El producto infinito de todos los números primos es 4π²

Por Francisco R. Villatoro, el 23 mayo, 2021. Categoría(s): Ciencia • Matemáticas • Mathematics • Recomendación • Science ✎ 16

Usando la función zeta de Riemann se pueden regularizar sumas y productos infinitos de números naturales. Casi todo el mundo ya sabe que la suma infinita ∑ n = 1+2+3+4+⋯ = ζ(−1) = −1/12, y que ∑ 1 = 1+1+1+1+⋯ = ζ(0) = −1/2. Quizás sea menos conocido que el producto infinito ∏ n = 1⋅2⋅3⋅4⋯ = ∞! = exp(−ζ ‘(0)) = (2π)¹ᐟ², o que para los pares 2⋅4⋅6⋅8⋯ = (π)¹ᐟ², y para los impares 3⋅5⋅7⋅9⋯ = (2)¹ᐟ². Pero me gustaría destacar en esta pieza cuánto vale el producto de todos los números primos ∏ p = 2⋅3⋅5⋅7⋅11⋅13⋯ = exp(−ζ ‘(0)/ζ²(0)) = 4π². Si no conocías este resultado, quizás te sorprenda, pues implica que ∏ n / ∏ p ≈ 0.063 < 1, es decir, el producto de todos los primos es unas 16 veces más grande que el producto de todos los números.

El cálculo se puede realizar fácilmente «à la Euler», pero también se puede hacer con todo rigor matemático; nos lo mostraron Elvira Muñoz García, Ricardo Pérez Marco, «The product over all primes is 4π²,» Communications in Mathematical Physics 277: 69-81 (2008), doi: https://doi.org/10.1007/s00220-007-0350-z [PDF], IHES/M/03/34 (May 2003) [PDF]; una demostración rigurosa en Elvira Muñoz García, Ricardo Pérez Marco, «Super-regularization of infinite products,» IHES/M/03/52 (Aug 2003) [PDF]. La figura que abre esta pieza es la espiral de Ulam [wikipedia].

Hay muchos otros productos infinitos que se pueden superregularizar, como el producto infinito de los números de Fibonacci, Adrian R. Kitson, «The regularized product of the Fibonacci numbers,» arXiv:math/0608187 [math.HO] (08 Aug 2006), o el de los números odiosos (los que tienen un número impar de dígitos 1 en su representación binaria), Jean-Paul Allouche, «The zeta-regularized product of odious numbers,» Advances in Applied Mathematics 126: 101944 (May 2021), doi: https://doi.org/10.1016/j.aam.2019.101944, arXiv:1906.10532 [math.NT] (25 Jun 2019). También recomiendo Jean-Paul Allouche, «Zeta-regularization of arithmetic sequences,» EPJ Web of Conferences 244: 01008 (15 Oct 2020), doi: https://doi.org/10.1051/epjconf/202024401008.

Este post participa en el Carnaval de Matemáticas (@CarnaMat), que en esta nonagésima sexta edición, también denominada 12.3 (#CarnaMat12_3), está organizado por Rafael Martínez González (@Rafalillo86) a través de su blog El mundo de Rafalillo. Si te apetece, puedes participar entre los días 23 y 30 de mayo, ambos días inclusive.

Supongo que te gustaría que copiara aquí la demostración «à la Euler» de Elvira y Ricardo, pero te dejo que la disfrutes en sus artículos (pues no puedo aportar nada nuevo que no esté en ellos). Solo te comentaré que Ricardo destaca en su artículo que el símbolo π para el número pi se popularizó gracias al libro de Leonhard Euler, «Introductio in Analysin Infinitorum» (1748), pero que lo usó por primera vez William Jones en 1706 (otras fuentes lo confirman, como Patricia Rothman, «The Man Who Invented Pi,» History Today, 07 Jul 2009).

El artículo de Elvira y Ricardo no te explica cómo calcular ζ ‘(0), pues es bien conocido. Lo puedes encontrar en muchos lugares, por ejemplo, en este vídeo del canal Mostly Math! (en el que puedes encontrar demostraciones de pizarra de muchos resultados curiosos).

