Como todos los años, os muestro la presentación y una transcripción extendida de mi charla en Naukas Bilbao 2025 (vídeo EiTB). Titulada «La teoría del invariante», mi idea es presentar la teoría de la relatividad al hilo de la «paradoja» de los gemelos (también llamada «paradoja» de los relojes). Mi intención es dejar claro lo que significa que «todo se mueve en el espaciotiempo a la velocidad límite, la velocidad de la luz en el vacío» y que la «paradoja» de los relojes es resultado de que el tiempo propio es igual a la distancia recorrida en el espaciotiempo (la longitud de la línea del mundo). Gracias a ello refuto la idea de que las aceleraciones son necesarias para explicar la «paradoja» o que la relatividad general sea necesaria (salvo cuando haya involucrados campos gravitacionales explícitos). En solo 10 minutos quiero dejar clara estas ideas, que han generado mucha confusión en la divulgación de la teoría de la relatividad (en especial, entre filósofos). ¡Qué disfrutes de la charla!

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Viernes 19 de septiembre 18:10 a 18:20 – Francis Villatoro – La teoría del invariante @eMuleNews [EiTB, YouTube]

En 1906 Max Planck llamó “teoría de la relatividad” a la teoría sin nombre de Albert Einstein en 1905. A quien no le gustaba este nombre porque le recordaba al “relativismo filosófico”. En cartas a sus amigos la llamaba “teoría del invariante”.

La relatividad de Galileo se basa en dos invariantes absolutos. El tiempo que pasa al mismo ritmo para todos los relojes. Y el espacio que tiene geometría euclídea, siendo el tamaño de un objeto y la longitud de su trayectoria en el espacio idénticos para todos los observadores, sin importar su movimiento relativo.

La relatividad de Einstein también se basa en dos invariantes absolutos. Una velocidad máxima c con un valor constante e idéntico para todos los observadores. El tiempo y el espacio se unifican en un espaciotiempo con geometría no euclídea, geometría hiperbólica. Se llama evento a un instante en tiempo y una posición en espacio. El otro invariante es la longitud de la trayectoria entre dos eventos según esta distancia hiperbólica.

Su valor es igual al tiempo propio, el medido en reposo. Se llama cuadrivelocidad a la velocidad en el espacio y el tiempo con respecto al tiempo propio. La magnitud de la cuadrivelocidad es constante e igual a la velocidad límite, tanto en un espaciotiempo plano como en uno curvo.

Todo, todo en el universo se mueve a la velocidad de la luz en el vacío en el espaciotiempo. Las personas sentadas, como vosotras, os movéis a la velocidad de la luz en el tiempo. Yo, que me estoy moviendo en el escenario, me muevo más lento en el tiempo que vosotras, estoy rejuveneciendo; además, a vuestros ojos, mi anchura es más corta, luego estoy adelgazando.

En la relatividad especial de Einstein se puede estudiar tanto el movimiento inercial, a velocidad constante, como el movimiento acelerado, con velocidad variable. No se necesita la relatividad general (salvo si hay campos gravitatorios). Se puede definir una cuadriaceleración y una cuadrifuerza. La segunda ley de la mecánica de Einstein afirma que la cuadrifuerza aplicada es igual a la masa por la cuadriaceleración. Repito, la magnitud de la cuadrivelocidad es constante, la velocidad límite, incluso si hay una cuadrifuerza aplicada.

La fórmula más famosa de la física, E = m c², se obtiene a partir del módulo del cuadrimomento en reposo (para p = 0), siendo el cuadrimomento lineal el producto de la masa por la cuadrivelocidad. Para las partículas sin masa (m = 0), que no pueden estar en reposo, siempre se mueven en una trayectoria de longitud espaciotemporal nula y para ellas no pasa el tiempo propio, se cumple que E = p c. La fórmula más general es que E² = (p c)² + (m c²)² (E al cuadrado es igual a la suma del cuadrado de p por c más el cuadrado de m por c al cuadrado).

Vuestra intuición euclídea os permite comprender la desigualdad triangular: para un triángulo cualquiera la longitud de un lado siempre es más pequeña que la suma de las de los otros dos lados.

Fuente de la imagen: Drini, Wikipedia Commons https://w.wiki/FK6Y.

En la geometría hiperbólica del espaciotiempo se cumple la desigualdad triangular “invertida”. En un triángulo formado por 3 eventos dentro de un cono de luz, el lado más largo en el tiempo es mayor que la suma de los otros dos lados, en contra de vuestra intuición euclídea. En el caso más extemo si los otros dos lados son rayos luminosos, su longitud espaciotemporal es cero. Este teorema matemático explica la mal llamada «paradoja» de los gemelos.

La desigualdad triangular invertida implica que un reloj que recorre más espacio se retrasa respecto a otro que recorre menos espacio. Einstein llamó «consecuencia peculiar» a este retraso de los relojes móviles, hoy llamada «paradoja» de los relojes.

Fuente: Albert Einstein, «Sobre la electrodinámica de los cuerpos en movimiento», Teorema XXIV/2: 91-119 (2005) https://dialnet.unirioja.es/descarga/articulo/1254300.pdf (traducción al español del original en alemán).

Una persona es un reloj, pensó Paul Langevin y tras leer a Julio Verne propuso un experimento mental: Una persona en un proyectil es lanzada por un cañón a una velocidad del 99.99995 % de la velocidad de la luz hacia una estrella a 1000 años luz de distancia. En tiempo propio la alcanzará en 1 año y allí le espera otro cañon idéntico que le relanzara hacia la Tierra. Cuando regrese tras 2 años de viaje, habrán pasado 2000 años en la Tierra. La “paradoja” de Langevin fue bautizada como «paradoja» de los gemelos.

