El matemático Levent Alpöge trabaja en Antropic desde que abandonó la Universidad de Harvard (fue Junior Fellow entre 2021 y 2025). El pasado domingo 19 de julio, para disfrutar de la final del Mundial de Fútbol, puso a trabajar Fable 5 en la búsqueda de un contraejemplo de la conjetura del jacobiano en dimensión tres. Unas horas tras la victoria española, anunció en X su propia victoria, un sorprendente contraejemplo: la función vectorial F: C³ → C³, tal que F(x,y,z) = ( (1 + x y)³ z + y² (1 + x y) (4 + 3 x y) , y + 3 x (1 + x y)² z + 3 x y² (4 + 3 x y) , 2 x – 3 x² y – x³ z ), tiene un jacobiano con determinante −2 (≠ 0), pero no es biyectiva (como afirma la conjetura), ya que F(0, 0, −1/4) = F(1, −3/2, 13/2) = F(−1, 3/2, 13/2) = (−1/4, 0, 0). La figura muestra otro ejemplo F(0, −1, −71/18) = F(−6, 0,1/18) = F(6, −(1/2), 11/36) = (1/18, −1, 0). Pocas horas más tarde (con ayuda de otra IA generativas) se generalizó el contraejemplo a una familia infinita de contraejemplos y también a dimensión arbitraria mayor de 2. Ahora mismo la conjetura del jacobiano solo sobrevive en dimensión dos (el problema realmente difícil y para el que se cree que no hay contraejemplos). Por desgracia, Alpöge no ha publicado su prompt, ni la traza de «pensamiento» de Fable 5.
¿Cómo ha podido descubrir Fable 5 este contraejemplo? Nadie lo sabe. Lo que está claro es que es imposible que haya realizado una búsqueda sistemática (por fuerza bruta) pues la función F es polinómica de grado 7, con un determinante polinómico de grado 18, que implica que hay que cumplir 1299 ecuaciones para obtener un polinomio constante. Terence Tao le ha pedido a ChatGPT 5.6 que le explique un posible razonamiento, que nos ofrece digerido en «A digestion of the Jacobian conjecture counterexample,» What’s new, 21 Jul 2026. Los matemáticos disfrutarán del resultado, pero creo que es demasiado abstracto como para tener algo que ver con el «razonamiento» ejecutado por Fable 5. Por cierto, si quieres saber el enunciadoa de la conjetura del jacobiano y la verificación del contraejemplo, te recomiendo leer la estupenda pieza de Miguel Ángel Morales Medina (alias ^DiAmOnD^), «Encontrado un contraejemplo de la conjetura jacobiana con Claude Fable 5», Gaussianos, 20 jul 2026.
Mi intución (que seguro que está equivocada) me dice que el «razonamiento» de Fable 5 tiene que estar anclado en algún resultado clásico de la literatura matemática sobre la conjetura y además tiene que usar cálculos matemáticos elementales. Por ello, me ha llamado la atención que el determinante del jacobiano sea |Jac(F)| = −2, idéntico al ejemplo 1 del artículo de A. G. Vitushkin, «Evaluation of the Jacobian of a rational transformation of and some applications,» Mathematical Notes 66: 245-249 (1999), doi: https://doi.org/10.1007/BF02674884. Dicho artículo estudia una conjetura similar pero para funciones racionales (cocientes de polinomios) en dos dimensiones y presenta (renombro las variables a r y s) la función V(r,s) = (r² s⁶ + 2 r s², r s³ + 1/s), cuyo jacobiano tiene |Jac(V)| = −2. ¡Curiosa coincidencia!
Vitushkin parte de dos polinomios P = t² + 2 t v, Q = t + v, que cumplen |Jac(V)| = det[∂(P,Q)/∂(t,v)] = 2 v (valor que no es constante); pero como det[∂(t,v)/∂(r,s)] = −s = −1/v, resulta que det[∂(P,Q)/∂(r,s)] = (2v)(−1/v) = −2. De hecho, eliminando v = Q − t, se obtiene P = 2 Q t − t², es decir, una ecuación cuadrática t² − 2 Q t + P = 0. La función de Vitushkin mapea dos puntos en uno, luego no es biyectiva (siendo el truco enviar v = 0 hasta s = ∞, de tal forma que es biyectiva para todo punto finito (a nivel local), pero no para todo punto (a nivel global). El contraejemplo de Fable 5 mapea tres puntos en uno, ¿no se podrá aplicar un cambio de variable al ejemplo de Vitushkin que conduzca a una ecuación cúbica? Con esta idea en mente he recurrido a ChatGPT 5.6 para entretenerme un rato.
