom de la CBS. El número primo 73 cumple la propiedad del producto, p(21) = 73 es el 7×3 = 21-ésimo primo, y la propiedad especular, p(12) = rev(73) = 37 es el 12-ésimo primo. La conjetura del primo de Sheldon afirma que 73 es el único primo con ambas propiedades. Dicha conjetura ya es un teorema matemático gracias a Carl Pomerance (Dartmouth College, Hanover, NH, USA) y Chris Spicer (Morningside College, Sioux City, IA, USA). La demostración publicada en la revista American Mathematical Monthly ocupa menos de 9 páginas, siendo fácil de entender para todo buen aficionado a las matemáticas.

El artículo es Carl Pomerance, Chris Spicer, “Proof of the Sheldon conjecture,” In Press in American Mathematical Monthly (2019), [pdf]. Recomiendo también Jessie Byrnes, Chris Spicer, Alyssa Turnquist, “The Sheldon Conjecture,” Math Horizons 23: 12-15 (2015), doi: https://doi.org/10.4169/mathhorizons.23.2.12.

Repetir aquí la demostración no merece la pena. Permíteme, sin embargo, que destaque los puntos más relevantes. En 1962 se demostró que π(x) > x/log(x) para todo x ≥ 17, como consecuencia del famoso teorema de los números primos, que π(x) → x/log(x) para x → ∞, donde π(x) es el número de primos en el intervalo [2, x]. Gracias a este resultado se demuestra que un número primo que cumple la propiedad del producto tiene que ser p(n) < 1045; solo se conocen tres de tales primos p(7) = 17, p(21) = 73, y p(181 440) = 2 475 989; se conjetura que son los únicos (quizás no falte mucho para que se demuestre esta conjetura de Pomerance y Spicer).

Una búsqueda sistemática a fuerza bruta es inviable. Hay que limitar de forma inteligente el espacio de búsqueda. La propiedad del producto junto con la propiedad especular de un número primo implica ocho propiedades sencillas para los dígitos de n y p(n). No entraré en detalles, pero un uso adecuado de estas ocho propiedades permite reducir el espacio de búsqueda en sucesivos pasos a solo unos pocos números. Tan pocos números que en el paso final solo queda un único número, el 73. Y todo ello haciendo un uso inteligente de unas propiedades relativamente sencillas que todo número primo de Sheldon debe cumplir.

La belleza de las matemáticas destilada en su más pura esencia. Por supuesto, algunos dirán que Chris Spicer y sus colegas se inventaron la conjetura de los números primos de Sheldon en 2015 para poder demostrarla más tarde y adquirir fama a costa de la sitcom TBBT. Pero, y a quién le importa, … La belleza de las matemáticas se disfruta en este tipo de demostraciones que cualquiera puede entender con un mínimo esfuerzo. ¡Te atreves a disfrutarla!



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