Fuente de la imagen: Getty Images (vía https://www.bbc.com/mundo/noticias-39281395).

Una gemela astronauta viaja a Próxima Centauri al 80 % de la velocidad de luz; como está a 4 años luz, llegará en 3 años, pero para su gemela ingeniera en tierra tardará 5 años. En su reencuentro, la astronauta será 4 años más joven que la ingeniera.

Según los filósofos esto es paradójico por la “ley de reciprocidad”. Para la astronauta ella está en reposo y es la ingeniera la que mueve, en la Tierra que se aleja y se acerca. ¿No debería ser más joven la ingeniera? No. La reciprocidad filosófica no es una ley física. No se puede aplicar. La ley física es que todo se mueve en el espaciotiempo a la velocidad límite, y quien se mueve más en el espacio se mueve menos en el tiempo. Así de simple.

Fuente de la figura (modificada): Øybing Grøn, «The twin paradox in the theory of relativity,» European Journal of Physics 27: 885-889 (30 May 2006), doi: https://doi.org/10.1088/0143-0807/27/4/019; con los transbordadores de Linda Fugate, «Twin Paradox: Feynman or Maudlin?» 15 Feb 2024, PDF en  https://shorturl.at/stxMj; y con imágenes de la Tierra y Proxima Centauri extraídas de Wikipedia Commons.

Algunos físicos afirman que la reciprocidad filosófica no se aplica porque la astronauta está acelerada y la ingeniera no. Pero la aceleración es irrelevante, pues la ingeniera está acelerando a 1 g en la superficie terrestre y la astronauta puede viajar a 1 g todo el tiempo, acelerando y frenando a 1 g. En dicho caso, la trayectoria espaciotemporal para la ingeniera serán 11.2 años y para la astronauta 6.8 años, siendo 4.4 años más joven.

Fuente de la figura (modificada): Linda Fugate, «Twin Paradox: Feynman or Maudlin?» 15 Feb 2024, PDF en https://shorturl.at/stxMj.

La NASA hizo el experimento con dos astronautas gemelos en 2015, pero la diferencia de edad fue de 14 milisegundos, imposible de medir en una persona.

Por cierto, se estudió la longitud de los telómeros (relacionados con el reloj epigenético) de Scott, que (en apariencia) crecieron durante la estancia en microgravedad en la ISS, pero decrecieron más de su valor original tras su regreso. En la actualidad, no hay diferencia significativa entre las longitud de los telomeros de ambos gemelos. Estudios recientes han encontrado que la metodología de medición usada por la NASA fue inapropiada (se estimaba a partir de un contaje de células sanguíneas, cuando habría que haber medido la actividad de la telomerasa). Hoy en día, ambos gemelos muestran una salud muy similar (sin que el viaje de Scott haya afectado a su salud, en apariencia).

Fuente de la imagen: ATLAS, NASA. Fuente de la figura inferior: Christopher E. Mason, Maria A. Sierra, …, Susan M. Bailey, «Telomeres and aging: on and off the planet!» Biogerontology 25: 313-327 (06 Apr 2024), doi: https://doi.org/10.1007/s10522-024-10098-7.

El experimento se hizo con relojes atómicos en aviones comerciales, por los doctores Hafele y Keating, y un avión militar, por la doctora Alley. Se tuvo en cuenta tanto la relatividad especial por la velocidad como la general por la altitud; el resultado está en perfecto acuerdo con Einstein.

Artículos de los experimentos: Joseph C. Hafele, Richard E. Keating, «Around-the-World Atomic Clocks: Predicted Relativistic Time Gains,» Science 177: 166-168 (14 Jul 1972), doi: https://doi.org/10.1126/science.177.4044.166; Carroll O. Alley, «Relativity and Clocks,» 33rd Annual Symposium on Frequency Control, IEEE Xplore (1979), doi: https://ieeexplore.ieee.org/abstract/document/1537236. Fotografías del libro de Éric Gourgoulhon, «Special Relativity in General Frames. From Particles to Astrophysics,» Springer (2013), doi: https://doi.org/10.1007/978-3-642-37276-6.

El muón es un partícula similar a un electrón pero de mayor masa, siendo inestable con una vida media de 2.2 microsegundos en su tiempo propio, pero acelerado al 99.94 % de la velocidad límite su vida media medida en el laboratorio es de 64 microsegundos, unas 30 veces mayor, en perfecto acuerdo con Einstein.

Fuente de la imagen: Muon g−2 Fermilab, url: https://muon-g-2.fnal.gov/index.html (https://muon-g-2.fnal.gov/the-physics-of-g-2.html).

Se ha propuesto una versión cuántica de la paradoja de los gemelos, usando la superposición cuántica de dos fotones en un interferómetro. Cuando se publique el resultado ya os lo contaré en mi blog.

Fuente de la imagen: Sina Loriani, Alexander Friedrich, …, Enno Giese, «Interference of clocks: A quantum twin paradox,» Science Advances 5: aax8966 (04 Oct 2019), doi: https://doi.org/10.1126/sciadv.aax8966.

Recordad, todo se mueve en el espaciotiempo a la velocidad de la luz en el vacío y para un reloj en movimiento el tiempo pasa más lento. Esta ley física y este teorema matemático son una “consecuencia peculiar” de la teoría del invariante de Einstein.

¡Que disfrutes de la charla!