Por supuesto, no tengo ni idea de lo que ha «razonado» Fable 5, pero con seguridad conoce el artículo de Vitushkin. Mi intuición me dice que puede haber transformado dicho ejemplo en dos dimensiones (t, v) en un ejemplo en tres dimensiones (A, B, C). Definiendo v = 1 − B t + 3 A t², integrando C = 2 ∫v dt = 2 t − B t² + 2 A t³, se tiene ∂C/∂t = 2 − 2 B t + 6 A t² = 2 v. Luego la función (A,B,t) ↦ (A,B,C), cumple que det[∂(A,B,C)/∂(A,B,t)] = 2 v. El análogo a la ecuación cuadrática de Vitushkin es la ecuación cúbica 2 A t³ − B t² + 2 t − C = 0. Si se encuentra un polinomio con coordenadas (x, y, z) tal que la función (x,y,z) ↦ (A,B,t) tenga jacobiano con determinante −1/v se obtendrá una función polinómica cuyo jacobiano cumplirá (2 v)(−1/v) = −2, y quizás se logre que incumpla la propiedad biyectiva predicha por la conjetura del jacobiano mapeando tres puntos en uno.
Primero probé con un cambio de variable lineal, pero no funciona. Una inteligencia generativa como Fable 5 seguro que decidió usar un cambio de variable racional, como U = 1 + x y, t = x/U, v = 1/U, que satisface v + t y = 1. Comparando con v = 1 − B t + 3 A t², se obtiene y = B − 3 A t, y por tanto B = y + 3 A t = y + 3 x A/U. Para que B sea un polinomio hay que tomar A = U K, para algún polinomio K, pues entonces B = y + 3 x K. Sustituyendo en C = 2 t − B t² + 2 A t³, un cálculo sencillo ofrece C = x (2 + x y − x² K)/(1 + x y)². Tomando s = x y, U = 1 + s, se debe elegir K tal que 2 + s − x² K sea divisible por (1 + s)². Así se obtiene que 2 + s − s² (4 + 3 s) = (2 − 3 s) (1 + s)². Por ello basta con elegir K = U² z + y² (4 + 3 s), para que A = U K = U³ z + y² U (4 + 3 s), es decir, A = (1 + x y)³ z + y² (1 + x y)(4 + 3 x y). ¡Este es el primer polinomio del contraejemplo de Fable 5! De manera similar, B = y + 3 x K = y + 3 x (1 + x y)² z + 3 x y² (4 + 3 x y), y C = x (2 − 3 s) − x³ z = 2 x − 3 x² y − x³ z. ¡Estos son los otros dos polinomios del contraejemplo de Fable 5!
Siendo trivial evaluar det[∂(A,B,C)/∂(x,y,z)] = (2 v)(−1/v) = −2, queda usar la ecuación cúbica para obtener tres puntos en los que F(x,y,z) = (A,B,C). Por ejemplo, para (A,B,C) = (−1/4, 0, 0), la ecuación cúbica es −t³/2 + 2 t = 0, con raíces t = 0, t = 2, t = −2. Sustituyendo en v = 1 − B t + 3 A t², x = t/v, y = B − 3 A t, z = v³ A − v (v + 3) y², se obtienen los tres puntos (0, 0, −1/4) para t = 0, (1, −3/2, 13/2) para t = −2, y (−1, 3/2, 13/2) para t = 2. ¿Siguió Fable 5 este sencillo camino para descubrir su contraejemplo? Nadie lo sabe. Yo he explorado este camino a posteriori (es decir, con trampa) con ayuda de ChatGPT 5.6. ¿Pudo Fable 5 explorarlo a priori? Repito una vez más, nadie lo sabe.
Supongo que este cálculo matemático elemental realizado con IA generativa te resulta irrelevante. Solo puedo acabar recomendando la lectura de la refrescante pieza de Kevin Buzzard, «Human mathematicians are being outcounterexampled,» Xena, 20 Jul 2026.
Por cierto, el contraejemplo de la conjetura del jacobiano en dimensión mayor que dos ha permitido el descubrimiento de contraejemplos de otras conjeturas (ya hay varios anuncios en X). Están empezando a publicarse los artículos en arXiv (aparecerán muchos más en las próximas semanas): Christopher D. Long, «Small Counterexamples to the Gaussian Moments Conjecture,» arXiv:2607.18186 [math.PR] (20 Jul 2026), doi: https://doi.org/10.48550/arXiv.2607.18186.