Y no me resisto a recomendarte también este otro vídeo… Pero lo dicho, mi objetivo es motivarte a leer algunos artículos con las demostraciones matemáticas del resultado de regularizar algunos productos infinitos. ¡Qué los disfrutes!



16 Comentarios

  1. Hace mucho que no miro estas cosas, pero creo recordar que la definición de la función zeta de Rieman como suma infinita es convergente solo para la parte real de x > 1, para el resto del plano hay que usar una extensión analítica (en realidad, dos). Nunca entendí esta obsesión de hacer parecer finita una suma o un producto divergente, después de todo siempre puedes reordenar una serie divergente para que las sumas parciales converjan al resultado que quieras. Como muestra de eso, en el canal black pen red pen hay un breve video en el que llega a que la suma de los enteros da -1/8, y no es difícil imaginar otras manipulaciones para obtener otros resultados.

    Saludos,
    Ricardo

    1. El resultado que citas sobre reordenamiento de series (teorema de Riemann) es para series convergentes pero no absolutamente convergentes; seguro que querías decir eso sin dar detalles. Pero, aun así, la extensión para «hacer convergente» algo que no lo es tiene su puntito siempre que provenga de una expresión (una función) con una variable, dado que la extensión analítica es única, luego no vale cualquier cosa.

    2. Ricardo, hay muchas aplicaciones en Física en las que hay que usar sumas infinitas y productos infinitos divergentes (cosas como 1+2+3+4+⋯ o como 1⋅2⋅3⋅4⋯) y en los que si se usa el «valor correcto» se obtiene un resultado que coincide con las observaciones en la Naturaleza; pero si se usa cualquier otro valor, obviamente, se obtiene un resultado inconsistente con la Naturaleza.

      Los métodos rigurosos para calcular estas sumas y productos conducen a un valor único, independiente del método (tan único como el resultado de 1+1 o de 2⋅2). Esa unicidad es la clave de que sean útiles para entender la Naturaleza.

      Mi idea con esta pieza es recordar a los lectores que no solo son relevantes las sumas infinitas (muy usadas en física estadística, teoría de cuerdas y otros campos), sino también los productos infinitos. No sé si te interesa profundizar, pero el artículo «Super-regularization of infinite products» de Elvira y Ricardo te propone un método riguroso para calcular dichos productos infinitos (basado en escribirlos como sumas infinitas y aplicar un método riguroso en este último caso).

      1. Hablando de aplicaciones de esta clase a la física:

        Hace unos días apareció un artículo extraordinariamente interesante sobre una aplicación del procedimiento de «regularización» para productos infinitos en esta entrada y teoría de cuerdas. En concreto, hablo del producto «regularizado» de todos los números naturales https://www.youtube.com/watch?v=9OlrgzhjifM&ab_channel=MostlyMath que aparece al calcular la función de partición de una cuerda abierta a nivel árbol. El artículo es «Disk Partition Function in String Theory» https://arxiv.org/abs/2105.08726.

        Más información en el blog de Luboš Motl: https://motls.blogspot.com/2021/05/the-seemingly-infinite-volume-of-psl2r.html

  2. Me dio curiosidad sobre este hilo(yo soy solo un tonto aficionado ocasional a las mates), y me encontré que realmente es posible asociar una integral por ejemplo a la «suma»(entiéndase esto en el particular sentido que se entiende en este contexto) de 1 + 2 + 3…. = -1 / 12. Y es la integral entre 0 y -1 de (x^2 + x)/ 2. Tengo la sospecha que en parte por eso es posible usar ese concepto en física: si puedes asignar un área a ese número, aunque me imagino que no debe ser tan simple, pero comienza uno a pensar por donde pueden ir los tiros.

    1. No entiendo, Kurodo77, ¿qué tiene que ver la integral de (x^2+x)/2 = {1, 3, 6, 10, …} con la suma de 1+2+3…? Que por casualidad int( (x^2+x)/2, {x,0,-1} ) = 1/12 es solo accidental. Por cierto, como otra casualidad, int ( (x^2-x)/2, {x,0,1} ) = -1/12.

