Cuando tenía 12 años, George M. Bergman (1943–) concibió un sistema numérico con una base irracional, φ = (1+√5)/2, la proporción divina (o número áureo). Lo bautizó como sistema tau, porque usó τ ≡ φ, aunque hoy se conoce como sistema finario (phinary), por la letra griega fi y porque sus dos únicos dígitos son el 0 y el 1. Desde su escuela secundaria en Brooklyn (New York) envió un artículo a la revista Mathematics Magazine, donde se publicó en el año 1957 (cuando tenía 14 años). Todo un hito que le llevó a ser noticia aquel año. Estudió matemáticas y defendió su tesis doctoral en 1968 en la Universidad de Harvard, bajo la tutela de John T. Tate Jr. (1925–2019), Premio Abel en 2010, que no tuvo ningún eco mediático. En su artículo juvenil demuestra que todo número natural n se puede escribir como una suma finita de potencias positivas y negativas de φ. Ya que, por definición, φ² = φ + 1, se cumple que el número 2 = φ + φ⁻² = [10.01]ᵩ, que el 3 = φ² + φ⁻² = [100.01]ᵩ, que el 4 = φ² + 1 + φ⁻² = [101.01]ᵩ, que el 5 = φ³ + φ⁻¹ + φ⁻³ = [1000.1001]ᵩ, etc. La idea es fascinante, sobre todo porque surgió de la mente de un chaval, que además tuvo el arrojo de escribir un artículo matemático y enviarlo a una revista matemática para su publicación.

Como es obvio, la representación no es única, dado que φⁿ = φⁿ⁻¹ + φⁿ⁻², lo que implica la equivalencia entre dígitos [⋯100⋯]ᵩ ≡ [⋯011⋯]ᵩ; ya se dio cuenta el chaval, quien para lograr la unicidad propuso eliminar todos los dígitos [⋯011⋯]ᵩ sustituyéndolos por [⋯100⋯]ᵩ sin importar la posición de la punto decimal (un procedimiento muy sencillo de aplicar). El artículo nos muestra como sumar, restar, multiplicar y dividir números finarios; no es difícil extender las tres primeras reglas aritméticas básicas del sistema decimal (suma, resta y multiplicación), por ello te reto a que las redescubras (sin hacer trampa leyendo el paper). Para la cuarta, la división, se requiere tener en cuenta que los fracciones 1/n tienen una representación finaria que es periódica infinita (un grupo de decimales se repite ad infinitum), pero esta dificultad es sencilla de superar. El artículo original, que ha sido citado más de 200 veces, es George Bergman, «A Number System with an Irrational Base,» Mathematics Magazine 31: 98-110 (1957), doi: https://doi.org/10.2307/3029218 [PDF].

En ciencia (y en matemáticas) en muchas ocasiones hay cosas que están en el aire y se descubren de forma independiente en el mismo momento. Este caso no fue una excepción. Demostraron (sin citar al joven Bergman, ni el caso particular de su sistema finario) que todos los números reales positivos se pueden representar en finario el famoso A. Rényi, «Representations for real numbers and their ergodic properties,» Acta Mathematica Academiae Scientiarum Hungaricae 8: 477-493 (1957), doi: https://doi.org/10.1007/BF02020331, y W. Parry, «On the β-expansions of real numbers,» Acta Mathematica Academiae Scientiarum Hungaricae 11: 401-416 (1960), doi: https://doi.org/10.1007/BF02020954. Sus artículos con mucho más técnicos que el del chaval, muy alejados de lo que puede interesar a profesores de matemáticas en educación secundaria y primeros cursos de universidad. Por ello, recomiendo a todas las personas que se hayan interesado por este sistema de numeración, que le echen un vistazo al artículo de Bergman. Merece la pena.

Por cierto, se siguen publicando artículos sobre el sistema finario. Como la representación no es única, se pueden contar cuántas diferentes representaciones tiene un número dado, que calculan Michel Dekking, Ad Van Loon, «Counting Base Phi Representations,» The Fibonacci Quarterly Volume 62: 112-124 (2024), doi: https://doi.org/10.1080/00150517.2024.12427364, arXiv:2304.11387 [math.NT] (22 Apr 2023). También se han propuesto maneras alternativas de operar con números finarios, cuya unicidad se puede garantizar con varios criterios, como en el caso de la suma en F. Michel Dekking, «How to Add Two Natural Numbers in Base Phi,» The Fibonacci Quarterly Volume 59: 19-22 (2021), doi: https://doi.org/10.1080/00150517.2021.12427537, arXiv:2002.01665 [math.NT] (05 Feb 2020). Incluso existe una extensión de la representación de números naturales a números racionales, que facilita implementar la operación de división, como King Shun Leung, «ϕ-Expansions of Rationals,» The Fibonacci Quarterly 61: 162-166 (2023), doi: https://doi.org/10.1080/00150517.2023.12427413. O incluso el uso de software de demostración automática para estudiar las propiedades del sistema finario, como Jeffrey Shallit, «Proving Properties of φ-Representations with the Walnut Theorem-Prover,» Communications in Mathematics 33: cm:12627 (2024), doi: https://doi.org/10.46298/cm.12627, arXiv.org:2305.02672 [math.NT] (04 May 2023).

Quizás te preguntes, ¿se pueden representar números con otras bases irracionales? La respuesta es que sí, sin ningún problema, más allá de que los números naturales requieren un número infinito de dígitos en dichas bases. Un buen ejemplo es la base e = exp (1), con dígitos 0, 1, y 2. Para los interesados recomiendo Subhash Kak, «The Base-e Representation of Numbers and the Power Law,» Circuits, Systems, and Signal Processing  40: 490-500, (2021), doi: https://doi.org/10.1007/s00034-020-01480-0.