Francis con estos llm cual crees que es el limite a cual puedan llegar en demostracion de teoremas solucion de problemas , ya dijiste que los grandes problemas como los de hilbert o milenio no puede, hasta donde si? no puede jamas estos llm crear algo nuevo en matematicas?
Mariana, las cosas han cambiado muy poco. Todavía son demostraciones cortas o contraejemplos aún más cortos basados en la matemática conocida. Todavía están muy lejos de resolver un problema matemático que requiera nuevas matemáticas. Ningún problema fácil que requiera nuevas matemáticas (de los que se publican decenas todas las semanas) ha sido resuelto por un LLM. Todavía. Ahora mismo es imposible de predecir cuando un LLM lo logrará por primera vez, quizás en un año, o en un lustro, o en una década. Quién sabe.
Entiendo que seguirán existiendo problemas irresolubles hasta para los modelos más potentes posibles, sería inocente pensar que algún LLM pueda resolverlo todo. Un LLM sin alucinaciones no puede ser verdaderamente general.
Si lo resuelve «todo», entendiendo por todo una cantidad arbitrariamente grande de problemas distintos de distintas complejidades, no lo hará correctamente.
P, nadie sabe hasta dónde mejorarán los LLM en los próximos años en el campo de las matemáticas. Por ahora avanzan de forma lenta (a pesar de que sus pequeños éxitos se venden como hitos promocionales). Están rascando una parte de las matemáticas que era la habitual en tesis doctorales de bajo impacto (pero ahora se promocionan como hitos históricos, cuando no lo son). En IA es habitual que los avances se estanquen tras una década de éxitos y el año próximo se cumple una década de «Attention Is All You Need».
Gracias por compartir
La cuestion es si puede o no puede discernir o llegar a conclusiines distintas por si solo. Es decir, tener capacidad de abstraccion y con la literatura que pueda tener, que sera practicamemte toda, tenga capacidad de mezclar conceptos de forma «intuitiva» para llegar a conclusiones «novedosas». Yo creo que no. Dudo que sea capaz de sinergetizar ideas, de hecho mi experiencia con Fable me dice que no. En todo caso, cuando se pueda implementar de forma hibrida la computacion cuantica «fiable» a estos modelos de IA quizá si nos sorprenda profundamente. Es solo una especulación vaga, pero tengo ganas de verlo.
Margaret Boden ( fallecida el año pasado ) dedico buena parte de su investigación a estudiar el concepto de creatividad, definiéndola más o menos como una búsqueda en un «espacio conceptual», aunque reconozco que no he leído lo suficiente de ella como para tener una firme opinión al respecto. Aunque ella apostaba por intentar obtener esa creatividad por computación evolutiva. Supongo que pq cuando Boden inició su programa de investigación en creatividad, allá por los 80´s y 90´s, lo de la computación evolutiva estaba de moda, E, incidentalmente, creo que lo de las «modas» también podemos aplicarlo al exceso de optimismo con los LLM´s ahora ( y por eso, creo, buena parte de los investigadores en IA creen que en parte son un hype, sin negar su parte de éxito, claro). De hecho, creo que lo único que hacen es una especie de «búsqueda combinatoria», por llamarlo de alguna forma, sobre las ideas matemáticas ya publicadas previamente. Creo que la diferencia es que en ese hipotético «espacio conceptual» la cantidad de información existente es enorme pero finita ( p. ej. todo lo publicado en matemáticas), mientras que la dimensión real de dicho espacio es infinita; nada que ver por lo tanto con esas «nuevas matemáticas» que, según Francis, se van a necesitar. En ese sentido, me ha gustado mucho la rápida reacción de Tao: sinceramente, no creo que ningún modelo actual LLM sea capaz de dar el enorme salto que da Tao moviendo un rdo. que, como dice Francis, tiene parte mayoritariamente de matemáticas elementales, a un enfoque algebraico más abstracto. De momento, gana la creatividad humana.
Saludos.
https://www.interaliamag.org/articles/margaret-boden-creativity-in-a-nutshell/
vienes del futuro o por que para mi es 23 de julio todavia jaja
francis y en informacion cuantica https://x.com/QuAntonioMele/status/2079813198895776131
Mariana, te refieres al impacto potencial de la IA generativa en la computación cuántica. Como existen lenguajes cuánticos de alto nivel y las IA son muy buenas en programación, también son muy buenas en programación cuántica. Programar algoritmos cuánticos con Qiskit (IBM) usando Python es tan fácil como programar en Python. Como en algoritmia cuántica está casi todo por hacer, el impacto de la IA generativa será significativo.