  3. He leído este interesante aporte, pero al ser yo un ignorante de otra cosa que no sea lo básico de la matemática me he quedado un poco confundido. Y muchas veces me pasa de encontrar en este blog de divulgación, artículos de un nivel un poco elevado para el público en general del cual me considero parte. Se me dirá que vaya estudie y aprenda, que es lo que uno intenta según sus capacidades, y es válido en este sentido mostrar este tipo de estudios para que uno se interese en ellos y haga el esfuerzo, pero puede suceder también lo contrario, con la consiguiente frustración que genera enfrentarse a un escalón un poco alto. Y a lo que voy es esto: ¿se está afirmando en este estudio que 2.3.5.7.11.13…hasta el infinto es igual a 4.pi al cuadrado, es decir aproximadamente 39,47…? Si ya 2.3.4.5.7 es igual a 210. Se ve que hay algo importantísimo que no capto.

    1. Julio, en Física y en Matemáticas, a veces, hay que sumar o multiplicar infinitos números naturales; afirmar que el resultado es infinito, pues la suma no tiene sentido y punto pelota, puede satisfacerte; sin embargo, no sirve para nada. A principios del siglo XIX varios matemáticos (como Euler) observaron que si se asigna un valor finito único a dichas sumas y productos, el resultado es muy útil; a finales del siglo XIX varios matemáticos (como Riemann) desarrollaron las herramientas matemáticas necesarias para hacerlo (en el marco de la llamada teoría analítica de números), obteniendo un resultado único que es independiente del método usado. Desde finales del siglo XIX muchos problemas físicos se resuelven usando este tipo de resultados y en el siglo XXI se siguen usando.

      ¿Qué es lo importante que me gustaría que captaras? Quizás te parezca paradójico que se pueda asignar un resultado finito único a una suma o un producto de infinitos números naturales. Sea o no sea paradójico, lo único relevante es que es útil, muy útil; por ello se hace desde hace más de dos siglos. Su importancia está en sus aplicaciones en física e ingeniería, y en matemáticas.

      En resumen, muchos resultados matemáticos parecen paradójicos, pero si son útiles se pueden aceptar como válidos. ¿Te «explota la mente» con este tipo de resultados? Lo fascinante de las matemáticas es que muchos resultados logran que «te explote la mente».

  4. El problema en este caso es exactamente el mismo que el polémico \sum_{n=0}^\infty n=-1/12

    Y es UNA SIMPLE CUESTIÓN DE NOTACIÓN.

    Y me parece completamente estúpido y con ganas de polemizar.

    La suma que he puesto arriba es verdad, pero no para la definición de series como límite de sumas parciales como todos hemos aprendido, sino usando la llamada suma de Ramanujan.

    Lo estúpido entonces, no es solo utilizar exactamente la misma notación para dos conceptos distintos, sino engañar deliberadamente (o por lo menos, no esforzarse en hacer la distinción, como el video de Numberphile).

    En este artículo, lo siento mucho, porque me encanta vuestra página, pero el títular es igual de engañoso. NO es el producto como lo conocemos en su definición clásica de límite de productos parciales, sino el «PRODUCTO REGULARIZADO» con una definición completamente distinta. De hecho en el mismo artículo que enlazáis comete la misma trampa. El título habla de «producto» y en el abstract de «producto regularizado».

    Eso es como si yo publico un artículo donde el titular dice «Demostración de que 2+2=5» y en el abstract digo «defino la operación +(a,b)=5*a/2. Absurdo y discusión estéril sobre el sexo de los ángeles.

  5. Buenos días,
    comprendo el método de los cálculos, son matemáticas, y su utilidad para hacer cálculos que coinciden con la observación. Pero se me escapa cual es la conexión, las razones que conectan el método con la realidad física, no es casualidad, el método representa lo que ocurre en la naturaleza. ¿Pero a que se debe que lo haga? Eso me parece lo más interesante.
    Un saludo.

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